證明方程根的存在性的方法

1、.在數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域中，求解方程是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，而證明方程根的存在性又是求解方程的關(guān)鍵一步.本文利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，費(fèi)馬定理，微分中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，最大值與最小值定理，泰勒公式，積分中值定理七種方法來(lái)解決這一問(wèn)題，并給予了相應(yīng)的方法步驟，例題簡(jiǎn)析及結(jié)論.1 利用連續(xù)函數(shù)的介值定理1.1 知識(shí)回顧：介值性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且,若為介于與之間的任何實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn),使得.根的存在定理:若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)即,則至少存在一點(diǎn)，使得.1.2 方法步驟：（1）構(gòu)造合適的輔助函數(shù)；（2）選取合適的區(qū)間，使輔助函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值不同或符號(hào)異號(hào)；（3）由介值性定理或根

2、的存在定理得出結(jié)論.1.3 例題簡(jiǎn)析：例1. 設(shè)在上連續(xù)，且滿(mǎn)足,證明在區(qū)間內(nèi)，方程至少有一根.分析： 通過(guò)引入一個(gè)輔助函數(shù),把原來(lái)要證明的變?yōu)?這就相當(dāng)于證明方程的根的存在問(wèn)題，這種證明方法常見(jiàn).證明：令. 由于, 所以，對(duì)任何有.進(jìn)而, . 若或,則取或,于是方程至少有一根或. 若與,則 由根的存在性定理得：存在使得,即 于是，方程在至少有一根. 綜上可得，在閉區(qū)間內(nèi)，方程至少有一根.2 利用費(fèi)馬定理2.1 知識(shí)回顧: 費(fèi)馬定理:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,且在點(diǎn)可導(dǎo),若點(diǎn)為的極值點(diǎn),則必有.2.2 例題簡(jiǎn)析:例2.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),且,試證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)必至少存在一點(diǎn)使得.分析：

3、若能確定某一函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最優(yōu)值必在該區(qū)間內(nèi)部達(dá)到，則由費(fèi)馬定理即刻可以斷定方程在該區(qū)間內(nèi)部有一實(shí)根.證明：欲證的結(jié)論等價(jià)于證明方程在內(nèi)至少存在一實(shí)根，則構(gòu)造輔助函數(shù). 顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有 ， 則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)點(diǎn)處的函數(shù)值大于其在端點(diǎn)處函數(shù)值 與 即知在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值必定能在開(kāi)區(qū)間內(nèi)部的某一點(diǎn)處取到，于是由費(fèi)馬定理得 因 ，則原命題成立.2.3 結(jié)論： 利用費(fèi)馬定理證明方程根的存在性方法是：找一個(gè)函數(shù)，使，證明在某點(diǎn)處取到極值且存在.由費(fèi)馬定理知：，即 .3 利用微分中值定理3.1 知識(shí)回顧：(1)羅爾中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件：（i）在區(qū)間上連續(xù) (ii) 在區(qū)

4、間 內(nèi)可導(dǎo) （iii） 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.（2）拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件：(i) 在閉區(qū)間上連續(xù) (ii) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得=.（3）柯西中值定理：設(shè)函數(shù)和滿(mǎn)足（i）在區(qū)間上都連續(xù)(ii) 在區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)（iii）和不同時(shí)為零(iv)則存在, 使得=.3.2 方法步驟：（1）根據(jù)題設(shè)條件，分析運(yùn)用哪個(gè)中值定理；（2）靈活，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù);（3）驗(yàn)證輔助函數(shù)是否滿(mǎn)足微分中值定理的條件；（4）得出結(jié)論.3.3 例題簡(jiǎn)析：例3. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明方程在內(nèi)有根.分析：從證明的目標(biāo)可發(fā)現(xiàn)等式左邊分子為-,若令，則方程左邊為是某一函數(shù)在兩個(gè)

5、不同點(diǎn)處的值，可聯(lián)想到拉格朗日中值定理，且恰好=. 證明：作輔助函數(shù),則 在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，從而在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使= 由于 = 可見(jiàn) = + 即 于是方程在內(nèi)至少有一根.例4. 設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且=0，試證方程= 在區(qū)間內(nèi)有根.分析：所給問(wèn)題為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)值的問(wèn)題，可以考慮利用微分中值定理證明，如果將要證明的結(jié)論變形為(1-)-2=0,由此認(rèn)定= 2,如果取,但是在上不滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.如果將上式兩端同乘以非零函數(shù),使=0,且=,則可取,從而可設(shè).證明：設(shè),由題設(shè)條件可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 由羅爾定理可知，存在,使得 =0 由于1，可知 =0 即 方程=在區(qū)間內(nèi)有

6、根.3.4 結(jié)論：有關(guān)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處值的關(guān)系式?？梢钥紤]利用微分中值定理證明.（1）如果關(guān)系式中出現(xiàn)某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)不同點(diǎn)處的值，常需兩次利用羅爾中值定理或拉格朗日中值定理來(lái)證明.（2）如果關(guān)系式中出現(xiàn)某函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處值，?？煽紤]對(duì)該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)利用羅爾中值定理或拉格朗日中值定理來(lái)證明.（3）如果某關(guān)系式中出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處值，?？煽紤]利用柯西中值定理來(lái)證明.（4）如果某關(guān)系式中出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)不同點(diǎn)處值，?？煽紤]兩次利用柯西中值定理與拉格朗日中值定理證明.4 利用函數(shù)的單調(diào)性4.1 知識(shí)回顧： 單調(diào)性定理：設(shè)在區(qū)間(可以是開(kāi)區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半開(kāi)半閉區(qū)

7、間，也可以是無(wú)窮區(qū)間)上連續(xù)，在內(nèi)部可導(dǎo)（不需要在端點(diǎn)可導(dǎo)） （1）若內(nèi)部，0，則在區(qū)間上遞增. （2）若內(nèi)部，0，則在區(qū)間上遞減. （3）若內(nèi)部，=0，則在區(qū)間上是常數(shù)函數(shù). （4）若內(nèi)部，0，則在區(qū)間上嚴(yán)格遞增. （5）若內(nèi)部，0，則在區(qū)間上嚴(yán)格遞減. 4.2 方法步驟： 求具體連續(xù)函數(shù)在其定義域上或指定的區(qū)間上有幾個(gè)零值點(diǎn)的步驟： （1）求函數(shù)的定義域； （2）求出導(dǎo)數(shù)等于零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)； （3）列表;（4）討論每個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間兩端函數(shù)（或極限）值的情況;（5）結(jié)論.4.3 例題簡(jiǎn)析:例6. 證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根.證明: 由，.設(shè)求出F(x) 的單調(diào)區(qū)間,由于令得且

8、無(wú)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),下面列表0(0,e)e()_+ 由在(0,e)內(nèi)嚴(yán)格遞減且在兩端點(diǎn)函數(shù)(極限)值異號(hào),知在(0,e)僅有一個(gè)根,在內(nèi)嚴(yán)格遞增且在兩端點(diǎn)函數(shù)(極限)值異號(hào),知在內(nèi)僅有一個(gè)根,故原方程在內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根.例7. 證明若,則方程的任一非零解至多有一個(gè)零點(diǎn).分析：可考慮用反證法，利用導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)這一性質(zhì)找出矛盾.證明：反證法 設(shè),是原方程的一個(gè)非零解的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)，不妨設(shè),且在區(qū)間,內(nèi).由導(dǎo)數(shù)定義， = = 而由已知條件 (,) 即是單調(diào)增函數(shù)，故矛盾. 因此，方程的任一非零解至多有一個(gè)零點(diǎn).4.4 結(jié)論：（1）利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理證明方程根的存在性，這是最常見(jiàn)的證明方法，而在討論方程根的唯一性問(wèn)題時(shí)，常常利用函數(shù)的單調(diào)性. （2）若在區(qū)間上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).若函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)（或極限）值