平方根知識(shí)點(diǎn)總結(jié)講義

1、平方根知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根.2了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1. 算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即X2=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0)；a的算術(shù)平方根記作,a，讀作“a的算術(shù)平方根”，a叫做被開(kāi)方數(shù)要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?dāng)式子,a有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即.a>0,a>0.2. 平方根的定義如果X2=a，那么X叫做a的平方根求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算a(a&

2、gt;0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為_(kāi),a(0)，其中a是a的算術(shù)平方根要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：_.a和a2.聯(lián)系:(1)(2)(3)要點(diǎn)詮釋:2.聯(lián)系:(1)(2)(3)要點(diǎn)詮釋:平方根包含算術(shù)平方根；被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；0的平方根和算術(shù)平方根均為0.(1) 正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根(2) 正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，另一個(gè)平方根因此，要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)(a0)-a-a(a=0)(a:0)要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)

3、規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：.62500=250,.625=25,.6.25=2.5,0.0625=0.25.【典型例題】類(lèi)型一、平方根和算術(shù)平方根的概念C1、若2m4與3m1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，求m的值.【思路點(diǎn)撥】由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2m4=(3m1),解方程即可求解.【答案與解析】解：依題意得2m4=(3m1),解得m=1;m的值為1.【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).舉一反三：【變式】已知2a1與一a+2是m的平方根，求m的值.【答案】

4、2a1與a+2是m的平方根，所以2a1與a+2相等或互為相反數(shù)22解：當(dāng)2a1=a+2時(shí)，a=1，所以m=(2a1)=(2匯11)=1當(dāng)2a1+(a+2)=0時(shí)，a=1,222所以m=(2a1)=2x(1)12=(3)=9x為何值時(shí)，下列各式有意義?(1) -X2;(2)X4;(3)X11X;(4)-.x3【答案與解析】解：(1)因?yàn)閤2一0,所以當(dāng)x取任何值時(shí)，.x2都有意義.(2) 由題意可知：x-4_0，所以x_4時(shí)，-,4有意義.工x1_0(3) 由題意可知：解得：-1_X_1.所以-1_X_1時(shí).X11-X有意11-XHO義.x-no(4) 由題意可知：，解得X-1且X3.Jx3=0

5、所以當(dāng)X-1且x=3時(shí)，止有意義.x-3【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討論，只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義.(2)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為0時(shí)，式子才有意義.舉一反三:11【變式】已知b=4.3a_222-3a2，求的算術(shù)平方根.ab【答案】3a-2啟0,21131解：根據(jù)題意，得則a-，所以b=2,.=2,2-30.3ab22丄1的算術(shù)平方根為ab類(lèi)型二、平方根的運(yùn)算C3、求下列各式的值.（1）J252-242丁32+42；（2）20-Jo.36-丁900.435【思路點(diǎn)撥】（1）首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.（2）注意運(yùn)算順序【答

6、案與解析】解：（1）、252-242LI3242'込；49L25=75=35；衛(wèi)4-両害、900丄-0.6-1303590.26=-1.7.2【總結(jié)升華】（1）混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開(kāi)方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算按先后順序進(jìn)行.（2）初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來(lái)解，熟練后直接根據(jù)a2二a(a-0)來(lái)解.類(lèi)型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的X.(1)x2-361=0;2(2)x1V=289；2(3)9(3x+2)64=0【答案與解析】解：(1)Tx2-361=0.x=361x二.361=19(2)v(x+1f=289x1=：y289x+1=±1

7、7x=16或x=18.2(3)v93x2-64=0cc264.(3x+2)盲83x2=32十14x或x=一一99開(kāi)平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2)【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程,(3) 小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度舉一反三:【變式】求下列等式中的x:(1)若x21.21，貝Ux=(2)X2=169，貝yx=(3)若x2=9,則x=4(4)若2亠2x=-2，則x=【答案】(1)±1.1;(2)±13;(3)±2.類(lèi)型四、平方根的綜合應(yīng)用5、已知a、b是實(shí)數(shù)，且.2a6|b-、,2|=：0，解關(guān)于x的方程(a2)xb2【答案與解析】解：a、b是實(shí)數(shù)，

8、.2a6|b-、.2|=0,2a6_0,|b-、2|_0,.2a6=0,b：2=0.a=3,b=、,2.把a(bǔ)=3,b、2代入(a2)xb2二a-1，得-x+2=4,.x=6.【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出a、b的值，再解方程此類(lèi)題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù)性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可.舉一反三：【變式】若x2-1y1=0，求x2011-y2012的值.【答案】解：由x2-V.0，得x2-1=0,y0，即x=1,y-1.當(dāng)x=1,y=-1時(shí)，X2011y2012=嚴(yán)1(_1)2012=2當(dāng)x=-1,y=-1時(shí)，x2011y2012=(_1)2011(_1)2012=0C6、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它長(zhǎng)寬之比為3:2，請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片【答案與解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x(x>0)cm，則寬為2xcm，依題意得3x2x=300.6x2=300.x2=50.Tx>0,x=、50.長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3、50cm./50>49, .507. 3、5021,即長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于20cm.2由正方形紙片的面積為400cm,可知其邊長(zhǎng)為20cm,長(zhǎng)方形的紙片