2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第17講定積分與微積分基本定理精選教案理

1、第17講定積分與微積分基本定理高考解讀GAOKAOJIEDU考名腰求考情分析命題趨勢1. 了解定積分的實(shí)際背景、基本思想及概念.2. 了解微積分基本定理的含義.2015天津卷，112015湖南卷，112015陜西卷，16定積分與微積分基本定理難度不大，常常考查定積分的計(jì)算和求曲邊形的面積.分值：5分板塊i/考點(diǎn)清單*課前查漏知識梳理/1 .定積分的定義及相關(guān)概念一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=xo<xi<-<xii<xi<-<xn=b,將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間x1,xi上任取一點(diǎn)J(i=1,2,，n),nn_b-a作和

2、式Zf(Ei)Ax=Zf(L),當(dāng)n-8時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作fbf(x)dx.a在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，a函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量一f(x)dx叫做被積式.2 .定積分的幾何意義f(x)f(x)dx的幾何意義Jaf(x)>0表小由直線_x=a_,_x=b(awb)_,y=。及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)<0表小由直線_x=a_,_x=b(awb)_,y=。及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在a,b上啟正后負(fù)表小位于

3、x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸卜方的曲邊梯形的面積3 .微積分的性質(zhì)(1)kf(x)dx=_kfbf(x)dx(k為常數(shù))；a-a(2)/fi(x)±f2(x)dx=bfi(x)dx±bf2(x)dx;1a1a1afbf(x)dx_=fcf(x)dx+bf(x)dx(其中a<c<b).aac4.微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=f(x),那么bf(x)dx=aF(b)F(a)_,這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.5.定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系 S=f (x)dx； a(2) S=二fbf

4、(x)dx；a(3) S=_fcf(x)dx-fbf(x)dx_;ac(4) S=fbf(x)dx-fbg(x)dx=fbf(x)g(x)dx.'a'a'a6.定積分與變速直線運(yùn)動的路程及變力做功間的關(guān)系(1) s=bv(t)dt;a(2) VW=_fbF(s)ds.a(7) 偶函數(shù)定積分的兩個重要結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 a, a上連續(xù),則有(1)若f (x)是偶函數(shù),則f (x)d x = 2.a0f (x)d x；(2)若f(x)是奇函數(shù),則 f (x)d x = 0.J a對點(diǎn)檢型.1.思維辨析(在括號內(nèi)打“或"x”).設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b

5、上連續(xù)，則fbf(x)dx=fbf(t)dt.(2)定積分一定是曲邊梯形的面積.(X)(3)若f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方.(X)解析(1)正確.定積分與被積函數(shù)、積分上限和積分下限有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān).(2)錯誤.不一定是，要結(jié)合具體圖形來定.(3)錯誤.也有可能是在x軸上方部分的面積小于在x軸下方部分的面積.2.若 si=廣x2dx, i212xs2=qdx,s3=edx,貝Us1,s2,s3的大小關(guān)系為(1x.1A. si<s2 Vs3B.S2<S1<S3C. s2Vs3<S1D.s3V

6、s2<S1.2s2= In x| 1= In 2 In 1 =ln 2<1,s3 = e，| 2 =解析因?yàn)閟i=；xi1=；(2313)=7<3333e2e>3,所以s2<s1<s3.3.直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(D)A.22B.42C.2D.4y=4x,解析由,；y_x3得交點(diǎn)為(0,0),(2,8),(-2,8),所以S=(4xx3)dx=？x2：x4)2=4,故選D.4 .已知t>1,若(2x+1)dx=t2,則t=2.,解析ft(2x+1)dx=(x2+x)|；=t2+t2'1從而得方程t2+t2=

7、t2,解得t=2.5 .汽車以36km/h的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以減速度a=2m/s2剎車，則從開始剎車到停車，汽車走的距離是25m.,解析t=0時，vo=36km/h=10m/s,剎車后，汽車減速行駛，速度為v(t)=v。一at=102t,由v(t)=0得t=5s,所以從剎車到停車，汽車所走過的路程為v(t)dt=5(10'0102t)dt=(10t12)|5=25(m).板族二/考法拓展*題型斛嗎考法精講.,除法一定積分的計(jì)算,答題模板計(jì)算定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為募函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積或和或差.(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積

8、函數(shù)為初等函數(shù)的定積分.(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù).(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值.(5)計(jì)算原始定積分的值.【例1】計(jì)算下列定積分.(1)廣(一x2+2x)dx；(2)(sinxcosx)dx；,0'0(3)F+gdx；(4)/與小-sin2xdx.解析(1)1(x2+2x)dx=/1(x2)dx+12xdx'0-10'00+(x2)|10= 3+1=3.rtc2x 12 2x211 2xe +x dx= e dx+ xdx=2e(2)廣(sinx-cosx)dx=sinxdx-pcosxdx,=(cosx)|0一sinx|0=2.2,214

9、1214121+lnx|1,=-e-2e+In2In1=-e-2e+ln2.兀"2"、1sin2xdx=07t7t2|sinxcosx|dx,=04(cosxsinx)dx+0兀2(sin7t4兀x cos x)d x, = (sin x+ cos x) 4 02+(cosx-sinx)兀,=W1+(1+低=2啦-2.考法二定積分幾何意義的應(yīng)用，歸納總結(jié)(1)利用定積分求平面圖形面積的步驟：根據(jù)題意畫出圖形；借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定定積分的上、下限；把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；計(jì)算定積分，寫出答案.(2)根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的方法：先利用定

10、積分求出平面圖形的面積，再根據(jù)條件構(gòu)造方程（不等式）求解.【例2】（1）由曲線y=yx,直線y=x2及y軸所圍成的圖形的面積為（C）A.竺B.4316C.KD.63（2）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為_1.2_.解析（1）作出曲線y=yx和直線y=x2的草圖（如圖所示），所求面積為陰影部分的面積.，由（y一十'得交點(diǎn)A（4,2）.J=x2因此y=血與y= x 2及y軸所圍成的圖形的面積為廣?。▁2）d x= ,0(6x+2)dx= '3x|-20-4 210=-X8-X16+2X4

11、=3216一V.，（2）建立如圖所本的平面直角坐標(biāo)系 3由拋物線過點(diǎn)（0,-2）,（-5,0）,（5,0）,得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=；2x2-2,拋物25線與x軸圍成的面積S=J_（2,梯形面積&=（6+一）X2=化最大流量比“5125/32為&：S=6：5.考法三定積分在物理中的應(yīng)用歸納總結(jié)定積分在物理中的兩個應(yīng)用（1）求變速直線運(yùn)動的路程：如果變速直線運(yùn)動物體的速度為v=v（t）,那么從時刻t=2到t=b所經(jīng)過的路程s=bv(t)dt.a(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b時，力F(x)所做的功是WbF(x)dx.a【

12、例3】(1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)=725一一3t+(t的單位：s,v的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車行駛的距離(單位：m)是(CA.1+25ln511B.8+25ln3C.4+25ln5D.4+50ln2(2)(單位：N)的作用下沿與力 F相同的方向，從x5,0<x<2一物體在力F(x)=j3x+4,x>2=0處運(yùn)動到x=4(單位：mX,則力F(x)做的功為_36_J.解析(1)由v(t)=73t+25=0,可得t=4+=舍去,因此汽車從剎車到停止一共行駛了4s,此期間行駛的距離為v(t)dt=0“，一3t+125dt=卜一

13、|t2+25ln(1+t0,=4+25ln5(m).,(2)由題意知，力F(x)所做的功為，W=F(x)dx=5dx+(3x+4)dx=5X2+1x2+4xj2,=1073232+付X4+4X4'X2+4X236J.遞進(jìn)題組1.定積分f/x(2-x)dx的值為(A)'0A.714B.712C.71D.解析令y=x(2x)則(x1)2+y2=1(y>0),由定積分的幾何意義知，x(2-x),0dx的值為區(qū)域的面積，即為(x-12+y2=1(y>o)0<x<i2.計(jì)算：(x3cosx)dx=0解析y=x3cosx為奇函數(shù)，3丁一3(x3cosx)dx=0.3

14、.如圖，由兩條曲線2y=x12y=-4x及直線y=T所圍成的平面圖形的面積為！H43#.解析,y=-x2,由.y=1,得交點(diǎn)A(-1,-1),B(1,-1).1*y= 一 1，得交點(diǎn)q2,1),D(2,1).所以所求面積10口2.,4.如圖，圓O：x2+y2=兀2內(nèi)的正弦曲線y=sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M圖中陰影部分)，隨機(jī)向圓O內(nèi)投一個點(diǎn)A,則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為！金#.兀解析陰影部分的面積為2sinxdx=2(cosx)|0=4,圓的面積為兀3,所以點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是. 兀板塊三/考息送檢，易錯警示易錯點(diǎn)定積分的幾何意義不明確錯因分析：f(x)dx不一定表示面積，也可能是面積

15、的相反數(shù)，它可正，可負(fù)，也可a為零.與x軸圍成的圖形的面積.例1求曲線f(x)=sinx,xCJ0解析當(dāng)xC0,兀時，f（x）0,當(dāng)xe7t5/時，f(x)<0.則所求面積 S=sin x d x +05二兀 xsin4.、-.5xdx!=cosx|0+cosx|4兀1；=3呼2【跟蹤訓(xùn)練1】（2018山東淄博一模）如圖所示，曲線y=x2-1,x=2,x=0圍成的陰影部分的面積為（A.|x211dx1dxC.2(x21)dx，0D.f1(x2-1)dx+(1-x2)dx解析由曲線y=|x2jx2-1|dx.01|的對稱性知，所求陰影部分的面積與如下圖形的面積相等,課時達(dá)標(biāo)第17講曲邊梯形

16、的解密考綱本考點(diǎn)主要考查利用微積分基本定理以及積分的性質(zhì)求定積分、面積，常與導(dǎo)數(shù)、概率相結(jié)合命題，通常以選擇題的形式呈現(xiàn)，題目難度中等.、選擇題1.exdx的值等于（C ） 0A.B.C.D.12(e 1)A. e22B.e 1解析f1exdx=ex|0=e1-e0=e-1,故選C.0C. e2D. e+1解析 e.12x + - dx=(x2+1n x)| e = e：故選 C. x3.求曲線y=x2與直線y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是 （A ）A.S=(xx2)dx-0B.S=(x2x)dx-0C.S=(y2y)d y-0D.S= f1(y->/y)dy-0解析由圖象可得S=r

17、（xx2）dx.4.曲線y=2與直線y=x1及直線x=4所圍成的封閉圖形的面積為（D）xA.21n 2B. 2-ln 2C.4-ln 2D. 421n 2解析由曲線y=2與直線y=xi及x=4所圍成的封閉圖形，如圖中陰影部分所示,x故所求圖形的面積為S=x 21nx)| 4= 4 21n 2.5.設(shè)f(x)=，1!xB.,xC(1,e（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則/f（x）dx的值為0dx=1x3|0+ln3x|e=-1+1=g,故選A.33_ir 22A.一兀B.71D.71解析因?yàn)?cos x d x = sin x07t2故所求概率為兀1X2 兀2二、填空題7.兀2 (cos 0x si

18、n x)d x = 0解析2 (cos xsin x)dx= (sin0x+ cosx)7t2=0.1e8 .若函數(shù) f (x) = x + ,則f(x)dx=! x.1一號#.+ ln x解析fewe e2+11 =29 .由曲線 y= sin x, y= cos.兀. x與直線x= 0, x = q所圍成的平面圖形(圖中的陰影部分)的面積是！ ！ ！2x/2-2 #.解析由圖可得陰影部分面積7tS= 2 4 (cosx sin x)dx= 2(sinx+ cos x)=2(也1).三、解答題10.求下列定積分.,(1)廣 1x-x2+x dx； (2)0 兀(cosx + ex)d x.2

19、2,122221X2X解析x+xdx=xdxXdx+qdx=21-2=ln2-5.6 J ( (cosx + ex)dx= !cosd 兀r0 xxdx+exdx= sin一兀11.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x+1,求其在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)=x2圍成的圖形的面積.解析(1,2)為曲線f(x)=x3x2+x+1上的點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k則k=f'(1)=(3x2-2x+1)|x=1=2，在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y-2=2(x1),即y=2x,y=2x與函數(shù)g(x)=x2圍成的y=x2,圖形如圖.，由i可得交點(diǎn)A(2,4).ly=2xy=2x與函數(shù)g(x)=