第二章X射線晶體學(xué)基礎(chǔ)

1、2-1 晶體和點(diǎn)陣的定義2-2 晶體中的對(duì)稱元素與晶體學(xué)點(diǎn)群2-3 空間點(diǎn)陣2-4 倒易點(diǎn)陣及其在晶體幾何學(xué)中的應(yīng)用2-5 晶體投影2-6 總結(jié)晶體的定義：n 晶體是原子或者分子規(guī)則排列的固體；n 晶體是微觀結(jié)構(gòu)具有周期性和一定對(duì)稱性的固體；n 晶體是可以抽象出點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的固體。普通晶體的衍射花樣；a) 一般花樣；b) 有序相花樣準(zhǔn)晶的衍射花樣與形貌示意圖。 a) Al-Ni-Co二維十次準(zhǔn)晶花樣； b) 三維準(zhǔn)晶沿五次軸得到的衍射花樣； c) 三維準(zhǔn)晶的外形示意圖。國(guó)際晶體學(xué)聯(lián)合會(huì)下設(shè)的非周期晶體學(xué)術(shù)委員會(huì)在1992年建議，將晶體的定義改為：晶體是能夠給出明銳衍射的固體，非晶體是能夠給出明銳衍

2、射的固體，非周期晶體是沒(méi)有周期平移的晶體。周期晶體是沒(méi)有周期平移的晶體。晶體的特性1）自范性或自限性就熱力學(xué)可能性而言，任何晶態(tài)的物質(zhì)總是傾向于以凸多面體的形式存在，晶體的這一性質(zhì)稱為自限性或自范性。面角守衡定律：（由丹麥的斯丹諾于1669年提出）晶體的特性2）具有特定的熔點(diǎn)；3）晶體能夠產(chǎn)生衍射；4）晶體的宏觀均勻性：均勻性是晶體中坐標(biāo)原點(diǎn)的任何平移后性質(zhì)的不變性；5）晶體的各向異性：晶體的物理性質(zhì)隨方向不同而有所差異的特性，稱為晶體的各向異性。點(diǎn)陣的定義： 點(diǎn)陣是在空間任何方向上均為周期排布的無(wú)限個(gè)全同點(diǎn)的集合。與點(diǎn)陣有關(guān)的歷史n1830年，德國(guó)的Hessel總結(jié)出晶體多面體的32種對(duì)稱類(lèi)

3、型；n1849年，法國(guó)的布拉維確定了三維空間的14種空間點(diǎn)陣即14種Bravais格子；n1887年，俄國(guó)的加多林嚴(yán)格推導(dǎo)出32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群；n18901891年，俄國(guó)的費(fèi)道羅夫和德國(guó)的熊夫利斯先后獨(dú)立地推導(dǎo)出230個(gè)晶體學(xué)空間群，建立了晶體結(jié)構(gòu)理論的基本框架。小結(jié)n 晶體的特性：自范性、固定的熔點(diǎn)、宏自范性、固定的熔點(diǎn)、宏觀均勻性、各向異性；觀均勻性、各向異性；n 面角守衡定律：2-1 晶體和點(diǎn)陣的定義2-2 晶體中的對(duì)稱元素與晶體學(xué)點(diǎn)群2-3 空間點(diǎn)陣2-4 倒易點(diǎn)陣及其在晶體幾何學(xué)中的應(yīng)用2-5 晶體投影2-6 總結(jié)1、對(duì)稱軸若形體繞軸轉(zhuǎn)過(guò)360/n（n為整數(shù)）后即回復(fù)為自身，則該形體具

4、有n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，這個(gè)軸就稱之為n次對(duì)稱軸。n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱本身構(gòu)成一個(gè)群。在晶體中，由于受平移對(duì)稱的制約，只能存在1，2，3，4，6次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。2、反映面若形體中的一個(gè)面將形體分成兩部分，且兩部分上的點(diǎn)相對(duì)于該平面成鏡面對(duì)稱，則該平面稱為該形體的反映面，以符號(hào)m表示。反映也構(gòu)成群。3、反演中心若形體中的所有點(diǎn)都相對(duì)于某一點(diǎn)中心對(duì)稱，則該點(diǎn)就是反演中心，用符號(hào)-1表示。晶體中的對(duì)稱元素4、平移在晶體中，沿某個(gè)周期方向平移一個(gè)或多個(gè)周期后，我們認(rèn)為晶體沒(méi)有發(fā)生改變，稱之為平移對(duì)稱。5、旋轉(zhuǎn)反演旋轉(zhuǎn)和反演的復(fù)合操作構(gòu)成一個(gè)不同于旋轉(zhuǎn)和反演的對(duì)稱群。6、螺旋旋轉(zhuǎn)與平行平移的組合。7、滑移反映與平行平移

5、的組合晶體學(xué)點(diǎn)群將以上點(diǎn)對(duì)稱操作任意組合，能夠構(gòu)成群的組合有32種，這就是晶體中能夠存在的點(diǎn)對(duì)稱操作組合，稱之為晶體學(xué)點(diǎn)群。1;2;3;4;6;222;32;422;622;23;432旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群：中心對(duì)稱的點(diǎn)群：_2461 ; 3 ; 3;46;3 ;3m m mmmmmm mm mmmmmm非中心對(duì)稱的點(diǎn)群：_;2; 6; 3; 4;6; 4 2; 6 2; 4 3; 4mm mmm mm mmmm小結(jié)n晶體中的基本對(duì)稱操作只有四種，分別是：旋轉(zhuǎn)、反映、反演和平移；另外旋轉(zhuǎn)和反演組合可構(gòu)成旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作，旋轉(zhuǎn)和平移可以構(gòu)成螺旋對(duì)稱操作，反映和平移可以構(gòu)成滑移對(duì)稱操作；n將晶體中能夠存在的點(diǎn)

6、對(duì)稱操作任意組合，能夠成群的有32種，這就是32種晶體學(xué)點(diǎn)群；32種點(diǎn)群中只有11種是中心對(duì)稱的點(diǎn)群。2-1 晶體和點(diǎn)陣的定義2-2 晶體中的對(duì)稱元素與晶體學(xué)點(diǎn)群2-3 空間點(diǎn)陣2-4 倒易點(diǎn)陣及其在晶體幾何學(xué)中的應(yīng)用2-5 晶體投影2-6 總結(jié)空間點(diǎn)陣的類(lèi)型在討論點(diǎn)群的時(shí)候，講的是平移對(duì)點(diǎn)群對(duì)稱元素的制約；當(dāng)晶體中的對(duì)稱元素確定以后，又會(huì)反過(guò)來(lái)制約平移群和點(diǎn)陣的類(lèi)型！這是因?yàn)榫w中的原子團(tuán)可以不是中心對(duì)稱的，但是當(dāng)將其抽象為空間點(diǎn)陣點(diǎn)以后，陣點(diǎn)總是中心對(duì)稱的，再加上平移群也顯示中心對(duì)稱的特點(diǎn)，使得空間點(diǎn)陣一定是中心對(duì)稱的。金剛石的空間群是Fd-3m，其點(diǎn)群是中心對(duì)稱的，而硫化鋅（閃鋅礦）的空

7、間群是F-43m，其點(diǎn)群不是中心對(duì)稱的，但兩者都是面心立方點(diǎn)陣，點(diǎn)陣都是中心對(duì)稱的。因此按點(diǎn)群的對(duì)稱性來(lái)劃分空間點(diǎn)陣時(shí)，只須要考慮11個(gè)中心對(duì)稱的點(diǎn)群；另外，這11個(gè)中心對(duì)稱的點(diǎn)群與平移群結(jié)合時(shí)，將會(huì)使其中的4個(gè)與另外4個(gè)具有完全相同的對(duì)稱元素；因此只能劃分出七個(gè)晶系。七大晶系：按點(diǎn)群的對(duì)稱性分類(lèi)按點(diǎn)陣的對(duì)稱性分類(lèi)三維空間點(diǎn)陣有6個(gè)參數(shù)（a，b，c，,），在一組參數(shù)下，按照對(duì)稱性由低到高的順序，依次考慮點(diǎn)陣的各種點(diǎn)群對(duì)稱性，一旦不能容納某些點(diǎn)群時(shí)，則變動(dòng)點(diǎn)陣參數(shù)。這樣可以得出。七個(gè)Bravais系為：當(dāng)選用能充分反映點(diǎn)群對(duì)稱性的慣用晶胞時(shí)，可以得到14種bravais點(diǎn)陣14種bravais點(diǎn)

8、陣示意圖小結(jié)n從點(diǎn)群的對(duì)稱性出發(fā)，可以將空間點(diǎn)陣分為七個(gè)晶系，分別是：n從點(diǎn)陣的對(duì)稱性出發(fā)，可以將空間點(diǎn)陣分為七個(gè)Bravais系，分別是：n當(dāng)選用能充分反映點(diǎn)群對(duì)稱性的慣用晶胞時(shí)，可以得到14種bravais點(diǎn)陣2-1 晶體和點(diǎn)陣的定義2-2 晶體中的對(duì)稱元素與晶體學(xué)點(diǎn)群2-3 空間點(diǎn)陣2-4 倒易點(diǎn)陣及其在晶體幾何學(xué)中的應(yīng)用2-5 晶體投影2-6 總結(jié)倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣是相對(duì)于晶體的正空間點(diǎn)陣而言的，它與正空間點(diǎn)陣互為倒易，是一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體。倒易點(diǎn)陣基矢與正空間矢量間的關(guān)系是：V*bcaV*cabV*abc其中V是正空間點(diǎn)陣單胞的體積，等于三個(gè)基矢的混合積。()()()V ab cb

9、cacab由倒易點(diǎn)陣基矢的定義，容易推出：a*a=1 a*b=0 a*c=0 b*a=0 b*b=1 b*c=0c*a=0 c*b=0 c*c=1VV*=1100010001E*ababcc研究倒易點(diǎn)陣的意義：n利用倒易點(diǎn)陣可以比較方便地導(dǎo)出晶體幾何學(xué)中的各種重要關(guān)系式；n用倒易點(diǎn)陣可以方便而形象地表示晶體的衍射幾何學(xué)；n在物理學(xué)中可以用倒易點(diǎn)陣來(lái)表示波矢。倒易點(diǎn)陣的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上與正空間的同名晶面(hkl)垂直，在數(shù)值上為正空間點(diǎn)陣中同名晶面(hkl)的面間距的倒數(shù)。晶帶軸定律設(shè)正空間中的某一矢量為：ua+vb+wc；倒空間的任一矢量為： ha*+kb*+lc*；則

10、上面兩矢量的點(diǎn)乘為：(u +v +w ) (h+k+l)= hu +kv+lw*abcabc當(dāng)兩矢量互相垂直時(shí)，其點(diǎn)乘為，此時(shí)有：hu +kv+lw = 0hu +kv+lw = 0給定一個(gè)正空間的晶向給定一個(gè)正空間的晶向(uvw)，滿足上式的所有，滿足上式的所有晶面晶面(hikili)屬于同一個(gè)晶帶，其晶帶軸即為屬于同一個(gè)晶帶，其晶帶軸即為(uvw)；這就是晶帶軸定律。這就是晶帶軸定律。給定一個(gè)正空間的晶向給定一個(gè)正空間的晶向(uvw)，對(duì)于任一給定的，對(duì)于任一給定的整數(shù)整數(shù)N，滿足上式的所有晶面，滿足上式的所有晶面(hikili)都在倒空間都在倒空間的同一層倒易面上；該倒易面上的任意矢量的

11、同一層倒易面上；該倒易面上的任意矢量(hikili)與晶向與晶向(uvw)的點(diǎn)乘都等于整數(shù)的點(diǎn)乘都等于整數(shù)N，這就是，這就是廣義晶帶軸定律。廣義晶帶軸定律。hu +kv+lw = N高階勞埃帶花樣產(chǎn)生的示意圖高階勞埃帶花樣產(chǎn)生的示意圖高階勞埃帶花樣實(shí)例高階勞埃帶花樣實(shí)例 A、已知兩晶面(h1k1l1)、(h2k2l2)，要求這兩個(gè)晶面所屬的晶帶軸，只須將與兩晶面對(duì)應(yīng)的倒易矢量叉乘即可，所得的正空間矢量即為兩晶面的晶帶軸。111222111222uvw=(h+k+l) (h+k+l) = hklhkl *abcabcabcabcB、已知兩晶向(u1v1w1)， (u2v2w2)，求其構(gòu)成的平面(

12、hkl)，只須將兩個(gè)正空間矢量叉乘即可；111222111222hkl=(u+v+w ) (u+v+w) = uvwuvw*abcabcabcabc01-1/0-11晶帶花樣由倒易矢量的定義可以知道，倒空間中的三個(gè)基矢其實(shí)是正空間中與正空間基矢共原點(diǎn)的三個(gè)矢量，因此可以用空間變換將兩組基矢聯(lián)系起來(lái)，從而將正、倒空間的矢量計(jì)算結(jié)合起來(lái)。G被稱為正空間到倒空間變換的度量張量，它是晶體學(xué)計(jì)算中一個(gè)非常重要的參量。aa aa ba cGbabcb ab bb ccc ac bc c引入：1EGGE *-1ababccababcGcG *aabbcc1G aabbcc同樣可以引入倒易點(diǎn)陣的度量張量G*a

13、a* a*a* b*a* c*G*babcb* a*b* b*b* c*cc* a*c* b*c* c* *aa aa ba cabb ab bb cbcc ac bc ccG *aabbcc1G *aabbcc1G *aababcbabccc1GGG *aabbcc222coscoscoscoscoscosaabacabbbcacbcca aa ba cGb ab bb cc ac bc ca* a*a* b*a* c*G*b* a*b* b*b* c*c* a*c* b*c* c*由于：1GG將兩矩陣的相應(yīng)值進(jìn)行對(duì)比，立刻可以得到倒易點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)：n倒易點(diǎn)陣是用來(lái)處理正空間點(diǎn)陣一種數(shù)學(xué)工

14、具，倒易空間的基矢是由正空間的基矢構(gòu)造出來(lái)的，因此正倒空間可以通過(guò)空間變換聯(lián)系起來(lái)；n利用倒易點(diǎn)陣可以非常方便地導(dǎo)出晶體幾何學(xué)中的各種重要關(guān)系式；n倒易空間與正空間具有相同的點(diǎn)陣類(lèi)型。2-1 晶體和點(diǎn)陣的定義2-2 晶體中的對(duì)稱元素與晶體學(xué)點(diǎn)群2-3 空間點(diǎn)陣2-4 倒易點(diǎn)陣及其在晶體幾何學(xué)中的應(yīng)用2-5 晶體投影2-6 總結(jié)球面投影點(diǎn)陣中的方向和點(diǎn)陣平面的方位以及它們之間的關(guān)系是三維空間的立體關(guān)系，用立體圖形來(lái)表示是很不方便的，所以最好想辦法把這些關(guān)系在平面圖中表示出來(lái)。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，第一步是將晶體投影到二維的球面上。過(guò)一晶體的中心，以任意半徑作一參考球（要求參考球比晶體大得多），并由球

15、心作各晶面的法線及晶向的方向線，將它們投影在參考球上，這種表達(dá)方式就叫做球面投影。晶向與參考球相交的點(diǎn)稱之為跡點(diǎn)；晶面延展后和參考球相交為一個(gè)大圓，這個(gè)大圓就是該晶面在參考球上的面痕或者跡徑；晶面法線和球面的交點(diǎn)可以表示該晶面，這個(gè)交點(diǎn)稱為極點(diǎn)。極射赤面投影極射赤面投影是以參考球的赤道面作為投影面，以南極（或者北極）作為觀測(cè)點(diǎn)，連接南極與上半球面的球面投影點(diǎn)，則連線與赤道面（投影面）的交點(diǎn)即代表晶體的投影。下半球面上的點(diǎn)與北極相連，可另選符號(hào)，以與上半球的投影點(diǎn)相區(qū)別。全部極射赤面投影點(diǎn)都分布在一個(gè)與球直徑相等的大圓內(nèi)，投影圖的邊界大圓稱之為基圓。球面投影與極射赤面投影的幾個(gè)重要關(guān)系：1、球面上過(guò)南北極的大圓（了午線大圓），在極射赤面投影圖上是一根過(guò)圖中心的直線；2、球面上一般大圓的投影是一個(gè)大圓弧，例如過(guò)投影面直徑的大圓，其極射赤面投影是過(guò)該直徑的大圓弧線；3、球面上一般小圓的投影是小圓弧。極式網(wǎng)和吳里夫網(wǎng)其中吳里夫網(wǎng)是研究晶體投影、晶體取向的有力工具，吳式網(wǎng)有直徑為100mm,200mm,300mm等幾種，間隔為12度。吳里夫網(wǎng)的應(yīng)用1、求晶面間的夾角和晶體的轉(zhuǎn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)極圖n晶體是微觀結(jié)構(gòu)具有周期性和一定對(duì)稱性的固體，晶體的特性包括自范性、宏