龍格—庫塔實驗報告

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上龍格庫塔法解常微分方程實驗報告一、實驗題目求解初值問題二、實驗引言1、實驗目的進一步理解龍格庫塔方法的設計思路和算法流程，培養(yǎng)動手實踐能力和分析能力。2、實驗意義 龍格庫塔方法的推導基于泰勒展開方法，因而它要求的解具有較好的光滑性質(zhì)。反之，如果解得光滑性差，那么，使用四階龍格庫塔法方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而不如梯形方法。實際計算中，應當針對問題的具體特點選擇合適的算法。三、算法設計 1. 基本思想 由Lagrange微分中值定理，記，則得到這樣，給出的一種算法，就得到求解微分方程初值問題的一種計算公式。四階龍格_庫塔法是用，和的加權(quán)平均值來近似。最經(jīng)典的四階龍格

2、庫塔公式為：四階龍格庫塔法的誤差估計局部截斷誤差為。2.算法流程圖計算N=fix(b-x0)/h)n=1x0+h=>x1f(x0,y0)=>K1f(x0+h/2,y0+h/2*K1)=>K2f(x0+h/2,y0+h/2*K2)=>K3f(x0+h,y0+h*K3)=>K4y0+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4)=>y1輸出x1,y1n=n+1x1=>x0y1=>y0n=N ?結(jié)束開始讀入x0,y0,b,h 四、程序設計program longgekutaimplicit nonereal,parameter:b=1real:h=0.2i

3、nteger:nreal:x,K1,K2,K3,K4,yreal,external:fx=0y=1open (unit=10,file='1.txt')do while(x<=b)K1=f(x,y)K2=f(x+h/2,y+K1*h/2)K3=f(x+h/2,y+K2*h/2)K4=F(x+h,y+K3*h)y=y+(k1+2*K2+2*K3+K4)*h/6x=x+hwrite(10,*) x,yend doendfunction f(x,y)implicit nonereal:f,x,yf=y-2*x/yend function五、結(jié)果及討論1.實驗結(jié)果 0. 1. 0

4、. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 六、算法評價1、本次實驗實現(xiàn)了常微分方程初值問題數(shù)值解法中的四階龍格庫塔法2、對歐拉法和龍格庫塔法進行比較：在相同步長的情況下，歐拉法每步只計算一個函數(shù)值，四階龍格庫塔法每步需計算四個函數(shù)值，就是說，四階龍格庫塔法的計算量差不多是歐拉法的四倍，為了比較它們的計算精度，可以將歐拉法的步長取為,將四階龍格庫塔法的步長取為。這樣，如果用二種方法求解同一初值問題，則它們的計算量相當。在計算量相當?shù)臈l件下，比較它們的計算結(jié)果，就能夠看出它們的精度差異。3、比較了其數(shù)值解與精確解之間的誤差?？梢园l(fā)現(xiàn)四階龍格庫塔法都非常接近精確解。附：向前歐拉法程序program xiangqianoulaimplicit nonereal,parameter:a=0,b=1integer,parameter:k=10real:h=0.1,y0=1integer:nreal:x,yy=y0open (unit=10,file='1.txt')do n=0,k-1 x=a+n*h y=y+h*(y-2*x/y)write(10,*) x+h,yend doend