北師大版數(shù)學(xué)必修三課件：第1章§552估計(jì)總體的數(shù)字特征

1、5.25.2 估計(jì)總體的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1 1、會(huì)用頻率分布直方圖和頻率分布折線圖估計(jì)總體的分布、會(huì)用頻率分布直方圖和頻率分布折線圖估計(jì)總體的分布概率概率. .2 2、會(huì)用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的數(shù)字特征、會(huì)用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的數(shù)字特征. .3 3、會(huì)通過(guò)對(duì)總體的估計(jì)，進(jìn)行決策、會(huì)通過(guò)對(duì)總體的估計(jì)，進(jìn)行決策. .眾數(shù)眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中, ,就是最高矩形的中就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo). . 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系：中位數(shù)中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中在樣本數(shù)據(jù)的

2、頻率分布直方圖中, ,就是把頻率分布就是把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x x軸交點(diǎn)的橫坐軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)標(biāo). .平均數(shù)平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中, ,等于頻率分布圖等于頻率分布圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和中每個(gè)小長(zhǎng)方形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. . 平均數(shù)易受一些極端情況的影響，而這些極端情況顯平均數(shù)易受一些極端情況的影響，而這些極端情況顯然是不能忽視的因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)然是不能忽視的因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)的實(shí)際狀態(tài)如：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一

3、次射擊測(cè)試中各射靶如：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶1010次，每次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：次命中的環(huán)數(shù)如下：甲甲: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙乙: 9: 95 57 78 87 76 68 8 6 67 77 7 如果你是教練如果你是教練, ,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)? ?如果如果這是一次選拔性考核這是一次選拔性考核, ,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇? ?方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差如果看兩人本次射擊的平均成績(jī)?nèi)绻磧扇吮敬紊鋼舻钠骄煽?jī), ,由于由于兩人射擊的平均成績(jī)是一樣的兩人射擊的平均

4、成績(jī)是一樣的. .那么兩個(gè)人的水平就沒(méi)有那么兩個(gè)人的水平就沒(méi)有什么差異嗎什么差異嗎? ?7,7xx 甲乙環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率456789100.10.20.3(甲甲)456789 100.10.20.30.4環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)(乙乙)頻率頻率 直觀上看直觀上看, ,還是有差異的還是有差異的. . 如如: :甲成績(jī)比較甲成績(jī)比較分散分散, ,乙成乙成績(jī)相對(duì)績(jī)相對(duì)集中集中( (如圖示如圖示).).因此因此, ,我們還需要從另外的角度來(lái)考我們還需要從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù)察這兩組數(shù)據(jù). .例如例如: :在作統(tǒng)計(jì)圖、表時(shí)提到過(guò)的極差在作統(tǒng)計(jì)圖、表時(shí)提到過(guò)的極差. . 甲的環(huán)數(shù)極差甲的環(huán)數(shù)極差=10=104=64

5、=6， 乙的環(huán)數(shù)極差乙的環(huán)數(shù)極差=9=95=4.5=4. 它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的分散程度分散程度, ,與平均數(shù)與平均數(shù)一起一起, ,可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息. .顯然顯然, ,極差對(duì)極極差對(duì)極端值非常敏感端值非常敏感, ,注意到這一點(diǎn)注意到這一點(diǎn), ,我們可以得到一種我們可以得到一種“去掉一個(gè)去掉一個(gè)最高分最高分, ,去掉一個(gè)最低分去掉一個(gè)最低分”的統(tǒng)計(jì)策略的統(tǒng)計(jì)策略. . 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一

6、般用標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s s表表示示所謂所謂“平均距離平均距離”，其含義可作如下理解：，其含義可作如下理解：(1,2, ).ixx in 假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù). .12,.,nxxxxixx到 的距離是于是于是, ,樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)12,.nxxxx到 的12.nxxxxxxSn 由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來(lái)計(jì)算如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差222121()()()nsxxxxxxn是是“平均距離平均距離”2222121()()()nsxxxxxxn從

7、數(shù)學(xué)的角度考慮從數(shù)學(xué)的角度考慮,人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方分散程度的工具分散程度的工具.2方差s來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)探究探究: :一個(gè)樣本中的個(gè)體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖一個(gè)樣本中的個(gè)體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示表示: :考慮一個(gè)容量為考慮一個(gè)容量為2 2的樣本的樣本: :設(shè)設(shè)12,xx 不妨令12,xx、其樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為其樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為21,2xx 21.2xxa 令用計(jì)算器可算出甲、乙兩人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為用計(jì)算器可算出甲、乙兩人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為: :由由 可以知道可以知道, ,ss 甲乙2,1.095,ss 甲乙甲的成績(jī)離散程

8、度大甲的成績(jī)離散程度大, ,乙的成績(jī)離散程度小乙的成績(jī)離散程度小. .由此可以估由此可以估計(jì)計(jì), ,乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定. .顯然顯然, ,標(biāo)準(zhǔn)差越大標(biāo)準(zhǔn)差越大, ,則則 越大越大, ,數(shù)據(jù)的離散程度越大數(shù)據(jù)的離散程度越大; ;標(biāo)準(zhǔn)差越標(biāo)準(zhǔn)差越小小, ,數(shù)據(jù)的離散程度越小數(shù)據(jù)的離散程度越小. .a1x2x122xxa參照課本參照課本P P3737頁(yè)的數(shù)據(jù)表完成：頁(yè)的數(shù)據(jù)表完成：排名排名運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)員平均積分平均積分積分標(biāo)準(zhǔn)差積分標(biāo)準(zhǔn)差1 1李麗珊李麗珊2 2簡(jiǎn)度簡(jiǎn)度3 3賀根賀根4 4威爾遜威爾遜5 5李科李科3.143.144.574.575.005.006.296.296

9、. 576. 571.731.732.772.772.512.513.193.193.333.33 李麗珊的平均積分和標(biāo)準(zhǔn)差都比其他選手小，也就表李麗珊的平均積分和標(biāo)準(zhǔn)差都比其他選手小，也就表明，在前明，在前7 7場(chǎng)的比賽過(guò)程中，她的成績(jī)最優(yōu)秀且最穩(wěn)定場(chǎng)的比賽過(guò)程中，她的成績(jī)最優(yōu)秀且最穩(wěn)定. . 于是我們假設(shè)之后的比賽中，他們都發(fā)揮正常，奪冠于是我們假設(shè)之后的比賽中，他們都發(fā)揮正常，奪冠希望最大就是李麗珊希望最大就是李麗珊. . 甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm25.40mm的一種零件的一種零件. .為了對(duì)為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比, ,從他們

10、生產(chǎn)的零件中各抽出從他們生產(chǎn)的零件中各抽出2020件件, ,量得其內(nèi)徑尺寸如下量得其內(nèi)徑尺寸如下( (單位單位:mm):mm)甲甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25

11、.39 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39乙乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.4825.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 25.31, 25.32, 25.32, 25

12、.32, 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看, ,誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高? ?解解: :用計(jì)算器計(jì)算可得用計(jì)算器計(jì)算可得: : , ,因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的穩(wěn)定程度因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的穩(wěn)定程度高得多，于是可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高得多，于是可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些高一些. . 從樣本平均數(shù)看從樣本平均數(shù)看, ,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),(25.40mm),但是差異很小但是差異很小; ;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看, ,由于由于ss甲乙25.4005,25.4008,0.038,0.074,xxSS-=甲乙甲乙 “