（精心整理）綜合 解一元二次方程—換元法

1、2.2.5解一元二次方程換元法典例解析與同步訓練【知識要點】1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的【典例解析】例1用適當方法解下列方程：（1）2x25x3=0（2）16（x+5）2

2、9=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6例題分析：本題考查了一元二次方程的幾種解法：公式法；直接開平方法；換元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求；再代入公式求解即可；（2）用直接開平方法解一元二次方程，先將方程化為（x+5）2=，直接開方即可；（3）設t=x2+x，將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求解即可解：（1）a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）24×2×（3）=25+24=49，x=，x1=3，x2=；（2）整理得，（x+5）2=，開方得，x+5=±，即x1=4，x2=5，（3）設t=x2+x，將原方程轉(zhuǎn)化為t2+t=6，因式分解得

3、，（t2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=3x2+x=2或x2+x=3（0，無解），原方程的解為x1=1，x2=2例2解方程：（1）（x+3）（x1）=5 （2）例題分析：本題主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程解一元二次方程時，要注意選擇合適的解題方法，這樣才會達到事半功倍的效果還要注意換元思想的應用（1）先去括號，將方程化為一般式，然后再運用二次三項式的因式分解法進行求解（2）先設x2x=y，采用換元法，然后解方程即可解：（1）x2+2x8=0，（x+4）（x2）=0x1=4，x2=2（2）設x2x=y原方程化為y=1y22=yy2y2=0（y+1）（y2）=0y1=1，y2=2

4、x2x=1或x2x=2解x2x=1知：此方程無實數(shù)根解x2x=2知x1=2，x2=1；原方程的解為：x1=2，x2=1例3解下列方程：（1）2x2+5x3=0（2）（3x）2+x2=9（3）2（x3）2=x（x3）（4）（x1）25（x1）+6=0例題分析：本題考查了解一元二次方程的方法，當把方程通過移項把等式的右邊化為0后，方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的式子的特點解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用（1）方程左邊可以利用十字相乘法進行因式分解，因此應用因式分解法解答（2）先移項，然后把x29因式分解為（x+3）（x3），

5、然后再提取公因式，因式分解即可（3）先移項，然后用提取公因式法對左邊進行因式分解即可（4）把（x1）看作是一個整體，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，進行進一步分解，故用因式分解法解答解：（1）因式分解，得（2x1）（x+3）=0，所以2x1=0或x+3=0，解得，x=或x=3；（2）移項得，（3x）2+x29=0，變形得，（x3）2+（x+3）（x3）=0，因式分解，得（x3）（x3）+（x+3）=0，解得，x=3或x=0；（3）移項得，2（x3）2x（x3）=0，因式分解得，（x3）2（x3）x=0，解得x=3或x=6；（4）化簡得：（x12）（x13）=0

6、即（x3）（x4）=0解得x=3或x=4例4閱讀下面材料：解答問題為解方程（x21）25（x21）+4=0，我們可以將（x21）看作一個整體，然后設x21=y，那么原方程可化為y25y+4=0，解得y1=1，y2=4當y=1時，x21=1，x2=2，x=±；當y=4時，x21=4，x2=5，x=±，故原方程的解為x1=，x2=，x3=，x4=上述解題方法叫做換元法；請利用換元法解方程（x2x）24（x2x）12=0例題分析：此題考查了學生學以致用的能力，解題的關鍵是掌握換元思想先把x2x看作一個整體，設x2x=y，代入得到新方程y24y12=0，利用求根公式可以求解解：設x

7、2x=y，那么原方程可化為y24y12=0（2分）解得y1=6，y2=2（4分）當y=6時，x2x=6即x2x6=0x1=3，x2=2（6分）當y=2時，x2x=2即x2x+2=0=（1）24×1×20方程無實數(shù)解（8分）原方程的解為：x1=3，x2=2（9分）例5閱讀下面的材料，回答問題：解方程x45x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4當y=1時，x2=1，x=±1；當y=4時，x2=4，x=±2；原方程有四個根：x1=1，x2=1，

8、x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=0例題分析：應用換元法，把關于x的方程轉(zhuǎn)化為關于y的方程，這樣書寫簡便且形象直觀，并且把方程化繁為簡化難為易，解起來更方便（1）本題主要是利用換元法降次來達到把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，來求解，然后再解這個一元二次方程（2）利用題中給出的方法先把x2+x當成一個整體y來計算，求出y的值，再解一元二次方程解：（1）換元，降次（2）設x2+x=y，原方程可化為y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，

9、得方程x2+x+2=0，b24ac=14×2=70，此時方程無解所以原方程的解為x1=3，x2=2【同步訓練】一選擇題（共10小題）1解方程（x1）25（x1）+4=0時，我們可以將x1看成一個整體，設x1=y，則原方程可化為y25y+4=0，解得y1=1，y2=4當y=1時，即x1=1，解得x=2；當y=4時，即x1=4，解得x=5，所以原方程的解為：x1=2，x2=5則利用這種方法求得方程 （2x+5）24（2x+5）+3=0的解為（）Ax1=1，x2=3 Bx1=2，x2=3 Cx1=3，x2=1 Dx1=1，x2=22用換元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6時，如果設x

10、2+x=y，那么原方程可變形為（）Ay2+y6=0 By2y6=0 Cy2y+6=0 Dy2+y+6=03用換元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）1=0，若設y=x2+x，則原方程可變形為（）Ay2+2y+1=0 By22y+1=0 Cy2+2y1=0 Dy22y1=04已知實數(shù)x滿足x2+=0，那么x+的值是（）A1或2 B1或2 C1 D25方程（x23）25（3x2）+2=0，如果設x23=y，那么原方程可變形為（）Ay25y+2=0 By2+5y2=0 Cy25y2=0 Dy2+5y+2=06若實數(shù)x，y滿足x22xy+y2+xy6=0，則xy的值是（）A2或3 B2或3 C1或6

11、 D1或67已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，則x2+y2的值為（）A5或1 B1 C5 D5或18如果（x+2y）2+3（x+2y）4=0，那么x+2y的值為（）A1 B4 C1或4 D1或39正整數(shù)x，y滿足（2x5）（2y5）=25，則x+y的值是（）A10 B18 C26 D10或1810若（a2+b2）（a2+b22）=8，則a2+b2=（）A2 B4 C4或2 D4或2二填空題（共5小題）11已知，關于x的方程x2+=1，那么x+1的值為_12解方程（x25）2x2+3=0時，令x25=y，則原方程變?yōu)開13若a22ab+b2+2（ab）+1=0，則ab=_14用換元法

12、解方程：（x2x）25（x2x）+6=0，如果設x2x=y，那么原方程變?yōu)開15在解方程（x21）22x21=0時，通過換元并整理得方程y22y3=0，則y=_三解答題（共4小題）16解方程：（x22x）2+（x22x）2=017如果a為不等于±2的整數(shù)，證明方程x4+ax+1=0沒有有理根18對于有理數(shù)x，用x表示不大于x的最大整數(shù)，請解方程19用適當方法解下列方程（1）（2y1）2=（2）x=5x（x）（3）（x3）2+（x+4）2（x5）2=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）4=0參考答案一選擇題（共10小題）1解：（2x+5）24（2x+5）+3=0，設y=2x

13、+5，方程可以變?yōu)?y24y+3=0，y1=1，y2=3，當y=1時，即2x+5=1，解得x=2；當y=3時，即2x+5=3，解得x=1，所以原方程的解為：x1=2，x2=1故選D2解：把x2+x整體代換為y，y2+y=6，即y2+y6=0故選A3解：設y=x2+x，得y2+2y1=0故選C4解：x2+=0（x+）+2（x+）1=0x+=1或2x+=1無解，x+=2故選D5解：x23=y3x2=y所以y2+5y+2=0故選D6解：設xy=m，則原方程可化為：m2+m6=0，解得x1=2，x2=3；故選B7解：原方程變形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）5=0，（x2+y2+5）（x2+y2

14、1）=0，又x2+y2的值是非負數(shù)，x2+y2的值為只能是1故選B8解：x、y為正整數(shù)，或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，x+y=10或18故選D10解：設a2+b2=x，則有：x（x2）=8即x22x8=0，解得x1=2，x2=4；a2+b20，故a2+b2=x2=4；故選B二填空題（共5小題）11解：原方程可化為x2+（）2+2x+2（x+）+1=2+2x（x+1）2=4x+1=±212解：x25=y，x2=5+y，（x25）2x2+3=y2y5+3=y2y2=0，故本題的答案是y2y2=013解：設t=ab，則原方程可化為：t2+2t+1=0，整理得：（t+1）2

15、=0，解得：t=1ab=114解：根據(jù)題意x2x=y，把原方程中的x2x換成y，所以原方程變化為：y25y+6=015解：方程整理，得（x21）22（x21）3=0故y=x21三解答題（共4小題）16解：設y=x22x原方程可變?yōu)椋簓2+y2=0解方程得y=2或1所以x22x=2或1當x22x=2時，0，沒實數(shù)根，當x22x=1時，解得x=1±原方程的根是x1=1+，x2=117證明：若a=2或者2，方程有有理根，當=2時，有理根x=1；等于2時，有理根x=1這個根據(jù)配方法得來x4±2x+1=0，即x4x2+x2±2x+1=x2（x+1）（x1）+（x±

16、1）2=0，此等式有公因式，可得x=±1而由題意知：a±2，即x±1則有a=x3，其中x±1a為整數(shù)，而a=x3，若x為整數(shù)且x±1，那么x3為整數(shù)，為小數(shù)，整數(shù)與小數(shù)之和或者差，皆為小數(shù)，故x不能是整數(shù)若x為分數(shù)，那么設x=，其中c、b互質(zhì)且為整數(shù)，b0那么x3=由此代數(shù)式知：因為c、b互質(zhì)，故此代數(shù)式的值不為整數(shù)故當x為整數(shù)或者分數(shù)時，a為整數(shù)均不能成立故當a為整數(shù)時，方程沒有有理根18解：因為方程左邊的第1、3項都是整數(shù)，所以3y是整數(shù)注意到，代入方程，得到，所以是整數(shù)，3y是10的倍數(shù)令3y=10k，k是整數(shù)，代入得，其中，對于有理數(shù)x，x=xx所以有，當k取不同整數(shù)時，的情況如下表： k2=1=0 =1=2=3 3 1k1=1=01k的可能值