高中數(shù)學(xué) 1.1.2《余弦定理》課件（1） 新人教B版必修5

1、余余 弦弦 定定 理理1 1、向量的數(shù)量積、向量的數(shù)量積：cosbaba2、勾股定理、勾股定理：AaBCbc222cba證明：證明：CBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC2222CBACAB222abc復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)AaBCbc余余 弦弦 定定 理理AcbAbc當(dāng) 時(shí)90C222bac當(dāng) 時(shí)90C222bac當(dāng) 時(shí)90C222bacAB邊的大小與邊的大小與BC、AC邊的大小和角邊的大小和角C的的大小有什么關(guān)系呢？大小有什么關(guān)系呢？怎樣用它們表示怎樣用它們表示AB呢？呢？復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向

2、量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理思考題思考題：若若 ABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求求AB邊邊c.ABCabcCBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC22)180cos(2220CBCCBACACAB解：解：Cabbaccos2222復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小

3、結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理定理定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減 去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222abcbaC2cos222余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊求三個(gè)角；）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角，求第三邊和其他兩個(gè)角。角。復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定

4、 理理小小 結(jié)結(jié)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理ABCabcD當(dāng)角C為銳角時(shí)證明：過A作AD CB交CB于D在Rt 中ADCCACCDCACADcos,sin在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)Rt ABD復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定

5、定 理理當(dāng)角C為鈍角時(shí)證明：過A作AD CB交BC的延長(zhǎng)線于D在Rt 中ACDCACCACCDCACCACADcos)180cos(sin)180sin(在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBD復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)Rt ABD復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過C點(diǎn)垂直于CB

6、的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié) 利用余弦定理，可以解決：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊及夾角，求第三邊和 其他兩個(gè)角.ABCabcc2=a2b22abcosC.a2b2c22abcos

7、C復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)例 1：在ABC中，已知a7，b10， c6，求A、B和C.解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36, B180(AC)100.sinC 0.5954, C 36或144(舍).c sinA a()復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)例 2：在ABC中，已知a2.730，b3.696， C8228，解這個(gè)三角形.解： 由 c2=a2b22abcosC,得 c4.297.b2c2a22bc co

8、sA 0.7767， A392, B180(AC)5830.a sinC csinA 0.6299， A=39或141(舍).()復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)ABCOxy例 3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法一： AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,BC (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,AC (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365 A84.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)

9、結(jié)ABCOy例 3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法二： A84. cosA .ABACAB AC( 8)( 2)3( 4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)ABCOxy例 3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)解：在AOB中， |a b|2 |a|2|b| 2 2|a|b

10、|cos120 61, |a b|61.例 4：已知向量a、b夾角為120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab與a的夾角.ababBbACa120O復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié) ab 21. COA即ab與a的夾角約為49. cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 4：已知向量a、b夾角為120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab與a的夾角.ababBbACa120O在OAC中， |a + b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos60 21,例5 已知

11、四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)為AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 2ABADcosA 2.60,cosC = = 0.30,DC2 + BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思考思考：若A= , 怎樣用表示四邊形ABCD的面積？練習(xí)ABC中,（1）a4，b3，C60，則c_；1314.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 則C = _.104.5（3）a2，b4，C135，則A_.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)研究題 總結(jié)解三角形的方法：已知三角形邊角中哪三個(gè)量，有唯一解或多解或無(wú)解？分別用什么方法？復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)引引 入入向量法向量法幾何法幾何法坐標(biāo)法坐標(biāo)法例例 題題定定 理理小小 結(jié)結(jié)余余 弦弦 定定 理理課堂小結(jié)課堂小結(jié)：1、定理、定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減平方的和減 去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍倍。2、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：?jiǎn)栴}：（1）已知三邊求三個(gè)角；）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。他兩個(gè)角