龍格—庫(kù)塔實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上龍格庫(kù)塔法解常微分方程實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、實(shí)驗(yàn)題目求解初值問(wèn)題二、實(shí)驗(yàn)引言1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康倪M(jìn)一步理解龍格庫(kù)塔方法的設(shè)計(jì)思路和算法流程，培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐能力和分析能力。2、實(shí)驗(yàn)意義 龍格庫(kù)塔方法的推導(dǎo)基于泰勒展開方法，因而它要求的解具有較好的光滑性質(zhì)。反之，如果解得光滑性差，那么，使用四階龍格庫(kù)塔法方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而不如梯形方法。實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)當(dāng)針對(duì)問(wèn)題的具體特點(diǎn)選擇合適的算法。三、算法設(shè)計(jì) 1. 基本思想 由Lagrange微分中值定理，記，則得到這樣，給出的一種算法，就得到求解微分方程初值問(wèn)題的一種計(jì)算公式。四階龍格_庫(kù)塔法是用，和的加權(quán)平均值來(lái)近似。最經(jīng)典的四階龍格

2、庫(kù)塔公式為：四階龍格庫(kù)塔法的誤差估計(jì)局部截?cái)嗾`差為。2.算法流程圖計(jì)算N=fix(b-x0)/h)n=1x0+h=>x1f(x0,y0)=>K1f(x0+h/2,y0+h/2*K1)=>K2f(x0+h/2,y0+h/2*K2)=>K3f(x0+h,y0+h*K3)=>K4y0+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4)=>y1輸出x1,y1n=n+1x1=>x0y1=>y0n=N ?結(jié)束開始讀入x0,y0,b,h 四、程序設(shè)計(jì)program longgekutaimplicit nonereal,parameter:b=1real:h=0.2i

3、nteger:nreal:x,K1,K2,K3,K4,yreal,external:fx=0y=1open (unit=10,file='1.txt')do while(x<=b)K1=f(x,y)K2=f(x+h/2,y+K1*h/2)K3=f(x+h/2,y+K2*h/2)K4=F(x+h,y+K3*h)y=y+(k1+2*K2+2*K3+K4)*h/6x=x+hwrite(10,*) x,yend doendfunction f(x,y)implicit nonereal:f,x,yf=y-2*x/yend function五、結(jié)果及討論1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果 0. 1. 0

4、. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 六、算法評(píng)價(jià)1、本次實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法中的四階龍格庫(kù)塔法2、對(duì)歐拉法和龍格庫(kù)塔法進(jìn)行比較：在相同步長(zhǎng)的情況下，歐拉法每步只計(jì)算一個(gè)函數(shù)值，四階龍格庫(kù)塔法每步需計(jì)算四個(gè)函數(shù)值，就是說(shuō)，四階龍格庫(kù)塔法的計(jì)算量差不多是歐拉法的四倍，為了比較它們的計(jì)算精度，可以將歐拉法的步長(zhǎng)取為,將四階龍格庫(kù)塔法的步長(zhǎng)取為。這樣，如果用二種方法求解同一初值問(wèn)題，則它們的計(jì)算量相當(dāng)。在計(jì)算量相當(dāng)?shù)臈l件下，比較它們的計(jì)算結(jié)果，就能夠看出它們的精度差異。3、比較了其數(shù)值解與精確解之間的誤差?？梢园l(fā)現(xiàn)四階龍格庫(kù)塔法都非常接近精確解。附：向前歐拉法程序program xiangqianoulaimplicit nonereal,parameter:a=0,b=1integer,parameter:k=10real:h=0.1,y0=1integer:nreal:x,yy=y0open (unit=10,file='1.txt')do n=0,k-1 x=a+n*h y=y+h*(y-2*x/y)write(10,*) x+h,yend doend