幾何最值問(wèn)題講義及答案

1、幾何最值問(wèn)題（講義）Ø 課前預(yù)習(xí)1. 解決幾何最值問(wèn)題的理論依據(jù)： （已知兩個(gè)定點(diǎn)） （已知一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線） （已知兩邊長(zhǎng)固定或其和、差固定）2. 幾何最值問(wèn)題基本結(jié)構(gòu)分析（請(qǐng)根據(jù)所求目標(biāo)，畫圖找出符合要求的點(diǎn)的位置）利用幾何變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化Pl（求 PA+PB 的最小值）MNl（求 AM+BN 的最小值）A PlB（求 PA - PB 的最大值）利用圖形性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化M AOBN（求點(diǎn) D 到 O 的最大距離）Ø 知識(shí)點(diǎn)睛解決幾何最值問(wèn)題的通常思路：1. 分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，尋找不變特征2. 若屬于常見模型、結(jié)構(gòu)，調(diào)用模型、結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題；若不屬于常見模型，結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不

2、變特征轉(zhuǎn)化，借助基本定理解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化原則：盡量減少變量，向定點(diǎn)、定線段、定圖形靠攏Ø 精講精練1. 如圖，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 為 BC 邊上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB 于點(diǎn) E，PFAC 于點(diǎn) F若 M 為 EF 的中點(diǎn)， 則 AM 長(zhǎng)度的最小值為 CAEFEMDBPCBA第 1 題圖第 2 題圖2. 如圖，在 RtABC 中，B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn) D 在 BC 邊上，則以 AC 為對(duì)角線的所有ADCE 中，DE 長(zhǎng)度的最小值為 3. 若點(diǎn) D 與點(diǎn) A(8，0)，B(0，6)，C(a， -a )是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則 CD 長(zhǎng)度的最

3、小值為 4. 如圖，已知 AB=2，C 是線段 AB 上任一點(diǎn)，分別以 AC，BC 為斜邊，在 AB 的同側(cè)作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE，則 DE 長(zhǎng)度的最小值為 PEACBACB第 4 題圖第 5 題圖5. 如圖，已知 AB=10，C 是線段 AB 上任一點(diǎn)，分別以 AC，BC 為邊，在 AB 的同側(cè)作等邊三角形 ACP 和等邊三角形 BCQ， 則 PQ 長(zhǎng)度的最小值為 6. 動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCD 中，AB=3，AD=5如圖所示， 折疊紙片，使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的 A處，折痕為 PQ，當(dāng)點(diǎn) A 在 BC 邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn) P，Q 也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)

4、P，Q 分別在 AB，AD 邊上移動(dòng)，則點(diǎn) A在 BC 邊上可移動(dòng)的最大距離為 BA'CBCPAQDAD7. 如圖，在直角梯形紙片 ABCD 中，ADAB，AB=8，AD=CD=4， 點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在線段 AB，AD 上，將AEF 沿 EF 翻折，點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為 P（1）當(dāng)點(diǎn) P 落在線段 CD 上時(shí)，PD 的取值范圍是 （2）當(dāng)點(diǎn) P 落在直角梯形 ABCD 內(nèi)部時(shí)，PD 長(zhǎng)度的最小值為DPCDC PFFAEBAEBDCDCABAB8.如圖，在 RtABC 中，ACB=90°，A=30°，AC= 4，BC的中點(diǎn)為 D將ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角

5、度得到FEC，EF 的中點(diǎn)為 G，連接BEDG，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DG 長(zhǎng)度的最大值為 DCA9. 如圖，已知ABC 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0，6)，BC 的中點(diǎn) D 在點(diǎn) A 下方的 y 軸上，E 是邊長(zhǎng)為 2 且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 DE 長(zhǎng)度的最小值為 10. 探究：如圖 1，在等邊三角形 ABC 中，AB=6，AHBC 于點(diǎn)H，則 AH= ，ABC 的面積 S ABC = 發(fā)現(xiàn)：如圖 2，在等邊三角形 ABC 中，AB=6，點(diǎn) D 在 AC 邊上（可與點(diǎn) A，C 重合），分別過(guò)點(diǎn) A，C 作直線 BD 的垂線，垂足分別為點(diǎn) E，F(xiàn)，設(shè) BD=x，AE=m，CF=nAABHC圖 1圖 2（1）用含 x，m，n 的代數(shù)式表示S ABD 及 SCBD ；（2）求( m + n )與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出( m + n )的最大值和最小值應(yīng)用：如圖，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，P 是 BC 邊上的任一點(diǎn)（可DC與點(diǎn)