一、正反演問題的概述

1、地球物理反演概論地球物理反演概論 I講授提綱講授提綱一、正反演問題的概述一、正反演問題的概述二、不適定問題及其穩(wěn)定性二、不適定問題及其穩(wěn)定性 三、三、 Backus-Gilbert線性反演理論線性反演理論 四、四、解線性反問題的基本數(shù)值方法解線性反問題的基本數(shù)值方法 五、直接非線性反演方法五、直接非線性反演方法六、地球物理中的正反演應(yīng)用實(shí)例六、地球物理中的正反演應(yīng)用實(shí)例課程特點(diǎn)課程特點(diǎn) 是是地球物理學(xué)地球物理學(xué)專業(yè)的必修課程；專業(yè)的必修課程； 是學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)、高等物理是學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)、高等物理等基礎(chǔ)課程之后的專業(yè)基礎(chǔ)課；等基礎(chǔ)課程之后的專業(yè)基礎(chǔ)課； 理論性和實(shí)踐性均較強(qiáng)。理論性和實(shí)踐

2、性均較強(qiáng)。 了解并認(rèn)識地球物理反演理論和方法；了解并認(rèn)識地球物理反演理論和方法； 了解地球物理問題和數(shù)學(xué)物理問題的了解地球物理問題和數(shù)學(xué)物理問題的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系；內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系； 把地球物理問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，反過把地球物理問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，反過來又學(xué)會把解數(shù)學(xué)問題與地球物理實(shí)際來又學(xué)會把解數(shù)學(xué)問題與地球物理實(shí)際問題有機(jī)聯(lián)系在一起。問題有機(jī)聯(lián)系在一起。課程重點(diǎn)課程重點(diǎn)（1 1）地球物理反演問題的一般理論，模型空地球物理反演問題的一般理論，模型空間，數(shù)據(jù)空間，零空間，解的存在性、惟一間，數(shù)據(jù)空間，零空間，解的存在性、惟一性、穩(wěn)定性，適定與不適定問題。性、穩(wěn)定性，適定與不適定問題。（2 2）線性反演理論

3、及方法，長度的概念，模線性反演理論及方法，長度的概念，模型構(gòu)制，解的非惟一性，穩(wěn)定性和結(jié)果評價，型構(gòu)制，解的非惟一性，穩(wěn)定性和結(jié)果評價，參數(shù)化模型的最小長度解。參數(shù)化模型的最小長度解。 （3 3）廣義線性反演廣義線性反演，廣義逆矩陣，廣義逆的，廣義逆矩陣，廣義逆的求解方法。求解方法。課程主要內(nèi)容：課程主要內(nèi)容：（4 4）Backus-GilbertBackus-Gilbert反演理論反演理論，連續(xù)，連續(xù)介質(zhì)反演理論，介質(zhì)反演理論，BGBG線性評價。線性評價。（5 5）非線性反演方法，非線性問題的非線性反演方法，非線性問題的線性化，最優(yōu)化法，阻尼最小二乘法，線性化，最優(yōu)化法，阻尼最小二乘法，人工

4、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，遺傳算法，多尺度反人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，遺傳算法，多尺度反演。演。 （6 6）典型地球物理反演實(shí)例。典型地球物理反演實(shí)例。 課程主要內(nèi)容：課程主要內(nèi)容：主要參考文獻(xiàn)主要參考文獻(xiàn)11地球物理反演基本理論與應(yīng)用方法地球物理反演基本理論與應(yīng)用方法，中國地質(zhì)大學(xué)，中國地質(zhì)大學(xué)“211211”工程工程建設(shè)重點(diǎn)資助系列教材，姚姚主編，中國地質(zhì)大學(xué)出版社，建設(shè)重點(diǎn)資助系列教材，姚姚主編，中國地質(zhì)大學(xué)出版社，20022002。22地球物理反演問題地球物理反演問題，傅淑芳等編著，地震出版社，傅淑芳等編著，地震出版社，19981998。33數(shù)字信號分析與處理數(shù)字信號分析與處理，朱光明，李慶春等編著，陜西人民

5、教育，朱光明，李慶春等編著，陜西人民教育出版社，出版社，20032003。44地球物理反演理論地球物理反演理論，王家映編著，高等教育出版社，王家映編著，高等教育出版社，20022002。55反演理論及其應(yīng)用反演理論及其應(yīng)用，徐果明編著，地震出版社，徐果明編著，地震出版社，20032003。66地球物理反演的理論和方法地球物理反演的理論和方法，楊文采編著，地質(zhì)出版社，楊文采編著，地質(zhì)出版社，19971997。77地球物理數(shù)據(jù)分析地球物理數(shù)據(jù)分析離散反演理論離散反演理論，王光明等譯，地質(zhì)出版社，王光明等譯，地質(zhì)出版社，19881988。88Inverse Problem TheoryInverse

6、 Problem Theorymethods for data fitting and model methods for data fitting and model parameter estimation, A.Tarantola(parameter estimation, A.Tarantola(中譯本中譯本, ,張先康譯張先康譯) )。99 Geophysical Data Analysis : Discrete Inverse Theory Geophysical Data Analysis : Discrete Inverse Theory ,Willian Menke,Coll

7、ege of Oceanography,Oregon State ,Willian Menke,College of Oceanography,Oregon State University,ACADEMIC PRESS, INC.,1984University,ACADEMIC PRESS, INC.,1984本節(jié)課主要講授本節(jié)課主要講授:一、正反演問題的概述（緒論）一、正反演問題的概述（緒論）主要內(nèi)容主要內(nèi)容: 正反演問題一般原理及實(shí)例；正反演問題一般原理及實(shí)例； 地球物理反演的陳述方式和主要觀點(diǎn)；地球物理反演的陳述方式和主要觀點(diǎn)； 對反問題的描述（數(shù)學(xué)形式、適定性、解對反問題的描述（數(shù)學(xué)

8、形式、適定性、解及其評價、反演問題的局限性）。及其評價、反演問題的局限性）。 目的及要求： 對地球物理正反演問題有概括的了解，對地球物理正反演問題有概括的了解，建立一般概念；建立一般概念； 明確其一般數(shù)學(xué)表達(dá)形式；明確其一般數(shù)學(xué)表達(dá)形式； 解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性評價等。解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性評價等。 在科學(xué)實(shí)踐中，在科學(xué)實(shí)踐中，反演反演是一種相當(dāng)普是一種相當(dāng)普遍的手段。遍的手段。地球物理反演地球物理反演則是通過對地則是通過對地面、地下、空間，甚至海洋上的觀測面、地下、空間，甚至海洋上的觀測（地震儀、重力儀、地電及地磁儀）資（地震儀、重力儀、地電及地磁儀）資料進(jìn)行分析計(jì)算，來推斷地球內(nèi)部

9、介質(zhì)料進(jìn)行分析計(jì)算，來推斷地球內(nèi)部介質(zhì)的地震波速度、密度、電導(dǎo)率等參數(shù)的的地震波速度、密度、電導(dǎo)率等參數(shù)的分布，從而得到地球內(nèi)部介質(zhì)分布的二分布，從而得到地球內(nèi)部介質(zhì)分布的二維或三維結(jié)構(gòu)圖像。維或三維結(jié)構(gòu)圖像。 在掌握了事物的發(fā)展規(guī)律和事物之間相互在掌握了事物的發(fā)展規(guī)律和事物之間相互作用規(guī)律的基礎(chǔ)上，便有可能由已知參數(shù)作用規(guī)律的基礎(chǔ)上，便有可能由已知參數(shù)（源參數(shù)及介質(zhì)參數(shù)），根據(jù)物理規(guī)律來推（源參數(shù)及介質(zhì)參數(shù)），根據(jù)物理規(guī)律來推測和計(jì)算觀測（主要是儀器觀測）得到的資測和計(jì)算觀測（主要是儀器觀測）得到的資料和數(shù)據(jù)，這一過程稱為正（演）問題。例料和數(shù)據(jù)，這一過程稱為正（演）問題。例如由地震的震源參

10、數(shù)，根據(jù)彈性動力學(xué)規(guī)律，如由地震的震源參數(shù)，根據(jù)彈性動力學(xué)規(guī)律，計(jì)算各地震臺（檢測點(diǎn)）應(yīng)該記錄到的地震計(jì)算各地震臺（檢測點(diǎn)）應(yīng)該記錄到的地震動（到時，動力學(xué)特征），是既有空間尺度動（到時，動力學(xué)特征），是既有空間尺度又有時間尺度的正演。因此，又有時間尺度的正演。因此，正問題正問題是由原是由原因推測結(jié)果。因推測結(jié)果。 反（演）問題是反（演）問題是相對正問題而言的，相對正問題而言的，是由結(jié)果推測原因。這里的結(jié)果應(yīng)該是是由結(jié)果推測原因。這里的結(jié)果應(yīng)該是可以觀測到的，稱為觀測資料。地球物可以觀測到的，稱為觀測資料。地球物理學(xué)中的反演就是研究把地球物理學(xué)中理學(xué)中的反演就是研究把地球物理學(xué)中觀測數(shù)據(jù)映射到

11、相應(yīng)的地球物理模型的觀測數(shù)據(jù)映射到相應(yīng)的地球物理模型的理論和方法。即：觀測數(shù)據(jù)理論和方法。即：觀測數(shù)據(jù)反演數(shù)學(xué)反演數(shù)學(xué)物理模型物理模型場源模型參數(shù)。場源模型參數(shù)。1一般原理及實(shí)例一般原理及實(shí)例（1）正演問題：根據(jù)某些一般原理或模型根據(jù)某些一般原理或模型，以及一系列與所處理的問題有關(guān)的已知條，以及一系列與所處理的問題有關(guān)的已知條件（初始、邊界條件）來預(yù)測觀測結(jié)果（預(yù)件（初始、邊界條件）來預(yù)測觀測結(jié)果（預(yù)測數(shù)據(jù)）的方法。即：測數(shù)據(jù)）的方法。即：模型參數(shù)模型參數(shù)模型模型數(shù)數(shù)據(jù)的預(yù)測。據(jù)的預(yù)測。（2）反演問題：從數(shù)據(jù)及某些一般原理或從數(shù)據(jù)及某些一般原理或模型出發(fā)來確定模型參數(shù)的估計(jì)值。是相對模型出發(fā)來

12、確定模型參數(shù)的估計(jì)值。是相對于正演問題而存在的。即：于正演問題而存在的。即：數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)模型模型模模型參數(shù)的估計(jì)值。型參數(shù)的估計(jì)值。模型空間模型空間m逆算子逆算子g算子算子g數(shù)據(jù)空間數(shù)據(jù)空間ddGm1dGm (3）反演的過程：地面觀測條件及地下情況的復(fù)雜多變地面觀測條件及地下情況的復(fù)雜多變,使反演受到使反演受到許多限制，一般過程：許多限制，一般過程：1）根據(jù)物理原理作某些簡化之后再作數(shù)學(xué)抽象，根據(jù)物理原理作某些簡化之后再作數(shù)學(xué)抽象，提出初始模型，建立理論公式；提出初始模型，建立理論公式；2）通過正演，明確規(guī)律及法則，提出地球物理泛通過正演，明確規(guī)律及法則，提出地球物理泛函，根據(jù)初始模型給出計(jì)算值；

13、函，根據(jù)初始模型給出計(jì)算值；3）給出穩(wěn)定可行的反演算法；給出穩(wěn)定可行的反演算法；4）在一定約束下調(diào)整模型參數(shù)，使之符合規(guī)則數(shù)在一定約束下調(diào)整模型參數(shù)，使之符合規(guī)則數(shù)據(jù)的最佳地球物理模型。據(jù)的最佳地球物理模型。(4）重要進(jìn)展：近二十年來，隨著觀測和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展而近二十年來，隨著觀測和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展而得到大大推動：得到大大推動： Backus&Gilbert：系統(tǒng)研究了反問題解的：系統(tǒng)研究了反問題解的存在性、穩(wěn)定性、惟一性、分辨率、方差和存在性、穩(wěn)定性、惟一性、分辨率、方差和求解方法及約束求解；求解方法及約束求解； William Menke：離散反演理論用于地球：離散反演理論用于地球物

14、理數(shù)據(jù)分析。物理數(shù)據(jù)分析。（5）反演理論可以幫助回答的問題：（a）反問題之間的根本相似性是什）反問題之間的根本相似性是什么？么？（b）如何得到模型參數(shù)的估計(jì)值？）如何得到模型參數(shù)的估計(jì)值？（c）模型參數(shù)估計(jì)值中的誤差有多）模型參數(shù)估計(jì)值中的誤差有多少來自測量值的誤差？少來自測量值的誤差？（d）給定一個特定的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就能）給定一個特定的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就能真正確定某一組模型參數(shù)嗎？真正確定某一組模型參數(shù)嗎？反問題存在多種答案和用來評價這反問題存在多種答案和用來評價這些答案些答案“優(yōu)度優(yōu)度”的準(zhǔn)則，反演理論的準(zhǔn)則，反演理論的的研究課題研究課題都涉及到識別何時某些都涉及到識別何時某些準(zhǔn)則比其它的準(zhǔn)則更適用，

15、以及盡準(zhǔn)則比其它的準(zhǔn)則更適用，以及盡量發(fā)現(xiàn)并避免可能出現(xiàn)的失誤。量發(fā)現(xiàn)并避免可能出現(xiàn)的失誤。（6 6）反問題的例子）反問題的例子：（a）醫(yī)學(xué)層析成象；）醫(yī)學(xué)層析成象；（b）圖象增強(qiáng)；）圖象增強(qiáng)；（c）曲線擬合；）曲線擬合；（d）因子分析；）因子分析；（e）衛(wèi)星導(dǎo)航；）衛(wèi)星導(dǎo)航；（f）利用干涉法測繪宇宙射電源；）利用干涉法測繪宇宙射電源；（g）利用）利用x射線衍射分析分子結(jié)構(gòu)；射線衍射分析分子結(jié)構(gòu)；（h）地球物理反演：）地球物理反演： 震源定位、層震源定位、層析反演、地震波衰減、地震波走時反析反演、地震波衰減、地震波走時反演（演（Hergloz-Wiechert）、聲波層析）、聲波層析成像、根據(jù)

16、地球物理數(shù)據(jù)（重、磁、成像、根據(jù)地球物理數(shù)據(jù)（重、磁、電磁波、彈性波）確定地球結(jié)構(gòu)（異電磁波、彈性波）確定地球結(jié)構(gòu)（異常源）。常源）。地球物理反問題研究利用地球物理地球物理反問題研究利用地球物理觀測數(shù)據(jù)去反推描述地球物理模型特觀測數(shù)據(jù)去反推描述地球物理模型特征的理論和方法。征的理論和方法。反問題的非唯一性的一個例子反問題的非唯一性的一個例子？2地球物理反演的陳述方式和主要觀點(diǎn) 反演問題在數(shù)學(xué)上常表現(xiàn)為不適定問題反問題的固有特性。（1）地球物理反演問題的陳述方式：（a）給定場方程解的部分信息，要求推算方程的右端或定解域的形狀；（b）給定場方程解的部分信息，要求重建方程的系數(shù)。（1）地球物理反演問

17、題的陳述方式：這是因?yàn)?，地球物理反問題實(shí)質(zhì)上可化為微分方程的反問題：微分方程的中心任務(wù)是尋求其定解問題的解，由微分方程解的某種泛函，來確定方程的系數(shù)、右端或解的定義域。 各種經(jīng)典場形式上都滿足下列偏微分方程（組）：各種經(jīng)典場形式上都滿足下列偏微分方程（組）：在源內(nèi)在源外),(, 0 xgLu 其中，其中， g(x)是源函數(shù)，是源函數(shù)，L是刻畫場函數(shù)在空間變化規(guī)律的微是刻畫場函數(shù)在空間變化規(guī)律的微分算子（通常為二階），例如，對于重力、磁力和電場，分算子（通常為二階），例如，對于重力、磁力和電場，L 為為Laplace算子算子222222zyxL 對于電磁場，在均勻各向同性介質(zhì)下，L為Helmho

18、ltz算子 222224,cickkL 其中，其中， 分別為波數(shù)、介質(zhì)的導(dǎo)磁分別為波數(shù)、介質(zhì)的導(dǎo)磁率、導(dǎo)電率、介電常數(shù)、場的角頻率、光在率、導(dǎo)電率、介電常數(shù)、場的角頻率、光在真空中的傳播速度。真空中的傳播速度。ck, 對于彈性波場，在均勻、各向同性且完全彈性介對于彈性波場，在均勻、各向同性且完全彈性介質(zhì)下，質(zhì)下，L為波動算子為波動算子2221tuvL為拉梅常數(shù)為介質(zhì)密度為縱波速度,2v（2）地球物理反演理論的觀點(diǎn)：（a）把數(shù)據(jù)和模型參數(shù)作為隨機(jī)變量來處理，強(qiáng)調(diào)的是確定它們所服從的概率分布，導(dǎo)致對解的誤差分析及可信度檢驗(yàn)。觀點(diǎn)：（b）把問題看作由一些確定的參數(shù)來決定的模型，反演方法是求取這些模型

19、參數(shù)的估計(jì)值及其誤差，而不涉及概率分布本身。然而，一個估計(jì)值常常正是概率分布的期望值，其差別只不過是強(qiáng)調(diào)哪一個而已。觀點(diǎn)：（c）視模型本身為連續(xù)函數(shù)，直接對連續(xù)函數(shù)進(jìn)行處理（如Backus-Gilbert反演方法）。3對反問題的描述對反問題的描述反演問題主要包括反演問題主要包括三方面三方面的內(nèi)容：的內(nèi)容：（a a）解的適定問題，包括解的存在）解的適定問題，包括解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性；性、惟一性和穩(wěn)定性；（b b）反演問題的求解方法；）反演問題的求解方法；（c c）反演問題的解的評價。）反演問題的解的評價。解非惟一的根源解非惟一的根源（1）反演問題的數(shù)學(xué)形式 對于連續(xù)模型，兩個連續(xù)函數(shù)d(x

20、)和g(x)的關(guān)系可用積分方程表示dmxGxd)(),()( 是積分函數(shù)（又稱Green函數(shù)）。),(xG實(shí)際模型的選擇應(yīng)考慮資料精度、分辨尺度、模型的物理意義、算法的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)以及折衷原則等因素。 （2）反演問題的數(shù)學(xué)適定性問題（a）適定性，對于容許的數(shù)據(jù)d的每一集合，問題的解m存在且唯一，且連續(xù)依賴于d，則線性偏微分方程問題稱為適定問題，或稱其解是適定的。否則為不適定的。 不適定的原因：觀測數(shù)據(jù)存在誤差，計(jì)算機(jī)位數(shù)有限帶來的誤差等。因此應(yīng)引入附加條件，使其成為適定問題（條件適定Conditionally well posed），這時解變得不唯一。（c）穩(wěn)定性首先考察問題的性態(tài)，設(shè)數(shù)據(jù)在定義域D上的數(shù)值是x，需要計(jì)算的數(shù)學(xué)問題為f（x），實(shí)際上只能知道數(shù)據(jù)的近似值x*，既只能計(jì)算f（x*），當(dāng)x*接近x，且f（x*）也與f（x）相接近，那么問題是良態(tài)的即穩(wěn)定的。否則，問題對數(shù)據(jù)的攝動很敏感，則問題是病態(tài)的、不穩(wěn)定的。這時不論用什么算法，其解總是不精確的。 （c）穩(wěn)定性 其次討論算法的數(shù)值穩(wěn)定性，反演算法