第23屆全國中學生物理競賽試題及答案

1、第二十三屆全國中學生物理競賽初賽試題及答案 本卷共本題，滿分200分一、(20分，每小題10分)1.如圖所示，彈簧S1的上端固定在天花板上，下端連一小球A，球A與球B之間用線相連.球B與球C之間用彈簧S2相連.A、B、C的質量分別為mA、mB、mC，彈簧與線的質量均可不計.開始時它們都處在靜止狀態(tài).現(xiàn)將A、B間的線突然剪斷，求線剛剪斷時A、B、C的加速度.2.兩個相同的條形磁鐵，放在平板AB上，磁鐵的N、S極如圖所示.開始時平板及磁鐵皆處于水平位置，且靜止不動.(i)現(xiàn)將AB突然豎直向下平移(磁鐵與平板間始終相互接觸)，并使之停在AB處，結果發(fā)現(xiàn)兩個條形磁鐵碰在一起.(ii)如果將AB從原位置

2、突然豎直向上平移，并使之停在AB位置處，結果發(fā)現(xiàn)兩條形磁鐵也碰在一起.試定性地解釋上述現(xiàn)象.二、(20分，第1小題12分，第2小題8分)1.老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ?(i)一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚.試在示意圖1中畫出此時P通過眼睛成像的光路示意圖.(ii)戴了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P，試在示意圖2中畫出P通過老花鏡和眼睛成像的光路示意圖.(iii)300度的老花鏡的焦距f=_m.2.有兩個凸透鏡，它們的焦距分別為f1和f2，還有兩個凹透鏡，它們的焦距分別為f3和f4.已知，f1f2|f3|f4|.如果要從這四個透鏡中選取兩個透鏡，組成一架最簡單的

3、單筒望遠鏡，要求能看到放大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應選焦距為_的透鏡作為物鏡，應選焦距為_的透鏡作為目鏡.三、(20分，第1小題12分，第2小題8分)1.如圖所示，電荷量為q1的正點電荷固定在坐標原點O處，電荷量為q2的正點電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng).已知q2=2q1.(i)求在x軸上場強為零的P點的坐標.(ii)若把一電荷量為q0的點電荷放在P點，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q0被限制在沿x軸運動和被限制在沿垂直于x軸方向運動這兩種情況).2.有一靜電場，其電勢U隨坐標x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示.試在圖2中畫出該靜電場的場強E隨x變化的圖線(設場強沿x軸正方向時取正值，場強沿x軸

4、負方向時取負值)四、(20分)一根長為L(以厘米為單位)的粗細均勻的、可彎曲的細管，一端封閉，一端開口，處在大氣中，大氣的壓強與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強相等，已知管長LH.現(xiàn)把細管彎成L形，如圖所示.假定細管被彎曲時，管長和管的內徑都不發(fā)生變化.可以把水銀從管口徐徐注入細管而不讓細管中的氣體泄出.當細管彎成L形時，以l表示其豎直段的長度，問l取值滿足什么條件時，注入細管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值(用水銀柱的長度表示).五、(20分)一對正、負電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子.電子偶素中的正電子與負電子都以速率v繞它們連線的中點做圓周運動.假定玻爾關于氫原

5、子的理論可用于電子偶素，電子的質量m、速率v和正、負電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件.即式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，；h為普朗克常量.試求電子偶素處在各定態(tài)時的r和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差.六、(25分)如圖所示，兩個金屬輪A1、A2，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O1和O2轉動，O1和O2相互平行，水平放置.每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A1輪的輻條長為a1、電阻為R1，A2輪的輻條長為a2、電阻為R2，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a0的絕緣圓盤D與A1同軸且固連在一起.一輕細繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數(shù)后

6、，懸掛一質量為m的重物P.當P下落時，通過細繩帶動D和A1繞O1軸轉動.轉動過程中，A1、A2保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細軸之間保持良好的電接觸；兩細軸通過導線與一阻值為R的電阻相連.除R和A1、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計.整個裝置處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉軸平行.現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時的速度.七、(25分)圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應強度為B.筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中.現(xiàn)有一質量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小

7、孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒.設：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的.若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：1.P的速率應為多少？2.P從進入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時間為多少？八、(25分)圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長都是l.一根長為2l的柔軟的輕細繩，一端固定在A點，另一端系一質量為m的小球，初始時，手持小球，將繩拉直，繞過B點使小球處于C點.現(xiàn)給小球一豎直向下的初速度v0，使小球與CB邊無接觸地向下運動，當，分別取下列兩值時，小球將打到梁上的何處？1.2.設繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的.九、(25分)從赤

8、道上的C點發(fā)射洲際導彈，使之精確地擊中北極點N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關系為式中M為地球質量，G為引力常量.1.假定地球沒有自轉，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點C的連線之間的夾角表示).2.若考慮地球的自轉，則最小發(fā)射速度的大小為多少？3.試導出.參考答案及評分標準一、參考解答：1.線剪斷前，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).此時彈簧S1的彈力F1=(mA+mB+mC)g(1)彈簧S2的彈力F2=mCg(2)在線剛被剪斷的時刻，各球尚未發(fā)生位移，彈

9、簧的長度尚無變化，故F1、F2的大小尚未變化，但線的拉力消失.設此時球A、B、C的加速度的大小分別為aA、aB、aC，則有F1-mAg=mAaA(3)F2+mBg=mBaB(4)F2-mCg=mCaC(5)解以上有關各式得，方向豎直向上(6)，方向豎直向下(7)aC=0(8)2.開始時，磁鐵靜止不動，表明每一條磁鐵受到另一條磁鐵的磁力與它受到板的靜摩擦力平衡.(i)從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運動經(jīng)歷了兩個階段.起初，板向下加速移動，板與磁鐵有脫離接觸的趨勢，磁鐵對板的正壓力減小，并跟隨板一起作加速度方向向下、速度向下的運動.在這過程中，由于磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小.

10、向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小.當板的加速度大到某一數(shù)值時，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運動并吸在一起.接著，磁鐵和板一起作加速度方向向上、速度向下的運動，直到停在AB處.在這過程中，磁鐵對板的正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，因兩磁鐵已碰在一起，磁力、接觸處出現(xiàn)的彈力和可能存在的靜摩擦力總是平衡的，兩條磁鐵吸在一起的狀態(tài)不再改變.(ii)從板突然豎直向上平移到停下，板和磁鐵的運動也經(jīng)歷兩個階.起初，板和磁鐵一起作加速度方向向上、速度向上的運動，在這過程中，正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，作用于每個磁鐵的磁力與靜摩擦力始終保持平衡，磁鐵在水平方向不發(fā)生

11、運動.接著，磁鐵和板一起作加速度力減小，向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小.當板的加速度大到某一數(shù)值時，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運動并吸在一起.評分標準：(本題20分)1.10分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分，aA、aB的方向各1分.2.10分.(i)5分，(ii)5分.(必須正確說出兩條形磁鐵能吸引在一起的理由，才給這5分，否則不給分).二、參考答案1.(iii)2.f1，f4.評分標準：(本題20分)1.12分.(i)4分，(ii)4分，(iii)4分.2.8分.兩個空格都填對，才給這8分，否則0分.三、

12、參考解答：1.(i)通過對點電荷場強方向的分析，場強為零的P點只可能位于兩點電荷之間.設P點的坐標為x0，則有(1)已知q2=2q1(2)由(1)、(2)兩式解得(3)(ii)先考察點電荷q0被限制在沿x軸運動的情況.q1、q2兩點電荷在P點處產(chǎn)生的場強的大小分別為方向沿x軸正方向方向沿x軸負方向由于處合場強的方向沿x軸的正方向，即指向P點.由以上的討論可知，在x軸上，在P點的兩側，點電荷q1和q2產(chǎn)生的電場的合場強的方向都指向P點，帶正電的點電荷在P點附近受到的電場力都指向P點，所以當q00時，P點是q0的穩(wěn)定平衡位置.帶負電的點電荷在P點附近受到的電場力都背離P點，所以當q00時，P點是q

13、0的不穩(wěn)定平衡位置.再考慮q0被限制在沿垂直于x軸的方向運動的情況.沿垂直于x軸的方向，在P點兩側附近，點電荷q1和q2產(chǎn)生的電場的合場強沿垂直x軸分量的方向都背離P點，因而帶正電的點電荷在P點附近受到沿垂直x軸的分量的電場力都背離P點.所以，當q00時，P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置.帶負電的點電荷在P點附近受到的電場力都指向P點，所以當q00時，P點是q0的穩(wěn)定平衡位置.2.評分標準：(本題20分)1.12分.(i)2分.(ii)當q0被限制在沿x軸方向運動時，正確論證q00，P點是q0的穩(wěn)定平衡位置，占3分；正確論證q00，P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置，占3分.(未列公式，定性分析正確的同樣給

14、分)當q0被限制在垂直于x軸的方向運動時，正確論證q00，P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置，占2分；正確論證q00，P點是q0的穩(wěn)定平衡位置，占2分.2.8分.縱坐標標的數(shù)值或圖線有錯的都給0分.縱坐標的數(shù)值.圖線與參考解答不同，正確的同樣給分.四、參考解答：開始時豎直細管內空氣柱長度為L，壓強為H(以cmHg為單位)，注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短.當管中水銀柱長度為x時，管內空氣壓強p=(H+x)，根據(jù)玻意耳定律，此時空氣柱長度(1)空氣柱上表面與管口的距離(2)開始時x很小，由于LH，故即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至d=x(即水銀柱上表面與管口相平)時為止.何時水銀柱表

15、面與管口相平，可分下面兩種情況討論.1.水銀柱表面與管口相平時，水銀柱未進入水平管此時水銀柱的長度xl，由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL(3)由(3)式可得x=L-H(4)由此可知，當lL-H時，注入的水銀柱的長度x的最大值xmax=L-H(5)2.水銀柱表面與管口相平時，一部分水銀進入水平管此時注入水銀柱的長度xl，由玻意耳定律有(H+l)(L-x)=HL(6)(7)(8)由(8)式得lL-H，或LH+l(9)(10)即當lL-H時，注入水銀柱的最大長度xxmax.由上討論表明，當lL-H時，可注入的水銀量為最大，這時水銀柱的長度為xmax，即(5)式.評分標準：(本題20分)正確論

16、證lL-H時，可注入的水銀量最大，占13分.求出最大水銀量占7分.若論證的方法與參考解答不同，只要正確，同樣給分.五、參考解答：正、負電子繞它們連線的中點作半徑為的圓周運動，電子的電荷量為e，正、負電子間的庫侖力是電子作圓周運動所需的向心力，即(1)正電子、負電子的動能分別為Ek+和Ek-，有(2)正、負電子間相互作用的勢能(3)電子偶素的總能量E=Ek+Ek-+Ep(4)由(1)、(2)、(3)、(4)各式得(5)根據(jù)量子化條件，n=1，2，3，(6)(6)式表明，r與量子數(shù)n有關.由(1)和(6)式得與量子數(shù)n對應的定態(tài)r為n=1，2，3，(7)代入(5)式得與量子數(shù)n對應的定態(tài)的E值為n

17、=1，2，3，(8)n=1時，電子偶素的能量最小，對應于基態(tài).基態(tài)的能量為(9)n=2是第一激發(fā)態(tài)，與基態(tài)的能量差(10)評分標準：(本題20分)(2)式2分、(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分.六、參考解答：P被釋放后，細繩的張力對D產(chǎn)生機械力矩，帶動D和A1作逆時針的加速轉動.通過兩個輪子之間無相對運動的接觸，A1帶動A2作順時針的加速轉動.由于兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在A1產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在A2產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經(jīng)電阻R構成閉合電路.A1、A2中各輻條上流有沿電動勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力.不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是

18、阻力矩，使A1、A2加速轉動的勢頭減緩.A1、A2從起始的靜止狀態(tài)逐漸加速轉動，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機械力矩相等，D、A1和A2停止作加速轉動，均作勻角速轉動，此時P勻速下落，設其速度為v，則A1的角速度(1)A1帶動A2轉動，A2的角速度2與A1的角速度1之間的關系為1a1=2a2(2)A1中每根輻條產(chǎn)生的感應電動勢均為(3)軸與輪邊之間的電動勢就是A1中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值見(3)式.同理，A2中，軸與輪邊之間的電動勢就是A2中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為(4)A1中，每根輻條的電阻為R1，軸與輪功之間的電阻是A1中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為

19、(5)A2中，每根輻條的電阻為R2，軸與輪功之間的電阻是A2中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為(6)A1輪、A2輪和電阻R構成串聯(lián)回路，其中的電流為(7)以(1)至(6)式代入(7)式，得(8)當P勻速下降時，對整個系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即(9)以(8)式代入(9)式得(10)評分標準：(本題25分)(1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分.七、參考解答：1.如圖1所示，設筒內磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P帶正電，其速率為v.P從小孔射入圓筒中因受到磁場的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次

20、碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的.但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出.在此情形中，P在筒內的路徑由三段等長、等半徑的圓弧HM、MN和NH組成.現(xiàn)考察其中一段圓弧MN，如圖2所示.由于P沿筒的半徑方向入射，OM和ON均與軌道相切，兩者的夾角(1)設圓弧的圓半徑為r，則有(2)圓弧對軌道圓心O所張的圓心角(3)由幾何關系得(4)解(2)、(3)、(4)式得(5)2.P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為s=r(6)經(jīng)歷時間為(7)P從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時間為t=3t1(8)由以上有關各式得(9)評分標準：(本題25分)1.17分.(1)、(2)、(3)、(4)式各3分，(5)式5分.

21、2.8分.(6)、(7)、(8)、(9)式各2分.八、參考解答：小球獲得沿豎直向下的初速度v0后，由于細繩處于松弛狀態(tài)，故從C點開始，小球沿豎直方向作初速度為v0、加速度為g的勻加速直線運動.當小球運動到圖1中的M點時，繩剛被拉直，勻加速直線運動終止，此時繩與豎直方向的夾角為=30°.在這過程中，小球下落的距離(1)細繩剛拉直時小球的速度v1滿足下式：(2)在細繩拉緊的瞬間，由于繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的，故小球沿細繩方向的分速度v1cos變?yōu)榱?，而與繩垂直的分速度保持不變，以后小球將從M點開始以初速度(3)在豎直平面內作圓周運動，圓周的半徑為2l，圓心位于A點，如圖1所示.由

22、(1)、(2)、(3)式得(4)當小球沿圓周運動到圖中的N點時，其速度為v，細繩與水平方向的夾角為，由能量關系有(5)用FT表示繩對小球的拉力，有(6)1.設在=1時(見圖2)，繩開始松弛，F(xiàn)T=0，小球的速度v=u1.以此代入(5)、(6)兩式得(7)(8)由(4)、(7)、(8)式和題設v0的數(shù)值可求得1=45°(9)(10)即在1=45°時，繩開始松弛.以N1表示此時小球在圓周上的位置，此后，小球將脫離圓軌道從N1處以大小為u1，方向與水平方向成45°角的初速度作斜拋運動以N1點為坐標原點，建立直角坐標系N1xy，x軸水平向右，y軸豎直向上.若以小球從N1處

23、拋出的時刻作為計時起點，小球在時刻t的坐標分別為(11)(12)由(11)、(12)式，注意到(10)式，可得小球的軌道方程：(13)AD面的橫坐標為(14)由(13)、(14)式可得小球通過AD所在豎直平面的縱坐標y=0(15)由此可見小球將在D點上方越過，然后打到DC邊上，DC邊的縱坐標為(16)把(16)式代入(13)式，解得小球與DC邊撞擊點的橫坐標x=1.75l(17)撞擊點與D點的距離為l=x-2lcos45°=0.35l(18)2.設在=2時，繩松弛，F(xiàn)T=0，小球的速度v=u2，以此代替(5)、(6)式中的1、u1，得(19)(20)以代入(4)式，與(19)、(20

24、)式聯(lián)立，可解得2=90°(21)(22)(22)式表示小球到達圓周的最高點處時，繩中張力為0，隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加，拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運動所需的向心力，小球將繞以D點為圓心，l為半徑的圓周打到梁上的C點.評分標準：(本題25分)(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能打在AD邊上，給3分.得出小球能打在DC邊上，給2分，正確求出小球打在DC邊上的位置給2分，求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C點，再給2分.如果學生直接從拋物線方程和y=-(2lsin45°-l)=-(-1)l

25、求出x=1.75l，同樣給分.不必證明不能撞擊在AD邊上.九、參考解答：1.這是一個大尺度運動，導彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運動.如果導彈能打到N點，則此橢圓一定位于過地心O、北極點N和赤道上的發(fā)射點C組成的平面(此平面是C點所在的子午面)內，因此導彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內，地心O是橢圓的一個焦點.根據(jù)對稱性，注意到橢圓上的C、N兩點到焦點O的距離相等，故所考察橢圓的長軸是過O點垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點必在AB上.已知質量為m的物體在質量為M的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構成的系統(tǒng)的能量E(無窮遠作為引力勢能的零點)與橢圓半長軸a的關系為(1)要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長軸a最短.根據(jù)橢圓的幾何性質可知，橢圓的兩焦點到橢圓