如何證明圓的切線

1、如何證明圓的切線證明直線是圓的切線，通常有的以下幾種方法：一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個(gè)點(diǎn)，那么作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑【例1】如圖1，已知AB為O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BDOB，點(diǎn)C在圓上，CAB30º求證：DC是O的切線思路：要想證明DC是O的切線，只要我們連接OC，證明OCD90º即可圖1OABCD證明：連接OC，BCAB為O的直徑，ACB90ºCAB30º，BCABOBBDOB，BCODOCD90ºDC是O的切線【評(píng)析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和

2、“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線本題在證明OCD90º時(shí)，運(yùn)用了“在一個(gè)三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”，當(dāng)然也可以從角度計(jì)算的角度來求OCD90º二、如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑【例2】如圖2，已知AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D求證：AC平分DAB圖2OABCD231思路：利用圓的切線的性質(zhì)與圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑證明：連接OCCD是O的切線，OCCDADCD，OCAD12OCOA，1323AC平分DAB【評(píng)析

3、】已知一條直線是某圓的切線時(shí)，切線的位置一般是確定的在解決有關(guān)圓的切線問題時(shí)，輔助線常常是連接圓心與切點(diǎn)，得到半徑，那么半徑垂直切線【例3】如圖3，已知AB為O的直徑，過點(diǎn)B作O的切線BC，連接OC，弦ADOC求證：CD是O的切線OABCD圖32341思路：本題中既有圓的切線是已知條件，又證明另一條直線是圓的切線也就是既要注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)定理，又要運(yùn)用圓的切線的判定定理欲證明CD是O的切線，只要證明ODC90º即可證明：連接ODOCAD，13，24OAOD，1234又OBOD，OCOC，OBCODCOBCODCBC是O的切線，OBC90ºODC90ºDC是O

4、的切線【評(píng)析】本題綜合運(yùn)用了圓的切線的性質(zhì)與判定定理一定要注意區(qū)分這兩個(gè)定理的題設(shè)與結(jié)論，注意在什么情況下可以用切線的性質(zhì)定理，在什么情況下可以用切線的判定定理希望同學(xué)們通過本題對(duì)這兩個(gè)定理有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)本題若作ODCD，就判斷出了CD與O相切，這是錯(cuò)誤的這樣做相當(dāng)于還未探究、判斷，就以經(jīng)得出了結(jié)論，顯然是錯(cuò)誤的三、已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)只需連接該公共點(diǎn)和圓心，證明該半徑垂直于已知直線【例4】 如圖1，B、C是O上的點(diǎn)，線段AB經(jīng)過圓心O，連接AC、BC，過點(diǎn)C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切線嗎？為什么？解：AC是O的切線理由：連接OC，因?yàn)镺C=OB，所以O(shè)CB=B因?yàn)镃OD是BO

5、C的外角，所以COD=OCB+B=2B因?yàn)锳CD=2B，所以ACD=COD因?yàn)镃DAB 于D，所以DCO+COD=90°所以DCO+ACD=90°即OCAC因?yàn)镃為 O上的點(diǎn)，所以AC是O的切線【例5】 如圖2，已知是ABC的外接圓，AB是的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AEDC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分EAB求證：DE是O的切線證明：連接OC，則OA=OC，所以CAO=ACO，因?yàn)锳C平分EAB，所以EAC=CAO=AC，所以AECO，又AEDE，所以CODE，所以DE是O的切線四、直線與圓的公共點(diǎn)未知時(shí)須通過圓心作已知直線的垂直線段，證明此垂線段的長(zhǎng)等于半徑【例6】 如圖3，AO是ABC的中線，O與AB邊相切于點(diǎn)D（1）要使O與AC邊也相切，應(yīng)增加條件_（任寫一個(gè)）（2）增加條件后，請(qǐng)你證明O與AC 邊相切解:（1）答案不唯一，可以是B=C，AB=AC，BAO=CAO，AOBC等（2）增加條件B=C后， O與AC 邊相切證明:連接OD，作OEAC，垂足為E因?yàn)镺與AB相切于點(diǎn)D，所以