高中立體幾何概念知識(shí)點(diǎn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一.空間多邊形1.不在同一平面內(nèi)的若干線(xiàn)段首尾相接所成的圖形叫做空間折線(xiàn).2.若空間折線(xiàn)的最后一條線(xiàn)段的尾端與最初一條線(xiàn)段的首端重合，則叫做封閉的空間折線(xiàn).3.若封閉的空間折線(xiàn)各線(xiàn)段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是一個(gè)不定義的概念，幾何里的平面是無(wú)限伸展的.4.平面通常用一個(gè)平行四邊形來(lái)表示.5.平面常用希臘字母、或拉丁字母M、N、P來(lái)表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.6.在立體幾何中，大寫(xiě)字母A，B，C，表示點(diǎn)，小寫(xiě)字母，a,b,c,l,m,n,表示直線(xiàn)，且把直線(xiàn)和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示

2、它們之間的關(guān)系，例如：a) Al點(diǎn)A在直線(xiàn)l上；A點(diǎn)A不在平面內(nèi)；b) l直線(xiàn)l在平面內(nèi)；c) a直線(xiàn)a不在平面內(nèi)；d) lm=A直線(xiàn)l與直線(xiàn)m相交于A(yíng)點(diǎn)；e) l=A平面與直線(xiàn)l交于A(yíng)點(diǎn)；f) =l平面與平面相交于直線(xiàn)l.二.平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線(xiàn).公理3 經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1 經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.推論3 經(jīng)過(guò)兩條平

3、行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.直接證法三.證題方法反證法證題方法 間接證法 同一法四.空間線(xiàn)面的位置關(guān)系 共面 平行沒(méi)有公共點(diǎn)(1)直線(xiàn)與直線(xiàn) 相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交) 直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線(xiàn)和平面 直線(xiàn)不在平面內(nèi) 平行沒(méi)有公共點(diǎn) (直線(xiàn)在平面外) 相交有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面 相交有一條公共直線(xiàn)(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行沒(méi)有公共點(diǎn)五.異面直線(xiàn)的判定證明兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)通常采用反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線(xiàn)，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)”.六.線(xiàn)面平行與垂直的判定 (1)兩直線(xiàn)平行的判定定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直

4、線(xiàn)平行.如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行，即若a,a，=b,則ab.平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行，即若ab,bc,則ac.垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行，即若a，b，則ab兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行，即若,=b,則ab如果一條直線(xiàn)和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行，即若=b,a,a，則ab.(2)兩直線(xiàn)垂直的判定定義：若兩直線(xiàn)成90°角，則這兩直線(xiàn)互相垂直.一條直線(xiàn)與兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若bc,ab,則ac一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn).即若a,b

5、，ab.三垂線(xiàn)定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，若和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，則它也和這條斜線(xiàn)垂直.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么這條直線(xiàn)與這個(gè)平面的垂線(xiàn)垂直.即若a,b,則ab.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線(xiàn)兩兩垂直，即若,，,且=a, =b,=c，則ab,bc,ca.(3)直線(xiàn)與平面平行的判定定義：若一條直線(xiàn)和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.即若a,b，ab,則a.兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，即若,l，則l.如果一個(gè)平面和平面外的一條直線(xiàn)都垂直于同一平面，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.

6、即若,l，l，則l.在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面平行，即若A，B，A、B在同側(cè)，且A、B到等距，則AB.兩個(gè)平行平面外的一條直線(xiàn)與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若,a，a，a，則.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)與該平面平行，即若a,b，ba，則b.如果兩條平行直線(xiàn)中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若ab,a,b(或b)(4)直線(xiàn)與平面垂直的判定定義：若一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么

7、這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,則l.如果兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若la,a,則l.一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若,l，則l.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面，即若,a=，l，la,則l.如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面，即若,且a=,則a.(5)兩平面平行的判定定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn).如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b，ab=P,a,b

8、,則.垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行.即若a,a,則.平行于同一平面的兩平面平行.即若,則.一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,則.(6)兩平面垂直的判定定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角a=90°.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l,l，則.一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若，則.七.直線(xiàn)在平面內(nèi)的判定(1)利用公理1：一直線(xiàn)上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線(xiàn)在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)

9、平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內(nèi)，即若,A，AB，則AB.(3)過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線(xiàn)垂直的所有直線(xiàn)，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線(xiàn)的平面內(nèi)，即若Aa,ab，A,b，則a.(4)過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線(xiàn)，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若P ，P，Pa,a，則a.(5)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a,A，Ab,ba,則b.八.存在性和唯一性定理(1)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)有且只有一條；(2)過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)有且只有一條；(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線(xiàn)都垂

10、直相交的直線(xiàn)有且只有一條；(5)過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過(guò)平面的一條斜線(xiàn)且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過(guò)兩條異面直線(xiàn)中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過(guò)兩條互相垂直的異面直線(xiàn)中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).九.射影及有關(guān)性質(zhì)(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2)直線(xiàn)在平面上的射影自直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)兩垂足的直線(xiàn)叫做直線(xiàn)在這平面上的射影.和射影面垂直的直線(xiàn)的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線(xiàn)的射影是一條直線(xiàn).(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影

11、的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線(xiàn)段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4)射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中：(i)射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等，射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段也較長(zhǎng)；(ii)相等的斜線(xiàn)段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段的射影也較長(zhǎng)；十一.直線(xiàn)和平面所成的角(1)定義 和平面所成的角有三種：(i)垂線(xiàn) 面所成的角 的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.(ii)垂線(xiàn)與平面所成的角 直線(xiàn)垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線(xiàn)和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0&#

12、176;的角.(2)取值范圍0°90°(3)求解方法作出斜線(xiàn)在平面上的射影，找到斜線(xiàn)與平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜線(xiàn)和平面所成的角，是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角，亦可說(shuō)，斜線(xiàn)和平面所成的角不大于斜線(xiàn)與平面內(nèi)任何直線(xiàn)所成的角.十二.二面角及二面角的平面角(1)半平面 直線(xiàn)把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個(gè)平面相交，則以?xún)蓚€(gè)平面的交線(xiàn)為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平

13、面角來(lái)度量，通常認(rèn)為二面角的平面角的取值范圍是0°180°(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所組成的角叫做二面角的平面角.如圖，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無(wú)關(guān).二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線(xiàn)，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線(xiàn))上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的

14、主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線(xiàn)法()根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見(jiàn)方法先找(或作)出二面角的平面角，再通過(guò)解三角形求得的值.利用面積射影定理S=S·cos其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，為二面角的大小.利用異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.十三.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1)定義 面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義求找到(或作出)表示距離的線(xiàn)段；抓住線(xiàn)段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的

15、性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線(xiàn)的距離就是所求的點(diǎn)面距離.3)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線(xiàn)即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.4)轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線(xiàn)與平面的距離來(lái)求. (iii)垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短.十.空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論若兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，則這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或

16、直角)相等.異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)aa,bb,則a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角.(2)取值范圍：0°90°.(3)求解方法根據(jù)定義，通過(guò)平移，找到異面直線(xiàn)所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.(1)定義：a、b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)aa,bb,則a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角.(2)取值范圍：0°90°.(3)求解方法根據(jù)定義，通過(guò)平移，找到異面直線(xiàn)所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.十一.直線(xiàn)和平面所成的角(1)定義 和平

17、面所成的角有三種：(i)垂線(xiàn) 面所成的角 的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.(ii)垂線(xiàn)與平面所成的角 直線(xiàn)垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線(xiàn)和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)取值范圍0°90°(3)求解方法作出斜線(xiàn)在平面上的射影，找到斜線(xiàn)與平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜線(xiàn)和平面所成的角，是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角，亦可說(shuō)，斜線(xiàn)和平面所成的角不大于斜線(xiàn)與平面內(nèi)任何直線(xiàn)所成的角.十二.二面角及二面角的平面角(1)半平面 直線(xiàn)把平面分成兩個(gè)部

18、分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個(gè)平面相交，則以?xún)蓚€(gè)平面的交線(xiàn)為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，通常認(rèn)為二面角的平面角的取值范圍是0°180°(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所組成的角叫做二面角的平面角.如圖，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無(wú)關(guān).二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，

19、即AB平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線(xiàn)，垂足必在平 面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線(xiàn))上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線(xiàn)法()根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見(jiàn)方法先找(或作)出二面角的平面角，再通過(guò)解三角形求得的值.利用面積射影定理S=S·cos其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，為二面角的大小.利用異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.十三.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1)定義 面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義求找到(或作出)表示距離的線(xiàn)段；抓住線(xiàn)段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線(xiàn)的距離就是所求的點(diǎn)面距離.3)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=S·h，求出h即為所求.這種方