課件：不定積分復(fù)習(xí)課

1、不定積分復(fù)習(xí)課不定積分復(fù)習(xí)課積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分一些特殊類(lèi)型一些特殊類(lèi)型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、原函數(shù)、原函數(shù)2 2、不定積分、不定積分CxFdxxf )()(3 3、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì))()(xfxF 若若 ，則，則F(x)是是(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 表達(dá)式表達(dá)式 F(x) + C 是是 (x) 的所有原函數(shù)。的所有原函數(shù)。法則法則 1兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和差的不定積分等于兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和

2、差的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和差這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和差，.d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf即即法則法則 2被積函數(shù)中的不為零的常數(shù)因子可以被積函數(shù)中的不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面提到積分號(hào)前面，xxfkxxkfd)(d)(即即( (k 為不等于零的常數(shù)為不等于零的常數(shù)) )4.4.基本積分表基本積分表 kCkxxk(d)1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1d)2(1 Cxxx;lnd )3( Cxxx xxd11)4(2;arctanCx xxd11)5(2;arcsinCx xxdcos)6(;sinCx xxdsin)7(;cosCx xx2cosd)8(

3、xxdsec2;tanCx xx2sin)9(d xxdcsc2;cotCx xxxdtansec)10(;secCx xxxdcotcsc)11(;cscCx xexd)12(;Cex xaxd)13(;lnCaax 以上以上13個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ), 稱(chēng)為基本積分表稱(chēng)為基本積分表, 必須熟練掌握必須熟練掌握.xx d)3();1(11Cxxd) 1 (cxxxdcos)2(;sinCx xxd11)4(2;arctanCx xxxdtansec)5(;secCx xxdsin)7(;cosCx xexd)6(;Cex xxxdcotcsc)8(;cscCx 口答

4、訓(xùn)練口答訓(xùn)練:口答訓(xùn)練口答訓(xùn)練:xxd11)10(2xxd )9(Cx ln ;arcsinCx xaxd)11(;lnCaax xxdsec)12(2;tanCx xxdcsc)13(2;cotCx 5 5、第一類(lèi)換元法（、第一類(lèi)換元法（湊微分法湊微分法）湊微分法的主要思想：湊微分法的主要思想： 將不同的部分將不同的部分中間變量與積分變量中間變量與積分變量變成相同，使之能套用基本積分公式。變成相同，使之能套用基本積分公式。 此時(shí)要求熟悉并牢記一些基本的微分公式，此時(shí)要求熟悉并牢記一些基本的微分公式，并善于從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子。并善于從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子。 dxxx

5、f)()( )()(xuduuf uxdudxx)()( CxFCuFxu )()()( 常見(jiàn)類(lèi)型常見(jiàn)類(lèi)型: :;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 6 6、分部積分法、分部積分法dxvuuvdxvu duvuvudv 分部積分公式分部積分公式選擇選擇 u u、v v 的有效方法的有效方法: :ILAETILAET選擇法選擇法I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；L-對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)

6、函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.反、對(duì)、冪、指、三反、對(duì)、冪、指、三排序在后者優(yōu)先進(jìn)入積分號(hào)排序在后者優(yōu)先進(jìn)入積分號(hào)uuvv+xdxexlnxdxxarctanxdxexcos常見(jiàn)類(lèi)型常見(jiàn)類(lèi)型: :取取u vxdxx3sinxdxxlndxexx2, xx3sin取取取取取取取取取取u vu vu vu vu v,2x,xe,lnx, x, x,arctan x,xe,cosx,lnx,xe直接積分法直接積分法: 利用基本積分公式和性質(zhì)求不定積分的方法稱(chēng)為直接利用基本積分公式和性質(zhì)求不定積分的方法稱(chēng)為直接積分法積分法.用直接積分法可求

7、出某些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分用直接積分法可求出某些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.例例1： 求下列不定積分求下列不定積分23(2)(1)xdxx2233(2)44xxxdxdxxx解2311144dxdxdxxxx242ln xCxx二、典型例題二、典型例題例例 1 1：（2）解解:.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例1：（3 3） 求積分求積分.)1(122dxxxxx 解解: 原式原式dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx )x(x)x(x2211 拆分拆分說(shuō)

8、明：說(shuō)明：求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù), 它表明一個(gè)函數(shù)它表明一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè), 即要求的是全體原函數(shù)即要求的是全體原函數(shù), 若不加積若不加積分常數(shù)則表示只求出了其中一個(gè)原函數(shù)分常數(shù)則表示只求出了其中一個(gè)原函數(shù).寫(xiě)成分項(xiàng)積分后寫(xiě)成分項(xiàng)積分后, 積分常數(shù)可以只寫(xiě)一個(gè)積分常數(shù)可以只寫(xiě)一個(gè).從該例中我們可以看出熟記基本積分表的重要性從該例中我們可以看出熟記基本積分表的重要性.檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確, 只要把最后的結(jié)果求導(dǎo)只要把最后的結(jié)果求導(dǎo), 看其導(dǎo)數(shù)是看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)否等于被積函數(shù).dxedxxxdxxxdxxx

9、x543103)11(cos2)31(14322、求下列不定積分求下列不定積分.課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練.)2sin2(5xxxxexd、.d) 1(126222xxxx、 1、通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你掌握了那些知識(shí)點(diǎn)？ 2、不定積分的作用？ 小小 結(jié)結(jié)作業(yè)作業(yè)：dxxxdxxxxdxxxxxdxxxdxxex)2cos1(5)cot(csccsc4123)2(2)31(12342、不定積分復(fù)習(xí)課不定積分復(fù)習(xí)課( (二）二）1 1、第一類(lèi)換元法（、第一類(lèi)換元法（湊微分法湊微分法）湊微分法的主要思想：湊微分法的主要思想： 將不同的部分將不同的部分中間變量與積分變量中間變量與積分變量變成相同，使之能套用基本積

10、分公式。變成相同，使之能套用基本積分公式。 此時(shí)要求熟悉并牢記一些基本的微分公式，此時(shí)要求熟悉并牢記一些基本的微分公式，并善于從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子。并善于從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子。 dxxxf)()( )()(xuduuf uxdudxx)()( CxFCuFxu )()()( 1 1.()dxd axa112.(1),1x dxdx 1()( ,0)d axb a baa為常數(shù)24.(arcsin )(arccos )1dxdxdxx 1(2)dxdxx 3.,lnxxaa dxda,xxe dxde()xxeedxd25.(arctan )(cot )1dxdxd

11、arcxx 以下常見(jiàn)的湊微分公式！以下常見(jiàn)的湊微分公式！8.(sincos )( cossin )xx dxdxx29.(21)()xdxd xx210.tancosdxdxx211.cotsindxdxx xdxdxsincos7sin- cosxdxdx6.ln ,dxdxxln(1)1dxdxxdx1x21 )x2(d1x2121)1x2(d221 1x1(換元積分法)例例 1：求積分：求積分解解:原式原式 112u1ln |21|2x1|2duuClnC令令u=2x+1,上式上式 x代回變量代回變量令dx3-xx tdt2t3t2C)3x(32C)t33t(2dt)3t (22132

12、6)(x(換元積分法)例例3 3 求積分求積分),t (xt03 ，32 tx.tdt2dx 那么那么解解:x代代回回變變量量原式原式 例例3: 求不定積分求不定積分2332(1)23xdxxx33(23) 23d xxxx解 原式3ln23xxC結(jié)論結(jié)論:( )ln( )( )fxdxf xCf x(2) tan xdxsincosxdxx解 原式coscosdxx ln cosln sec.xCxC cotln sinln cscxdxxCxC 同理可得同理可得1ln(3)xdxx 1 lnlnxdx解 原式1 ln(1 ln )xdx322(1 ln )3xC例例4： 求下列各式的不定積

13、分求下列各式的不定積分(4)1xxedxe (1)1xxd ee解原式21xeC 2(1)34xdxx 221 234dxx解 原式221(34)32 34dxx21343xC結(jié)論結(jié)論:11()() ()nnnnxf axb dxf axb d axbansin(4)xdxx232(2)(1)xxdx3231(1)(1)3xd x解原式331(1)9xC211(3)cos dxxx11cos( )dxx 解原式1sinCx 2 sin xd x解 原式2cos xC 2(1) sin xdx1 cos22xdx解原式1cos22dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin224xxC

14、例例5： 求下列各式的不定積分同理可得211cossin224xdxxxC結(jié)論結(jié)論:一般地一般地, 對(duì)形對(duì)形如如sin, cosnnxdxxdx3(2) sin xdx2sincosxdxx 解 原式2(cos1) cosxdx31coscos.3xxc這樣的不定積分這樣的不定積分當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)先降次后再積分；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)應(yīng)先降次后再積分；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)應(yīng)先湊微分再積分為奇數(shù)時(shí)應(yīng)先湊微分再積分；2(3) sincosxxdx231sinsinsin3xdxxC解 原式sincosnmxxdx一般地一般地,對(duì)形如對(duì)形如這樣的不定積分這樣的不定積分若若nm，且一奇一偶時(shí)，則應(yīng)湊奇次冪的三角函數(shù)，且一

15、奇一偶時(shí)，則應(yīng)湊奇次冪的三角函數(shù)；若同為偶，則化為若同為偶，則化為sin, cosnnxdxxdx 來(lái)積分.1sin22nnmx dx若，則化為 （） 來(lái)積分.(4)(4) 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 還有其他方法嗎？還有其他方法嗎？dxeexdxxx1232cos1）（）（dxxxdxxdxxInxsincos)5(cos)4(1)3(23求下列不定積分求下列不定積分 習(xí)習(xí) 題題2 2、分部積分法、分部積分法dxvuu

16、vdxvu duvuvudv 分部積分公式分部積分公式I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；L-對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.反、對(duì)、冪、指、三反、對(duì)、冪、指、三排序在后者優(yōu)先進(jìn)入積分號(hào)排序在后者優(yōu)先進(jìn)入積分號(hào)uuvv+選擇選擇 u u、v v 的有效方法的有效方法: :ILAETILAET選擇法選擇法注注:不定積分不定積分 不易計(jì)算不易計(jì)算,而不定積分而不定積分 易于計(jì)算易于計(jì)算,則可采用分部積分公式則可采用分部積分公式, 使計(jì)算大為簡(jiǎn)化使計(jì)算大為簡(jiǎn)化.udvvdu考慮公式考慮公式dxxcosx (分部

17、積分法分部積分法)例例1 1 求積分求積分解解: 根據(jù)根據(jù)ILAET選擇法選擇法取取, xu xvcos 原式原式 Cxcosxsinxxdxsinxsinx 1xxxsincos+dxvuuvdxvu 例例2 求求解解 (1) 設(shè)設(shè) (2)arctanarctanxxxdx原式2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxCdxxex）（ 1dxxarctan2）（，xu由分部積分公式得由分部積分公式得dxexexxcexexxdxxex1xxxee+xve211arctanxxx1+例例3 求下列不定積分求下列不定積分21 (2)arctan2xdx原式221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxClnlnlnxdxxxxdx1lnlnxxxdxxxxCxdxxxarctan2）（dxxln1）（22ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xxdx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1)(1)xxxxC1122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解