同濟五版《高等數(shù)學》講稿WORD版-第08章_多元函數(shù)微分學及其應(yīng)用

1、高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用教學目的：1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和 充分條件，了解全微分形式的不變性。4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。5、掌握多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法。6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多

2、元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值， 會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。教學重點：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；2、函數(shù)的偏導數(shù)和全微分；3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算；4、多元復合函數(shù)偏導數(shù)；5、隱函數(shù)的偏導數(shù)6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；7、多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學難點：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；2、全微分形式的不變性；3、復合函數(shù)偏導數(shù)的求法；4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)；6、拉格郎日乘數(shù)法；7、多元函數(shù)的最大值和最小值。

3、8, 1 多元函數(shù)的基本概念一、平面點集 n 維空間1 .平面點集由平面解析幾何知道.當在平面上引入了一個直角坐標系后.平面上的點 P 與有序二元實數(shù)組(x . y)之間就建立了一一對應(yīng)，于是.我們常把有序?qū)崝?shù)組(x . y)與平面上的點 P 視作是等同的 這種建立了會求簡多高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組坐標系的平面稱為坐標平面二元的序?qū)崝?shù)組(x y)的全體.即 R2=RR=(x y)|x y.二 R就表示坐標平面，坐標平面上具有某種性質(zhì)P 的點的集合.稱為平面點集.記作E 珂(x.y)| (x.y)具有性質(zhì) P,例如.平面上以原點為中心、r 為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是

4、2 2 2C=(x.y)| x 4y0 為半徑的圓的內(nèi)部的 點 P (x y)的全體.a點 Po的去心：鄰域.記作U(FO, ).即U(Fo,、)=P|o：|P3PZ 注：如果不需要強調(diào)鄰域的半徑則用 U (Po)表示點 Po的某個鄰域點 Po的去心鄰域記作U(P).點與點集之間的關(guān)系：任意一點 P R2與任意一個點集 E-R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種：(1) 內(nèi)點：如果存在點 P 的某一鄰域 U(P).使得 U(P) E.則稱 P 為 E 的內(nèi)點(2) 外點：如果存在點 P 的某個鄰域 U(P).使得 U(P)_ E；則稱 P 為 E 的外點-(3) 邊界點：如果點 P 的任一鄰域內(nèi)既有

5、屬于E 的點.也有不屬于 E 的點.則稱 P 點為 E 的邊占八、!1E 的邊界點的全體.稱為 E 的邊界.記作:：EE 的內(nèi)點必屬于 E -E 的外點必定不屬于 E 而 E 的邊界點可能屬于 E.也可能不屬于 E . 聚點如果對于任意給定的:.0 .點 P 的去心鄰域U (P,、J 內(nèi)總有 E 中的點.則稱 P 是 E 的聚點由聚點的定義可知.點集 E 的聚點 P 本身.可以屬于 E.也可能不屬于 E . 例如.設(shè)平面點集2 2E=(x.y)|1 勺羽.滿足 1 乂 y2：2 的一切點(x y)都是 E 的內(nèi)點滿足 x2的一切點(x . y)都是 E 的邊界點.它們都不屬于 E 滿足 x2“

6、=2 的一切點(x y)也是 E 的邊界點.它們都屬于 E 點集 E 以及它的界邊；:E 上的一切點都是 E 的聚點，高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組開集：如果點集 E 的點都是內(nèi)點.則稱 E 為開集 閉集：如果點集的余集 Ec為開集.則稱 E 為閉集2 2開集的例子:EN(x .y)|1x y2.2 2閉集的例子:E-(x y)|Hx y 2.2 2集合(x.y) y aiX2a2xn an .在 Rn中線性運算和距離的引入.使得前面討論過的有關(guān)平面點集的一系列概念.可以方便地引入到 n(n_3)維空間中來.例如設(shè) a =(ai.a2.an)，Rn. /是某一正數(shù).則

7、n 維空間內(nèi)的點集U(a* 氓 x | x= Rn、R x.a)0 .h0內(nèi)取定一對值(r . h)時.V 對應(yīng)的值就隨之確定例 2 一定量的理想氣體的壓強p、體積 V 和絕對溫度 T 之間具有關(guān)系RTV其中 R 為常數(shù).這里.當 V、T 在集合(V T) | V0 .T0內(nèi)取定一對值(V .T)時.p 的對應(yīng)值就隨之 確定，例 3 設(shè) R 是電阻 Ri、R2并聯(lián)后的總電阻.由電學知道.它們之間具有關(guān)系R _ RiR2-R R2這里當 Ri、R2在集合( Ri.R2) | Ri0 . R20內(nèi)取定一對值(Ri. R2)時.R 的對應(yīng)值就隨之確定定義 1 設(shè) D 是 R2的一個非空子集.稱映射

8、f：D；R 為定義在 D 上的二元函數(shù).通常記為z=f(x .y). (x .y)D (或 z=f(P) PD)其中點集 D 稱為該函數(shù)的定義域x y 稱為自變量 z 稱為因變量，上述定義中.與自變量 x、y 的一對值(x .y)相對應(yīng)的因變量z 的值.也稱為 f 在點(x.y)處的函數(shù)值.記作 f(x y).即 zf(x y),值域：f(D)=z| z 甘(x .y) .(x y)ED.函數(shù)的其它符號：z=z(x y) z=g(x y)等類似地可定義三元函數(shù)u 甘(x .y .z). (x .y .zD 以及三元以上的函數(shù),一般地.把定義 1 中的平面點集 D 換成 n 維空間 Rn內(nèi)的點集

9、 D .映射 f : D R 就稱為定義 在 D 上的 n元函數(shù).通常記為U 甘(X1.X2 . .xn) .(X1.血. .Xn) .高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組或簡記為u=f(x) x =(xi.X2 .Xn) D也可記為u f(P) .P(xi.X2,.：，.:Xn) D .關(guān)于函數(shù)定義域的約定 ：在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)u=f(x)時.就以使這個算式有意義的變元 x 的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域.因而.對這類函數(shù).它的定義域不再特別標出，例如.函數(shù) zTn(x y)的定義域為(x y)|x y0(無界開區(qū)域)2 2 2 2函數(shù) zarcs

10、in(x y )的定義域為(x y)|x y 玄 1(有界閉區(qū)域).二元函數(shù)的圖形：點集(x .y .z)|z=f(x .y) .(x.y)ED稱為二元函數(shù) z=f(x.y)的圖形.二元函數(shù)的 圖形是一張曲面.例如 zax by c 是一張平面.而函數(shù) z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.三，多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似.如果在 P(x y) P0(x0.y0)的過程中.對應(yīng)的函數(shù)值 f(x y)無限接近于一個確定的常數(shù)A .則稱 A 是函數(shù) f(x y)當(x y)；(x.yo)時的極限，定義 2設(shè)二元函數(shù) f(P)h(x y)的定義域為 D .Po(xo.yo)是 D 的聚點.如果

11、存在常數(shù) A .對于任意給定的正數(shù) 總存在正數(shù)：.使得當P(x, y) D U (P0, -J時.都有|f(P)從沖(x.y)從 0成立.則稱常數(shù) A 為函數(shù) f(x y)當(x .y)-；(x.y)時的極限.記為lim f (x,y) = A.或 f(x y) A (x y)“(x y。).(x,y)r(xc,yo)也記作lim f(P)二A或 f(P) A(P Po).PPo上述定義的極限也稱為二重極限高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組例 4.設(shè)f(x,y)=(x2y2)sin J2求證lim f(x,y)=O.x yd) e，o)證因為|f(x,y)-0hl(x2y2

12、)sinr七-0| =|x2y2| |si門子七昇沁2y2.可見0 .取、；=、.；.則當0(x0)2(y0)2x .即P(x,y)D -U(O,、J時.總有|f(x y)0| ：；.因此lim f (x, y) =0 .(x,y)r(0,0)必須注意：(1)二重極限存在.是指 P 以任何方式趨于 P0時.函數(shù)都無限接近于 A如果當 P 以兩種不同方式趨于P0時.函數(shù)趨于不同的值.則函數(shù)的極限不存在討論x2y2廠0在點(0 . 0)有無極限？x2y2=0提示：當點 P(x .y)沿 x 軸趨于點(0 . 0)時.lim f (x, y) = lim f (x, 0) = lim 0 =0(x,

13、 y)r(0,0)x 0 x 0當點 P(x .y)沿 y 軸趨于點(0 .0)時.lim f(x, y)=lim f (0, y) = lim 0 =0 ,(x,y)r(0,0)y 0y0當點 P (x y)沿直線 y=kx 有因此.函數(shù) f(x.y)在(0 .0)處無極限,極限概念的推廣：多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限運算法則：與一元函數(shù)的情況類似例 5 求嘰警xy函數(shù)f (x, y)二x2y20lim(x,y) (0,0)x2 y2y=kxkx2=lim22 2x-.0 x2k2x2k1 k2高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組解limsin(xy)=血sin(xy)八血

14、sin(xy).血(x,y)_(0,2)X(x,y) (0,2)xy(x, y)(0,2)xy(x,y) (0,2)四，多元函數(shù)的連續(xù)性定義 3 設(shè)二元函數(shù) f(P)=f (x y)的定義域為 D Po(xo.yo)為 D 的聚點.且 PoD .如果lim f (x,yHf (xo, yo).(x,y)r(x,yo)則稱函數(shù) f (x y)在點 Po(xoyo)連續(xù)如果函數(shù)f (x .y)在D的每一點都連續(xù).那么就稱函數(shù) f (x.y)在D上連續(xù).或者稱 f (x.y)是 D 上的連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n 元函數(shù) f(P)上去例 6 設(shè) f(x,y) =sin x .證明

15、 f(x .y)是 R2上的連續(xù)函數(shù)，證 設(shè) Po(xoyo)三 R .沁.由于 sin x 在 xo處連續(xù).故二心 2 .當|xxo|.；：P時.有|sin x-sin xo| :;,以上述、作 Po的、鄰域 U(PoV).則當 P(x y/ U(Po*)時.顯然|f(x .y)才(xo.yo)| =|sin x-sin xo|:;.即 f(x.y)=sin x 在點 Po(xo.yo)連續(xù)，由 Po的任意性知.sin x 作為 x.y 的二元函數(shù)在R2上連續(xù),2證對于任意的 Po(xo.yo) R .因為lim f (x, y) lim sin x =sin x f (xo, yo).(x

16、,y)(x),yo)(x,y)心。)所以函數(shù) f(x,y)=sin x 在點 Po(xo.yo)連續(xù)，由 Po的任意性知.sin x 作為 x.y 的二元函數(shù)在 R2上連續(xù)類似的討論可知.一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時.它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.定義4設(shè)函數(shù)f(x y)的定義域為 D.Po(xo.yo)是 D的聚點.如果函數(shù) f(x . y)在點 Po(xo.yo)不連 續(xù).則稱Po(xoyo)為函數(shù) f(x y)的間斷點.例如” xy函數(shù)f (x,y)二x2y2io其定義域 D 卡2.0(o. o)是 D 的聚點 f(x .y )當(x.y)T(o. o)時的極限不

17、存在.所以點 0(。. o)是該函 數(shù)的一個間斷點，又如函數(shù)Z=s in2其定義域為 D=(x.y)|x2y2F.圓周 C=( x y)|x2”=1上的點x y -1都是 D 的聚點.而 f(x . y)在 C 上沒有定義.當然 f(x . y)在 C 上各點都不連續(xù).所以圓周 C 上各點 都是該函數(shù)的間斷點.x2y2=ox2y2=o高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組注：間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組可以證明.多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)多元

18、初等函數(shù)：與一元初等函數(shù)類似.多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而 得到的，2 2例如X-. sin(x+y) .ex刊出都是多元初等函數(shù),1 +y2一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域，由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性.如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點 P0 處的極限.而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi).則lim f(P) = f(F0).p Po例 7 求lim-y,(x,y)T(1,2)Xy解：函數(shù)f(x, y-y是初等函數(shù).它的定義域為xyD =(x y)|x-0

19、y=0.Po(1 2)為 D 的內(nèi)點.故存在 Po的某一鄰域 U(Po) D.而任何鄰域都是區(qū)域 的一個定義區(qū)域.因此般地 求lim f(P)時.如果 f(P)是初等函數(shù).且 Po是 f(P)的定義域的內(nèi)點.則 f(P)在點 Po PTP,處連續(xù).于是例 8 求lim(x,y)；(o,o)xy多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：.所以 U(Po)是 f(x .y)lim(x,yl(l,2)f(x,y) = f(1,2)兮limP滬of(P) =f(Po)lim蘭(x,y) (o, o)xy加orEWxem 2高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組性質(zhì) 1 (有界性與最大值最小值定理) )在有界

20、閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù).必定在 D 上有界 且能取得它的最大值和最小值.高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組性質(zhì) 1 就是說.若 f(P)在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù).則必定存在常數(shù) M 0 .使得對一切 D .有 |f(P)|JM 且存在 Pi、P2D .使得f(Pi)=maxf(P)|P D . f(P2)=min f(P)|P D.性質(zhì) 2 (介值定理) )在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任 何值，8,2偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法對于二元函數(shù) z=f(x y).如果只有自變量 x 變化.而自變量 y 固定.這時它就是 x 的一元函

21、數(shù). 這函數(shù)對 x的導數(shù).就稱為二元函數(shù)z=f(x y)對于 x 的偏導數(shù)定義 設(shè)函數(shù) z 寸(x .y)在點(xo.yo)的某一鄰域內(nèi)有定義.當 y 固定在 yo而x在xo處有增量LX時.相應(yīng)地函數(shù)有增量f(xo亠伙.yo)f(xoyo),如果極限limf (xoxyo) - f (Xo, yo)存在.則稱此極限為函數(shù)z=f(x .y)在點(xo.yo)處對 x 的偏導數(shù).記作類似地.函數(shù) z=f(x y)在點(xo.yo)處對 y 的偏導數(shù)定義為f (Xo, yo：y) - f (Xo, yo)zy X =xo或fy(xo*yo) y -yox -xo -口exy斗oexx -xoy =y

22、。-zx x=xo.或fx(xo, yo)-例如lim y-o記作高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組偏導函數(shù)：如果函數(shù) z=f(x .y)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(x y)處對 x 的偏導數(shù)都存在.那么這個偏導 數(shù)就是 x、y的函數(shù).它就稱為函數(shù) z=f(x.y)對自變量x的偏導函數(shù).記作高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組八或fx(x,y)類似地.可定義函數(shù) z 二 f(x .y)對 y 的偏導函數(shù).記為ZfZy.或fy(x,y),y:y偏導函數(shù)的定義式：fy(x,y)=limf (x, y_y)_f (x, y)Ay求f時.只要把 y 暫時看作常量而對 x

23、 求導數(shù)求丄時.只要把 x 暫時看作常量而對 y 求x_y導數(shù)討論：下列求偏導數(shù)的方法是否正確？fx(x0，y0)=fx(X，y)；碁fy(x。,心fy(X,y)M0.plplfx(xo,yo)=dxf(x,yo)|xfy(x0y0)=dy f(x0y)ly=y 偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)，例如三元函數(shù) u=f(x y z)在點(x y z)處對 x 的偏導數(shù)定義為其中(x y z)是函數(shù) u=f(x.y.z)的定義域的內(nèi)點，它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題例 1 求 zm243xyy2在點(1 . 2)處的偏導數(shù)例 2 求 z=x2sin 2y 的偏導數(shù)，解鼻=2xsin2y

24、z=2x2cos2y .excy例 3 設(shè)z二xy(x Ox = 1).求證：厶仝 匚仝=2z .y x Inx 證=yxxyA =xyln x . ex偏導函數(shù)的定義式fx(x,y)=IXm。f(x：x,y)-f(x,y).xf/nxmf (x：x,y,z)-f(x,y,z)解多也3y擴3x 2y石鍛=31十22=7 高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組Zyx2丄xylnx = xyxy=2z,例 4 求r= Jx2y2z2的偏導數(shù)，解工一_x必 _y_x欣Jx2+y2+z2 r創(chuàng)Jx2+y2+z2r例 5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R 為常數(shù)).求證：衛(wèi).工.遼

25、=_1 ,V??；:pV V2V R汀_V8 _R所以衛(wèi)衛(wèi)工一RT R V一BL dV 0 x 0當點 P(x .y)沿直線 y&x 趨于點(0 .0)時.有因此.lim f (x,y)不存在.故函數(shù) f(x.y)在(0 .0)處不連續(xù),(x,y) (0,0)類似地.可定義函數(shù) z 二 f(x .y)對 y 的偏導函數(shù).記為.zy.或fy(x,y).y；-y偏導函數(shù)的定義式：fy(x,y) = limf(x,yWf(x,y).y再T0Ay二.高階偏導數(shù)設(shè)函數(shù) zh(x y)在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導數(shù)IE那么在 D 內(nèi) fx(x .y)、fy(x y)都是 x y 的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏

26、導數(shù)也存在 z f (x y)的二偏導數(shù).按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數(shù)如果函數(shù) zh(x .y)在區(qū)域 D 內(nèi)的偏導數(shù) fx(x .y)、fy(x y)也具有偏導數(shù). 則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù) z 甘(x ,y)的二階偏導數(shù).按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù)其中亠(3) -fxy(X，y) (4) -fyx(x, y)稱為混合偏導數(shù)-y :x:x y:x :y:y:xlim廠2(x,y)j0,0)x2y2y Ax=lim2x_；0 x2k1 k2.則稱它們是函數(shù)= fxy(x,y)丄(立)-Pfyy(X,y):y :y: y2高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)

27、學課程建設(shè)組解-=3x2y2-3y3-y =2x3y-9xy2-x excy 2-3-z =6xy2二=6y2x2:x同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)6 設(shè) z=xy23xy3xy 1 .求-3Z-3X.y；:x29=6x y 9y -1由例 6 觀察到的問題.:2z；:2z-2ZJ定理如果函數(shù) zf(xy )的兩個二階混合偏導數(shù)亠乙及一乙在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù).那么在該區(qū)cxcy域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導數(shù) 例7 驗證函數(shù)z =1 n . x2 y2滿足方程 證因為z=ln Jx2+y2=2n(x2+y2)迄二x二

28、y fx x2y2絢x2y2：2z (x2y2)_x2x y2-x2；:x2(x2y2)2(x2y2)2所以2 2=6x y9y -1高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組8 .3 全微分及其應(yīng)用、全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系有偏增量與偏微分f(x J y) -f(x y): fx(x y)=x .f(x：x y) f(x y)為函數(shù)對 x 的偏增量.fx(x .y) x 為函數(shù)對 x 的偏微分-f(x y y)-f(x y)：fy(x y)：y .因此：2Z (x2y2)-y2yx2y2寸一(x2y2)2_(x2y2)2：2z；：2 2x y2 2(x2y

29、2)2(x2J)2例&證明函數(shù)u工1滿足方程胡J1 =0rex2cy2cz2其中r = . x2 y2 z2.證；-u -1jr _1 x _x&r2:xr2rr3；:2u13x：r1z-3x2?x2r3r4:xr3r5同理乜-1-3y!：2u一丄.堂寸r3r5；z2r3r533(x2y2z2)r533r2-35 _0r r提示. 2 -亠亠(.x.:x2r-x亠(r3)x_r6r3_x3r2二xr6因此；:2u；:2u：2u / 13x2、/ 1 3y2高等數(shù)學教案多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用f(x .y =y) f(x .y)為函數(shù))對 y 的偏增量 fy(x y)iy 為函數(shù)對

30、 y 的偏微分, 全增量：LZ=f(x 二 x y =y) _f(x y).計算全增量比較復雜.我們希望用：x：y 的線性函數(shù)來近似代替之 定義 如果函數(shù) z=f(x.y)在點(x y)的全增量z二f（x x .y：y）-f（x y）可表示為LZ=ALXB=y o（）（-、；（=x）2（二y）2）.其中 A、 B 不依賴于=x、 =y 而僅與 x、 y 有關(guān).則稱函數(shù) z 甘(x.y)在點(x y)可微分.而稱 A-xB.ly 為函數(shù) z 孑(x .y)在點(x y)的全微分.記作 dz .即如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點處都可微分.那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分，可微與連續(xù)：可微必連續(xù).但偏導數(shù)存

31、在不一定連續(xù).這是因為.如果 z=f(x .y)在點(x y)可微.則.z = f(x：-x y：=y)f(x y) =A. x B.：y o(】).于是lim .：z=0從而lim f (x =x, y:y) = lim f (x, y)：z = f (x, y).(Sl(0,0)，g，因此函數(shù) z(x y)在點(x .y)處連續(xù)可微條件：定理 1(必要條件) )如果函數(shù) zh(x .y)在點(x y)可微分.則函數(shù)在該點的偏導數(shù)z 必定存在.且函數(shù) z=f(xy)在點(x y)的全微分為dz Z *立：y ,證 設(shè)函數(shù) z=f(x . y)在點 P(x . y)可微分.于是.對于點 P 的

32、某個鄰域內(nèi)的任意一點P (xxy Ty).有 LzAL-x y o(:).特別當 =y 0 時有f (x =x .y)-f(x .y) =A=x o(|=x|).上式兩邊各除以氷.再令 x 0 而取極限.就得x 0 x從而偏導數(shù) 蘭存在.且蘭二A同理可證偏導數(shù) xx:y:y高等數(shù)學課程建設(shè)組高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組存在.且鼻二B .所以高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組dz x y ,exdy簡要證明：設(shè)函數(shù) zf(x y)在點(x y)可微分.于是有.z=A x B：y o( 0，特別當.：y=0 時有f (x =x .y)-f(x y) =

33、A.：x o(：x|).上式兩邊各除以x .再令；x 0 而取極限.就得limf(xXy)_f(約OM = A.X0 x.xox從而 N 存在.且 =A，同理 2 存在.且二二 B ,所以 dz= Lx _y ,.x.x：y:yx: y偏導數(shù) 空、竺存在是可微分的必要條件.但不是充分條件，excy例如jyS函數(shù)f(x,y) =gx2 + y2在點(0.0)處雖然有 fx(O. 0)=0 及 fy(0. 0)=0.但函數(shù)在I0 x2*2(0.0)不可微分.即 Az-fx(O .O)Ax 時y(0 . O)Ay不是較 P 高階的無窮小,這是因為當(ix、Ay)沿直線 y 承趨于(0 . 0)時.:

34、z fx(0,0)：xfy(0, 0)：y：y次丄_0P_(Ax)2+(Ay)2_(Ax)2+ Qx)2_2嚴，定理 2(充分條件) )如果函數(shù) z 甘(x .y)的偏導數(shù) 立、空在點(x y)連續(xù).則函數(shù)在該點可微分，excy定理 1 和定理 2 的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)按著習慣, x：y 分別記作 dx、dy .并分別稱為自變量的微分.則函數(shù) z-f(x y)的全微分可寫作dzzdxzdy .excy二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理，疊加原理也適用于二元以上的函數(shù).例如函數(shù) u=f (x y z)的全微分為高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)

35、用高等數(shù)學課程建設(shè)組du =dxdydz .x :y : z例 1 計算函數(shù) z/y y2的全微分，高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組解因為=2xy =x22y .:xy所以 dz=2xydx (x22y)dy .例 2 計算函數(shù) zwxy在點(2 .1)處的全微分解因為=yex - =xexy.x:y*二、全微分在近似計算中的應(yīng)用當二元函數(shù) Z 寸(x.y)在點 P (x.y)的兩個偏導數(shù) fx(x.y) .fy(x.y)連續(xù).并且|也 x|.,|Ay|都較小時. 有近似等式-z : dz=fx(x .y)=x fy(x .y)=y .即f(X LX .y iy)：f(x

36、 y) fx(x .y).：xfy(x y)：y .我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算例 4 有一圓柱體.受壓后發(fā)生形變.它的半徑由 20cm 增大到 20 . 05cm .高度由 100cu 減少 到 99cm .求此圓柱體體積變化的近似值解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h 和 V.則有2Vr h .已知 r0 .h = 00 r=0 .05亠 1 ,根據(jù)近似公式.有2V : dV =Vr ：r Vh h =2 二 r：h23=2 職 2000 .05 十宓 20 逬一 1)亠 200 兀(cm ),即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 兀 cm3,例 5 計算(1 .04)

37、2,02的近似值所以所以:z:x2x=2 =ey二x=2=2e22 2dz=e dx 2e dy .例 3 計算函數(shù)x sin - eyz的全微分解因為汁1苧汕du =dxzeyz)dy yeyzdz高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組解 設(shè)函數(shù) f (x .y)my“顯然.要計算的值就是函數(shù)在 x=1 04 .y=2 02 時的函數(shù)值 f(1 04 . 2 02) “ 取 x=1y=2 . x=0 04 .：y=0 02 .由于f (x .x .y .：y)：f(x y) fx(x y). x fy(x .y).：yyy _1y=x yx x x In x .：y .所以2

38、 02 2 22(1 04)12 10 04 1 In1 0 02=1 08例 6 利用單擺擺動測定重力加速度g 的公式是4二2Ig- 現(xiàn)測得單擺擺長 I 與振動周期 T 分別為 l=1000.1cm、T=20.004s.問由于測定 I 與 T 的誤差而引起 g 的絕對誤差和相對誤差各為多少？解如果把測量 I 與 T 所產(chǎn)生的誤差當作|AI|與|AT|,則利用上述計算公式所產(chǎn)生的誤差就是.4下21二元函數(shù)g二器的全增量的絕對值|Ag|.由于|AI| |AT 都很小.因此我們可以用 dg 來近似地代替Ag 這樣就得到 g 的誤差為I Ql |dg冃牛I晉TI III.TIT= 4：2(T12；I

39、=23T).其中 6 與&為 I 與 T 的絕對誤差“把 1=100 .T=2, 6=0.1, &=0.004 代入上式.得 g 的絕對誤差約為、g=4：卷 號00.004)=0.5二2=4.93(cm/s2).22從上面的例子可以看到.對于一般的二元函數(shù)z=f(x, y),如果自變量 x、y 的絕對誤差分別為、y,即|Ax S|Ay|y,高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組則 z 的誤差|：z| |dz|-1一：x一y|excy4空|：x|嚴| y|；x；y高等數(shù)學教案多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用從而得到 z 的絕對誤差約為z 的相對誤差約為 4 多元復合函數(shù)的求

40、導法則pl 設(shè) z=f(u .V).而 u= (t) v=(t).如何求dz？dt設(shè) z=f(u .v).而 u = (x y) v= (x y).如何求厘和厘？excy1 .復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理 1 如果函數(shù) u= (t)及 v=(t)都在點 t 可導.函數(shù) z=f(u .V)在對應(yīng)點(u.v)具有連續(xù)偏導數(shù).則復合函數(shù) Z 勻(th- (t)在點 t 可導.且有dz :z du dvdt:u dt:v dt簡要證明1 :因為 zf(u v)具有連續(xù)的偏導數(shù).所以它是可微的.即有dzzd dv .cucv又因為 u 二(t)及 v=(t)都可導.因而可微.即有代入上式得d

41、z二絲 血dt空 也dt二嚴血 空dv)dtcu dtcv dtcu dtdv dt從而dz z du z dvdt cu dt cv dt簡要證明2 :當 t 取得增量 t 時.u、v 及 z 相應(yīng)地也取得增量=u、及=z ,由 z=f(u.v)、u= (t)exdydu =dudtdt dv二dtdt高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組及 vi(t)的可微性.有z N u V 0(0二鼻du：tt)Hz-dv t o( t) o()u : v: u dt: v dt高等數(shù)學課程建設(shè)組高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組吒器予霽t遵弓心)gz:zdv (j

42、z：z)o(.：t)o( J.t；:udt；v dtlu；:v)t t令 t 0,上式兩邊取極限.即得dz _工du；z dv dt；:u dt：v dt 注：|im也=lim心丄a=o.、(du)2 .(dv)2=ot_ott.jottdtdt推廣:設(shè)z=f (uv w) u 二(t) .v= (t) ,w= (t).則 z=f (t) .- (t) .，(t)對 t 的導數(shù)為dz：z du：z dv:：z dwdt；:u dt；v dt；：w dt上述dz稱為全導數(shù)，dt2.復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理 2 如果函數(shù) u= (x y) .vi(x y)都在點(x y)具有對 x

43、 及 y 的偏導數(shù).函數(shù) z=f(u .v)在對應(yīng) 點(u v)具有連續(xù)偏導數(shù).則復合函數(shù) z=f (x yh- (x y)在點(x y)的兩個偏導數(shù)存在.且有L、.r.L、jL、.La.r./-hL、Z _ :z : u . :Z : V :z : Z :u . :z : v:x :x；v :x : y : u .:y : v .:y推廣:設(shè) z=f(u v w ) u= (x y) .v_ (x y) w - (x y).則jz=jz 辿 立 Jv立 ?w-z _ :z iu立衛(wèi)立凹L、.r,L、.l,L.r,.r,，.r,.r,.r, l、.r, l、x:u :x:v:x :w:x :y

44、:u:y:v:y: w :y討論(1) 設(shè) zh(u v) u= (x y) v= (y).則=？ = ？excyL、L、L、L、rL、L、I提_ .:z 二：z: u :z二：z :u.：z dvexcu excycu勿cv dy(2) 設(shè) z 斗(u x y).且 u = (x .y).則-=？ = ？exoy提示：旦f竺afex cu exexcycu cycy這里厘 與丄是不同的z是把復合函數(shù) f (x y) x y中的 y 看作不變而對 x 的偏導數(shù)fx汶xx是把 f(u x .y)中的 u 及 y 看作不變而對 x 的偏導數(shù).空與工也朋類似的區(qū)別高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

45、高等數(shù)學課程建設(shè)組3 復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù).又有多元函數(shù)的情形定理 3 如果函數(shù) u= (x y)在點(x y)具有對 x 及對 y 的偏導數(shù).函數(shù) v(y)在點 y 可導.函數(shù) zf(u .v)在對應(yīng)點(u .v)具有連續(xù)偏導數(shù).則復合函數(shù) z=f (x y) .(y)在點(x y)的兩個偏導數(shù)存在. 且有.-z : z : u: z: z : u : z dv- =- - - =-T- r - *-:x: u；x :y；u:y:vdy1 設(shè) z=eusin v u =xy v=x y求 禾口二 excy:z:z :u:z : v-=- r - -r-x:u :X: V :Xuu=

46、e sin vy e cos v 1xyw y sin(x y) cos(x y).L-.L-:z:z: u: Z: V- ZZ - *- T- - -:y:u:y:v :yU .uw sin vx e cos v 1=exyx sin(x y) cos(x y),2y2z2解耳二f.至x .x；：z .x=2xex2 y2 z22zex2 y2 z22xsin y=2x (1 2x2sin2y)ex2 y2 x4sin2y.:u f .：f: z-=-r- - -.:y .:y:z .:y=2yey z2zex2y zx2cos y=2(y x4sinycosy)ex 72siy.例 3 設(shè)

47、 z uv sin t .而 u 帯.v xos t .求全導數(shù)dzdt解dz z du z直 Ndt旬dt cv dt ct=v etu ( -sin t) cos t.而z =x2sin例 2 設(shè)u = f (x, y, z) -ex高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組Jcos t -etsin t cos t/(cos t -sin t) cos t ._ 2例 4 設(shè) w 4(x y z xyz) f 具有二階連續(xù)偏導數(shù).求到及：wxxz解令 u=x y z v=xyz .貝 U w=f(u v).引入記號：丘二如 .f12二f (U，V)同理有f2f11f22等cu

48、cucv衛(wèi)二蘭屯蘭別#yzf2:x；:u；x jv；x亠(flyzf2)yf2yz生:z:zN二f“ xyf12yf2yzf21xy2zf22二f“ y(x z) f12- yf2xy2zf22.注：圭二L.衛(wèi).衛(wèi)十忙xyf12壬二2色 壬 /二f21xyf22N : U :z: V :z:z: U : Z:V : z例 5 設(shè) u=f(x .y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù).把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式 審(尋2豊影 解 由直角坐標與極坐標間的關(guān)系式得u f(x .y) f (;?cos 0 ,:?sin B) =F(. 0).其中 xnQos 0 y =：sin 0,；= ,x2y2.)-a

49、rctan .x應(yīng)用復合函數(shù)求導法則.得：u _：u.也二 二I x：u y _：u _ u ysin-:x xX一 一2CC A LJ FA：U _：Uuu y .：U X二：Usin寸:ucos-;：y，y:y:2：T1兩式平方后相加.得Fu右（）岔f（u）c6 jx x_xx xu:u sin、=-co-）Cd乎w.x .:z再求二階偏導數(shù).得高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組社（uco點u sinH） sin日.廠丁= 32COS-2：%sin空呼 詔: :2匸2.：u 2sin二COSTu sin J匚丁J 同理可得；:2u；:2u .22u sin vcosv2

50、u cos，寺二芋SIn-2：r J2_電2sin cos：.一u cos2丁:2；:；- r 兩式相加.得Fu +罟u_滂u+1尹+1召u：x2：y2_ 汀2 2：y2/ 2二AL亠（空）.斗Q 小:“）壬2全微分形式不變性：設(shè) zh(u .V)具有連續(xù)偏導數(shù).則有全微分dd dv .cucv如果 z=f(u .v)具有連續(xù)偏導數(shù).而 u= (x y) .v=(x.y)也具有連續(xù)偏導數(shù).則dzzdxzdyexcy=（各雲(yún)俘字）dx十各學:u : x :v : x : u : y吒Edx號助送煜如舟zduzdv .u : v由此可見.無論 z 是自變量 u、v 的函數(shù)或中間變量 u、v 的函數(shù)

51、.它的全微分形式是一樣的個性質(zhì)叫做全微分形式不變性這高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組例 6 設(shè) z wusin v .u =xy v=x y ,利用全微分形式不變性求全微分解dz=du豆dv=eusin vdu eucos vdv dudvuu=e sin v(y dx x dy ) e cos v(dx dy)uuuu=(ye sin v e cos v)dx (xe sin v e cos v )dyxyxy=e y sin(x y) cos(x y)dx e x sin(x y) cos(x y) dy ,8 . 5 隱函數(shù)的求導法則、一個方程的情形隱函數(shù)存在定理

52、1設(shè)函數(shù) F(x .y)在點 P(xoyo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)F(xoyo) =0 Fy(xo.yo)=O .則方程 F(xy) =0 在點(xo.yo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x).它滿足條件yoh(xo).并有業(yè)dx Fy求導公式證明：將 yh(x)代入 F(x .y)=o .得恒等式F(x f(x)三 o .等式兩邊對 x 求導得:x旳dx由于 Fy連續(xù).且 Fy(xoyo) o .所以存在(xoyo)的一個鄰域.在這個鄰域同 Fy.于是得高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組業(yè)_FxdX_Fy例 1 驗證方程在點(0 . 1)

53、的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當 x=0 時 y=1的隱函數(shù) y f(x).并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x=0 的值O O解 設(shè) F(x . y)二 xy -1 .則 Fx=2x . Fy=2y . F(0 . 1)=0 . Fy(0 . 1)=2=0 .因此由定理 1 可知.方程xy=0 在點(0 . 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0 時 y=1 的隱函數(shù) y=f(x) “理_Fx_x dy _0dxFyy dx隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).一個二元方程 F(x . y) =0 可以確定一個一元隱函數(shù) .一個三元方程 F(xy.z)=0 可以確定一個二元隱函數(shù)

54、，隱函數(shù)存在定理 2設(shè)函數(shù) F(x y z)在點 P(X0.y0.Z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù).且 F(x.y。 . Z0)=0. Fz(X0.y。 .Z0)=0 .則方程 F(x y z) =0 在點(X0y0.Z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù) z=f(x .y).它滿足條件 z()=f(X0y0).并有:zFx工二Fy：xFz-yFz公式的證明:將 Z#(x .y)代入 F(x y z)=0 .得 F(x y f(x y)三 0將上式兩端分別對 x 和 y 求導.得FxFz空=0 FyFz Jexoy因為Fz連續(xù)且 Fz(x0y0Z0)=0 .所以存在點(

55、X0y0z0)的一個鄰域.使 Fz0.于是得 立二Fx亞二_巳：，一工：廠Fz 當z例 2.設(shè) x2y2，Z2-4Z=0.求=7 .ex2d2yy _xy麗八y2y2x2高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組2 2 2解 設(shè) F(x .y .z)二 x y z/z .則 Fx2x .Fy=2z-4一Z Fx2x x文二花2z4二二_2z(2-x) x曦(2_x) x(亡)(2_x)2x2壬二(2 -z)2=(2 - z)2二(2 - z)3、方程組的情形在一定條件下.由個方程組 F(x . y . u .v)=0 .G(x .y . u . v)=0 可以確定一對二元函數(shù)u=u

56、(x.y).v=v(x .y).例如方程 xu-yv=0 和 yu，xv=1 可以確定兩個二元函數(shù)u =2丫2v =2x +y x + y xxxu-yv=o =v=u= yu+x u =1二u yy如何根據(jù)原方程組求 u v 的偏導數(shù)？隱函數(shù)存在定理 3隱函數(shù)存在定理 3設(shè) F(x y u .v)、 G(x y u v)在點 P(xoyouovo)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù) 又F(xoyouovo)=OG(xo.youovo) =0 .且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式話cF_j=點(F，G)=旬cvc(u,v)G Gcu cv在點P(xoyo.uovo)不等于零.則方程組F(x .y

57、u.v)=O G(x .y u .v)=0 在點 P(xo,youovo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u=u(x . y) . v=v(x . y).它們滿足條件 u=u(xo.yo) .vow(xo.yo).并有FxFv鳳一1 c(F,G) _GxGvexJ c(x,v)FuFvGuGv事實上yx2y22高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組隱函數(shù)的偏導數(shù)：設(shè)方程組 F(x y u v) =0 G(x y u v) -0 確定一對具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù) u=u(x y) .v=v(x v).則FyFv和1 (F,G)| GyGv創(chuàng)J c(y,v)F

58、uFvGuGYFuFvGuGv|FuFypuGyFuFvGuGv：v二仁(F,G)；x J j(u,x)_Y _1： ：(F,G)為一J：(u,y)偏導數(shù) 4、由方程組exex偏導數(shù)定定確確:9=0.:v-.:x.:v-.:xw-:ylvv-:y氏Gv氏G + + + u cu-excu-GU-矽%GUGu+ + + +XXXX y y y yF G F G例 3 設(shè) xu -yv -0 yu xv=1 .求 ex解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導.得關(guān)于 4 和亠的方程組exex+cucvnu x y 0exex亡Yx-O；x: X當 x2y2-0 時.解之得：u xu yvx2y2fv yu

59、 -xv：x x2y2GuGx高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組兩個方程兩邊分別對 x 求偏導 得關(guān)于 二和蘭的方程組cy cyx空v y色=0u + y空+x空=0另解將兩個方程的兩邊微分得jUdx +xdu -vdy -ydv =0即：xdu -ydv =vdy -udxydy +ydu +vdx +xdv =0 ydu +xdv = -udy vdxxu yvdxxvyux2y2x2y2：vyu-xv：v_xuyv:xx2y2為x2y2例：設(shè)函數(shù) x 狀(u .v) .y 二 y(u .v)在點(u v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù).又(1)證明方程組to)時的極限

60、存在.則稱此極限為函數(shù) f(x.y)在點 Po沿方向 I 的方向?qū)?shù).記作f.即日(xo,yo)高等數(shù)學教案8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用高等數(shù)學課程建設(shè)組|imf (xo+tco貿(mào)，yo+tcosB) f (xo,yo)0+t_就是函數(shù) f(x. y)在點 Po(xo.yo)處沿方向 I 的變化a (Xo，yo)方向?qū)?shù)的計算：定理 如果函數(shù) z 甘(x.y)在點 Po(xo.yo)可微分.那么函數(shù)在該點沿任一方向I 的方向?qū)?shù)都存在.且有=fx(xo, yo)cosa + fy(xo, y)cos0 .cl(xo,yo)其中 cos a, cos 是方向 I 的方向余弦，簡要證明：設(shè)，x=t cos八弍cos 、則f(xotcos N y