謎一般的0618——黃金分割的來歷

1、謎一般的0.618黃金分割的來歷有一個(gè)在經(jīng)濟(jì)生活、科學(xué)研究中都很有用的數(shù)0.618，由它決定了一種最優(yōu)化方法。使用它，人們節(jié)約了大量的時(shí)間、財(cái)力和物力，當(dāng)人們探討它的來歷時(shí)才發(fā)現(xiàn)它竟是一種純數(shù)學(xué)思考的產(chǎn)物！純數(shù)學(xué)思考的產(chǎn)物怎么會(huì)那么符合實(shí)際？這就是這個(gè)數(shù)中所包含的一個(gè)美麗的謎語。歐多克斯的“中外比”歐多克斯是公元前4世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家，他曾研究過大量的比例問題，并創(chuàng)造了比例論。在研究比例的過程中，有一次提出這樣一個(gè)問題：能否將一條線段分為不相等的兩部分，使較長(zhǎng)部分為原線段和較短部分的比例中項(xiàng)？他通過研究發(fā)現(xiàn)，可以將一已知線段分為兩段，使之滿足長(zhǎng)線段與短線段之比等于全線段與長(zhǎng)線段之比，即長(zhǎng)線段為全

2、線段與短線段的比例中項(xiàng)。若設(shè)已知線段為AB，點(diǎn)C將AB分割成AC、BC，ACBC，且AC2=AB·CB，那么分點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)于是，歐多克斯將這種比專稱為“中外比”。在數(shù)學(xué)史上，是歐多克斯首先提出的中外比，不過希臘人發(fā)現(xiàn)中外比要更早一些。神秘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾以五角星形為其標(biāo)志，五角星形的作圖中就包含著中外比。雅典的巴特農(nóng)神殿是古希臘的一大杰作，這座建造于公元前5世紀(jì)的神殿的寬與高之比就恰恰符合中外比。中外比后來被世人通稱為“黃金分割”，雖然最先系統(tǒng)研究黃金分割的是歐多克斯，但是，它究竟起源于何時(shí)、何故呢？黃金分割的起源人們認(rèn)為，黃金分割作圖與正五邊形、正十邊形和五角星形

3、的作圖有關(guān)特別是由五角星形作圖的需要引起的。五角星形是一種很耐人尋味的圖案，世界許多國(guó)家國(guó)旗上的“星”都畫成五角形。現(xiàn)今有將近40個(gè)國(guó)家（如中國(guó)、美國(guó)、朝鮮、土耳其、古巴等等）的國(guó)旗上有五角星。為什么是五角而不是其他數(shù)目的角？也許是古代留下來的習(xí)慣。五角星形的起源甚早，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)最早的五角星形圖案是在幼發(fā)拉底河下游馬魯克地方（現(xiàn)屬伊拉克）發(fā)現(xiàn)的一塊公元前3200年左右制成的泥板上。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用五角星形作為他們的徽章或標(biāo)志，稱之為“健康”。可以認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黃金分割的方法?，F(xiàn)在人一般認(rèn)為，黃金分割是由公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。系統(tǒng)論述黃金分

4、割的最早記載是歐幾里得的幾何原本，在該書第四卷中記述了用黃金分割作五邊形、十邊形的的問題，在第二卷第11節(jié)中詳細(xì)講了黃金分割的計(jì)算方法，其中寫道：“以點(diǎn)H按中末比截線段AB，使ABAHAHHB”將這一式子計(jì)算一下：設(shè)AB1，AH=x，則上面等式18，點(diǎn)H是AB的黃金分割點(diǎn)，0.618叫做“黃金數(shù)”。在幾何原本中把它稱為“中末比”。直到文藝復(fù)興時(shí)期，人們重新發(fā)現(xiàn)了古希臘數(shù)學(xué)，并且發(fā)現(xiàn)這種比例廣泛存在于許多圖形的自然結(jié)構(gòu)之中，因而高度推崇中末比的奇妙性質(zhì)和用途。意大利數(shù)學(xué)家帕喬利稱中末比為“神圣比例”；德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱中末比為“比例分割”，并認(rèn)為勾股定理“好比黃金”，中末比“堪稱珠玉”。最早在

5、著作中使用“黃金分割”這一名稱的是德國(guó)數(shù)學(xué)家M·歐姆，他是發(fā)現(xiàn)電學(xué)的歐姆定律的G·S·歐姆的弟弟。他在自己的著作純粹初等數(shù)學(xué)（第二版，1835）中用了德文字：“dergoldeneschnitt（黃金分割）”來表述中末比，以后，這一稱呼才逐漸流行起來。黃金分割與“兔子問題”斐波那契是13世紀(jì)歐洲著名的數(shù)學(xué)家，他是意大利人。1202年出版的他的著作算盤書向歐洲人介紹了東方數(shù)學(xué)。這部書1228年修訂本中引入了一個(gè)“兔子問題”。該題要求計(jì)算由一對(duì)兔子開始，一年后能繁殖多少對(duì)兔子。題中假定，一對(duì)兔子每一個(gè)月可以生一對(duì)小兔，而小兔出生的第二個(gè)月就能生新的小兔，這樣開始時(shí)是一

6、對(duì)，一月后成為2對(duì)，兩月后3對(duì)，三個(gè)月后5對(duì)，每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)排成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，叫“斐波那契數(shù)列”，其構(gòu)造是從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和，即：fn=fn-1+fn-2（n3），fn表示第n項(xiàng)。如果用G表示黃金分割數(shù)，這些比值越來越接近G，事實(shí)上，以G為極限。這一有趣的性質(zhì)非常奇特：由兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域來的問題得出了共同的結(jié)果。兩者之間神奇的聯(lián)系，使黃金分割更具神秘感和迷人的魅力。黃金分割的啟示隨著社會(huì)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)黃金分割在自然和社會(huì)中有著極其廣泛的應(yīng)用。例如，優(yōu)選法中有兩種方法與黃金分割就有關(guān)。其一就是本文開始時(shí)指

7、出的“0618法”，它是美國(guó)數(shù)學(xué)家基弗于1953年提出的一種優(yōu)選法，從1970年開始在我國(guó)推廣，取得很好的經(jīng)濟(jì)效益。在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中，它能使我們用較少的實(shí)驗(yàn)找到合適的工藝條件和合理的配方。雖然G是一個(gè)無理數(shù)，0168是它的一個(gè)近似值，但在實(shí)際中使用已足夠精確。其二是分?jǐn)?shù)法，它取的也是G的近似值，但不是0618而是G的連分?jǐn)?shù)展開式的漸近分?jǐn)?shù)，也就是采用某一個(gè)“斐波那契數(shù)列”分?jǐn)?shù)。黃金分割運(yùn)用也表現(xiàn)出數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)規(guī)律。它表明研究和發(fā)展數(shù)學(xué)理論是十分重要的。純理論的發(fā)展對(duì)實(shí)踐的作用也許不是直接的，但它所揭示的自然規(guī)律必將指導(dǎo)人們的社會(huì)實(shí)踐。因此一方面我們遇到問題應(yīng)該尋找數(shù)學(xué)方法解決，另一方面，我們也應(yīng)為純數(shù)學(xué)理論開辟應(yīng)用領(lǐng)域。此外，對(duì)“黃金分割”的神秘性附會(huì)的現(xiàn)象也是存在的。比如黃金分割與“美”的關(guān)系，有人說：用黃金分割所得的兩段作邊的矩形（即兩邊之比=G的矩形）是最美的。這是沒有充分根據(jù)的，專家在做社會(huì)調(diào)查中也否定了這一結(jié)論。因此“黃金矩形最美”的結(jié)論是不確定的。由此推出的許多推測(cè)自然也是不可靠的。又比如說，人體的各部分長(zhǎng)度（如從頭頂?shù)蕉悄殻啥?/p>