橢圓中的常見最值問題

1、橢圓中的常見最值問題 1、橢圓上的點(diǎn)P到二焦點(diǎn)的距離之積取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長軸的端點(diǎn)。例1、橢圓上一點(diǎn)到它的二焦點(diǎn)的距離之積為，則取得的最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是 。P（0，3）或（0，-3）例2、已知橢圓方程（）p為橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的二焦點(diǎn)，求的取值范圍。分析：，當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，即2、橢圓上到的橢圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是這個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長線或反向延長線與橢圓的交點(diǎn),最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離和其相反數(shù)。例3、已知，、是橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，則的最大值是 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為 。的最小值是 ，此時(shí)P點(diǎn)坐

2、標(biāo)為 。3、橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點(diǎn)。例4、已知，是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，則的最小值是 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為 。的最大值是 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為 。分析：，當(dāng)P是的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號。，當(dāng)P是的反向延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號。4、橢圓上的點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的距離的倍的和的最小值（為橢圓的離心率），可通過轉(zhuǎn)化為（為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）最小值，取得最小值的點(diǎn)是A到準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)。例5、已知定點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在該橢圓上移動，求的最小值，并求此時(shí)M

3、點(diǎn)的坐標(biāo)。例6、已知點(diǎn)橢圓及點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值是 。5、以過橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點(diǎn)與該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。例7、過橢圓（）的中心的直線交橢圓于兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則的最大面積是 。例8、已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過原點(diǎn)的一條弦，求面積的最大值。6、橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。例9、P為橢圓（）一點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)為，則的最大面積是 。7、橢圓上的點(diǎn)與橢圓長軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。例10、已知A是橢圓的長軸一個(gè)端點(diǎn)，PQ是過原

4、點(diǎn)的一條弦，求面積的最大值。8、橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn)間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。例11、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，M是OF的中點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值。例12、橢圓中心在原點(diǎn)，長軸在軸上，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求橢圓方程。9、橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)。為的增函數(shù)，為的減函數(shù)，時(shí)，分別取得最大值和最小值。例13、橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大值 ，最小值 。10、橢圓上的點(diǎn)到定直線的距離最近及最遠(yuǎn)點(diǎn)分別是與定直線平行的橢圓的兩條切線的切點(diǎn)。例14、已知橢圓，在橢圓上求一點(diǎn)P，是

5、P到直線的距離最小，并求最小值。11、橢圓上的點(diǎn)到與它的兩個(gè)焦點(diǎn)連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。范圍大于等于，小于它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。分析：等號成立的條件：，即P點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)。例15、已知橢圓C：，兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果C上有一點(diǎn)Q，使，求橢圓的離心率的取值范圍。例16、如圖所示，從橢圓上一點(diǎn)M向軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)，且它的長軸的端點(diǎn)A短軸的端點(diǎn)B的連線AB平行于OM。（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求的范圍。（3）當(dāng)時(shí)，延長與橢圓交于另一點(diǎn)，若的面積為，求此橢圓方程。12、橢圓上的點(diǎn)與它長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的最

6、大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長軸的二端點(diǎn)的連線的夾角。范圍為大于，小于它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長軸的二端點(diǎn)的連線的夾角。例17、已知橢圓C：，長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，如果C上有一點(diǎn)Q，使，求橢圓的離心率的取值范圍。13、點(diǎn)P在橢圓上，（為常數(shù)）的最大值或最小值分別是直線與橢圓相切時(shí)的值。例18、已知點(diǎn)在上的點(diǎn)，則的取值范圍是 。14、點(diǎn)P在橢圓上，（為常數(shù)）的最大值或最小值分別是直線與橢圓相切時(shí)的斜率。例19、點(diǎn)在橢圓上，則的最大值 ，最小值 。例20、點(diǎn)在橢圓上，則的最大值 ，最小值 。15、的最大值或最小值是直線與橢圓相切時(shí)切線的斜率。例21、求的最大值、最小值16、橢圓的平行弦、過定點(diǎn)弦等弦

7、長最值問題及有關(guān)弦長的最值問題：例22、求直線被橢圓所截得弦長的最大值。例23、四點(diǎn)均在橢圓上，橢圓方程為：，為橢圓在軸正半軸的焦點(diǎn)，已知共線，共線，且，求四邊形面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關(guān)最值問題：例24、已知橢圓方程為，求過點(diǎn)P（0，2）的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，求的取值范圍。18、其它有關(guān)最值例24、為橢圓：上一動點(diǎn)，若為長軸的一個(gè)端點(diǎn)，為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。例25、已知橢圓和直線，在上取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，當(dāng)在何處時(shí)所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。例26、設(shè)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且到直線的距離等于它到原點(diǎn)的距離，求離心率的取值范圍。例27、已知橢圓C：，為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，軸，且的正切值為（1）求橢圓C的離心率。（2）過焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)，若