高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：集合與常用邏輯用語(yǔ)

1、. 海量資料 超值下載集合與常用邏輯用語(yǔ)內(nèi)容要求ABC集合集合及其表示􀳫子集􀳫交集、并集、補(bǔ)集􀳫常用邏輯用語(yǔ)命題的四種形式􀳫充分條件、必要條件、充分必要條件􀳫簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞􀳫全稱量詞與存在量詞􀳫集合、常用邏輯用語(yǔ)總的要求是A或B級(jí),因?yàn)樵谥袑W(xué)數(shù)學(xué)課程中它們的定位主要是“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”,是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和工具,高考不會(huì)在這些內(nèi)容上做太多文章,出難題.從2012年、2013年江蘇高考以及首批進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程改革的高考試卷看,對(duì)集合和常用邏輯用語(yǔ)的考查都是以容易題為主,

2、少數(shù)題屬于與其他知識(shí)點(diǎn)綜合的中檔題.1. 集合集合作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)原始概念,只要能理解集合的概念即可.重在將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí),感受用集合語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表示數(shù)學(xué)對(duì)象,為以后的學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和交流打下基礎(chǔ).因此在學(xué)習(xí)集合時(shí),要會(huì)將一些常用的數(shù)集、點(diǎn)集用集合語(yǔ)言表示,并善于將集合語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換.(1) 集合及其表示是A級(jí)要求,對(duì)集合概念的理解要求不高,主要從語(yǔ)言的角度學(xué)習(xí)集合的表示.集合有三種表示方法,一是列舉法,二是描述法,三是圖示法,學(xué)生往往對(duì)描述法不太理解,復(fù)習(xí)時(shí)要抓住描述法的關(guān)鍵對(duì)集合元素共性的刻畫(huà).例如,2010年的集合題是根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)集的交集,求集合中字母

3、表示的數(shù)的值.2011年的集合考查內(nèi)容較多,第1題是求簡(jiǎn)單數(shù)集的交集;第14題考查了兩個(gè)平面點(diǎn)集的交集非空,求集合中參數(shù)的取值范圍;在第20題中,還用到集合的符號(hào)表達(dá),強(qiáng)化了集合作為一種語(yǔ)言的功能.2012年主要在第1題對(duì)集合的并集運(yùn)算及第23題對(duì)集合的概念、組成、元素與集合的關(guān)系作了重點(diǎn)考查;2014年的第1題對(duì)集合的交集運(yùn)算作了考查.(2) 關(guān)于子集,主要應(yīng)理解這個(gè)概念的意義,并學(xué)會(huì)能判斷一個(gè)集合是否是另一集合的子集,但不要證明.要結(jié)合日常生活經(jīng)驗(yàn)、不等式(組)的解集、點(diǎn)集來(lái)理解包含關(guān)系.例如2008年廣東省高考的一道集合方面的題目,就是與生活知識(shí)密切相關(guān)的.又如不等式組的解集是不等式x|

4、x-3<0解集的子集,其中反映了邏輯上的“且”關(guān)系.2013年的第4題考查了集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題.(3) 集合間的基本運(yùn)算也是高考經(jīng)常涉及的問(wèn)題,現(xiàn)在定為B級(jí)要求.重在理解兩個(gè)集合的并集、交集和補(bǔ)集的含義,并從數(shù)學(xué)語(yǔ)言的角度分別用符號(hào)語(yǔ)言、集合語(yǔ)言和Venn圖來(lái)表示.(4) 從近年來(lái)江蘇高考試題看,集合考查的題型主要是填空題.由于集合作為語(yǔ)言的基礎(chǔ)性和工具性作用,考查的知識(shí)點(diǎn)常與方程(組)、不等式的解集、點(diǎn)集、函數(shù)的定義域等知識(shí)結(jié)合;考查的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想,例如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,求交集或并集時(shí)常要借助于數(shù)軸進(jìn)行,另外處理抽象集合的關(guān)系等問(wèn)題時(shí),常畫(huà)

5、韋恩圖.2. 常用邏輯用語(yǔ)常用邏輯用語(yǔ)的復(fù)習(xí)要注意把握好尺度與分寸,不要隨意加深和拓展,重點(diǎn)是四種命題及其它們的關(guān)系和充分條件、必要條件的判斷.對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞,不要求掌握對(duì)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定,不研究含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的命題的逆命題、否命題與逆否命題.對(duì)真值表不作要求,能對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定即可.對(duì)于充要條件這一內(nèi)容,要給予足夠的重視,不但能夠判斷具體命題的充要關(guān)系,還要會(huì)判斷抽象命題的關(guān)系,還要能夠探求和證明充要條件,這一內(nèi)容在容易題、中檔題和難題中均有可能出現(xiàn).1. 由于本章內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單,主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的運(yùn)算上,它與數(shù)學(xué)中其他知識(shí)可以進(jìn)行一些綜合,但鑒

6、于這一章的內(nèi)容在考試說(shuō)明中的能力要求最多是B級(jí),故不宜太難.復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于集合的表示方法與運(yùn)算.2. 充要條件的探求,一般是先探求必要條件,再探求充分條件;而充要條件的證明,一定要分充分性和必要性證明,注意書(shū)寫(xiě)格式要求,不能忘記下結(jié)論,一般是“兩步一結(jié)論”.3. 集合與簡(jiǎn)易邏輯結(jié)合在一起復(fù)習(xí),可以相得益彰,加深對(duì)雙方的理解.例如,簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義可以分別與集合的運(yùn)算“并”、“交”、“補(bǔ)”的意義對(duì)應(yīng)起來(lái)復(fù)習(xí),如AB=x|xA或xB;必要條件、充分條件的意義的理解,可以結(jié)合集合之間的包含關(guān)系理解,如當(dāng)AB時(shí),則xA是xB的充分條件.第1課時(shí)集合的概念及運(yùn)算內(nèi)容要求

7、ABC集合及其表示􀳫子集􀳫交集、并集、補(bǔ)集􀳫1. 理解集合語(yǔ)言的作用,掌握集合的表示方法:列舉法、描述法和圖示法(韋恩圖).理解集合的包含和相等關(guān)系(不要求證明包含和相等關(guān)系).2. 理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.理解給定集合的一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.會(huì)用韋恩圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算.3. 在近幾年的江蘇高考中,集合主要以小題形式考查,涉及集合的表示方法、集合之間的關(guān)系和運(yùn)算,常與其他知識(shí)交匯,如方程、不等式、函數(shù)等,要學(xué)會(huì)不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.對(duì)于兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集、并集,以及求一個(gè)集合的

8、子集的補(bǔ)集要適當(dāng)控制難度.1. 一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合,集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素,簡(jiǎn)稱元.2. 集合的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性.3. 集合的表示方法有列舉法、描述法、圖示法.4. 如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素(若aA,則aB),那么稱集合A為集合B的子集,記為AB或BA,讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.5. 如果AB,并且AB,這時(shí)集合A稱為集合B的真子集,記為AB或BA,讀作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”.6. 一個(gè)集合有n個(gè)元素,則它的子集的個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n-1,非空真子集的個(gè)

9、數(shù)為2n-2.7. 交集:由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合,叫做集合A與B的交集,記作AB,即AB=x|xA,且xB.8. 并集:由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合,叫做集合A與B的并集,記作AB,即AB=x|xA,或xB.9. 補(bǔ)集:設(shè)AS,由S中不屬于A所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集,記作SA,即SA=x|xS,且xA.10. ABA(B), AB=BA, AA=A, A=.11. A (B)AB, AB=BA, AA=A, A=A.12. S (SA)=A, SS=, S=S, ASA=, ASA=S.13. A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(

10、AB)(AC); S(AB)=SASB, S(AB)=SASB.14. AB=AABAB=B.15. 記有限集合A, B, C中的元素個(gè)數(shù)分別為card (A), card (B), card (C),則有:(1) card (AB)=card (A)+card (B)-card (AB); (2) card (ABC)=card (A)+card (B)+card (C)-card(AB)-card (AC)-card (BC)+card (ABC). 1. 已知集合A=1, 2, 4, B=2, 4, 6,則AB=1, 2, 4, 6. 2. 集合A=3, l

11、og2a, B=a, b,若AB=2,則AB=2, 3, 4. 3. 若全集U=R,集合M=x|-2x2, N=x|x2-3x0,則M(UN)=x|-2x<0.4. 設(shè)集合A=1, 2,則滿足AB=1, 2, 3的集合B的個(gè)數(shù)是4.5. 設(shè)M, N是兩個(gè)非空集合,定義M與N的差集為M-N=x|xM,且xN,則M-(M-N)=MN.1. 集合的概念集合是由元素構(gòu)成的,集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.當(dāng)集合的元素滿足一定的條件時(shí),就可以用描述法表示.要研究集合中元素的情況,就需要注意條件的意義和實(shí)質(zhì),或必要時(shí)對(duì)條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi).例1已知集合A=a+2, (a+1)2, a

12、2+3a+3,若1A,求實(shí)數(shù)a的值.點(diǎn)撥集合中元素的性質(zhì)是高考考查的問(wèn)題之一,主要根據(jù)元素的互異性來(lái)確定集合,解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)問(wèn)題的切入點(diǎn),對(duì)各種情況進(jìn)行排查和驗(yàn)證,從而得出正確的結(jié)果.解若a+2=1,則a=-1,此時(shí)(a+1)2=0, a2+3a+3=1,不合題意,舍去.若(a+1)2=1,則a=0或-2.當(dāng)a=0時(shí),a+2=2, a2+3a+3=3,符合題意;當(dāng)a=-2時(shí),a+2=0, a2+3a+3=1,不合題意,舍去.若a2+3a+3=1,則a=-1或a=-2,舍去.綜上,a=0.反思解答一個(gè)與元素有關(guān)的命題,必須先弄清楚研究的是什么樣的集合,它是用什么方法表示的,是列舉法,還

13、是描述法;其次要準(zhǔn)確把握集合中元素的屬性,是數(shù)集還是點(diǎn)集等;要與常見(jiàn)的用集合描述的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái),如函數(shù)的定義域、值域,不等式的解集等.拓展設(shè)集合A=(x, y)|(x-a)2+(y-a)2<5, aZ,若(1, 2)A,求a的值.略解因?yàn)?1, 2)A,所以(1-a)2+(2-a)2<5,解得0<a<3.又因?yàn)閍Z,故a=1或2.2. 集合的運(yùn)算例2已知集合A=x|x2+x-20, B=, C=x|ax2+2x+c<0.若集合A, B, C滿足(AB)C=, (AB)C=R,求a, c.點(diǎn)撥由(AB)C=及(AB)C=R可得C=R(AB),求出AB,即可求出C

14、,再由C求出a, c.解根據(jù)題意,得A=x|-2x1, B=x|1<x3,故AB=x|-2x3.由(AB)C=, (AB)C=R,而全集為R,故C=R(AB),所以C=x|x<-2或x>3.又因?yàn)镃=x|ax2+2x+c<0,所以a<0,且-2和3是方程ax2+2x+c=0的兩根.由韋達(dá)定理,得解得反思這是一道由集合的運(yùn)算與解不等式相結(jié)合的綜合題.主要考查集合的概念及運(yùn)算和解不等式的基本方法.例3已知集合A=(x, y)|x2+mx-y+2=0, B=(x, y)|x-y+1=0, 0x2.如果AB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.點(diǎn)撥本題的實(shí)際背景是“拋物線x2+mx-y+

15、2=0與線段x-y+1=0(0x2)有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍”.能夠?qū)?shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言互譯,是考生必須具備的一種數(shù)學(xué)素質(zhì).解由得x2+(m-1)x+1=0. AB, 方程在區(qū)間0, 2上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.首先,由=(m-1)2-40,得m3或m-1.當(dāng)m3時(shí),由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程只有負(fù)根,不符合要求;當(dāng)m-1時(shí),由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程有兩個(gè)互為倒數(shù)的正根,故必有一根在區(qū)間(0, 1內(nèi),從而方程至少有一個(gè)根在區(qū)間0, 2內(nèi).綜上所述,m的取值范圍是(-, -1.反思上述解法應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想.如果注意到拋

16、物線x2+mx-y+2=0與線段x-y+1=0(0x2)的公共點(diǎn)在線段上,本題也可以利用公共點(diǎn)內(nèi)分線段的比的取值范圍建立關(guān)于m的不等式來(lái)解.3. 關(guān)于有限集合的交集、并集的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題例4求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù),又不是3的倍數(shù),也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)?點(diǎn)撥若設(shè)集合A=1到200的2的倍數(shù),B=1到200的3的倍數(shù),C=1到200的5的倍數(shù),本題實(shí)際上是求ABC的補(bǔ)集的元素個(gè)數(shù).(例4)解如圖,先畫(huà)出Venn圖,不難看出不符合條件的數(shù)共有(200÷2)+200÷3+(200÷5)-(200÷10)-200÷6-200&

17、#247;15+200÷30=146, x為不大于x的最大整數(shù),所以符合條件的數(shù)共有200-146=54(個(gè)).反思分析200個(gè)數(shù)分為兩類(lèi),即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類(lèi),而不滿足條件的這一類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確而簡(jiǎn)單,因此可考慮用排除法.1. 在研究集合的交、并、補(bǔ)集時(shí),要注意數(shù)軸和韋恩圖的運(yùn)用.2. 在處理含參數(shù)的集合的交、并、補(bǔ)集時(shí),要特別關(guān)注端點(diǎn)的問(wèn)題.3. 要善于將集合語(yǔ)言與其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言的互譯.1. (根據(jù)必修1P7練習(xí)第4題改編)集合A=(x, y)|0x2, -1y1, x, yR所表示的點(diǎn)集構(gòu)成圖形的面積為4.2. (根據(jù)必修1P13練習(xí)第4題改編)若集合A=(x, y

18、)|x+y=0, B=(x, y)|x-y=2,則AB=(1, -1). 3. (根據(jù)必修1P13練習(xí)第1題改編)設(shè)集合A=5, log2(a+3),集合B=a, b.若AB=2,則AB=1, 2, 5. 4. (根據(jù)必修1P17復(fù)習(xí)題第6題改編)設(shè)集合A=x|1<x<2, B=x|x>a.若AB=B,則a的取值范圍是(-, 1. 5. (根據(jù)必修1P17復(fù)習(xí)題第6題改編)設(shè)集合A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1) 若AB=2,求實(shí)數(shù)a的值;(2) 若AB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(答案:(1)-1

19、或3; (2)(-, -3)第2課時(shí)命題內(nèi)容要求ABC命題的四種形式􀳫簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞􀳫全稱量詞與存在量詞􀳫1. 命題及其關(guān)系了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義;會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.重點(diǎn)關(guān)注四種命題的相互關(guān)系.不需研究含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的命題的逆命題、否命題與逆否命題.2. 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義;能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容(對(duì)真值表不作要求).對(duì)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定不作要求.3. 全稱量詞與存在量詞理解全稱量詞與存在量詞的意義;能用全稱量詞與存在量詞敘述簡(jiǎn)單的數(shù)

20、學(xué)內(nèi)容.理解對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義,能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.1. 能夠判斷真假的語(yǔ)句叫命題.2. 一般地,設(shè)“若p則q”為命題,那么“若q則p”就叫做原命題的逆命題;“若非p則非q”就叫做原命題的否命題;“若非q則非p”就叫做原命題的逆否命題.原命題與逆命題、否命題與逆否命題互為逆命題;原命題與否命題、逆命題與逆否命題互為否命題;原命題與逆否命題、逆命題與否命題互為逆否命題.3. “或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.4. “所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞,通常用符號(hào)“x”表示“對(duì)任意x”.含有全稱量詞的命題稱全稱命題,其一般形式為

21、xM, p(x),其中M為給定集合,p(x)是一個(gè)關(guān)于x的命題. “有一個(gè)”、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞,通常用符號(hào)“x”表示“存在x”.含有存在量詞的命題稱為存在性命題,其一般形式為xM, p(x),其中M為給定集合,p(x)是一個(gè)關(guān)于x的命題. 5. 含有一個(gè)量詞的命題的否定:“xM, p(x)”的否定為xM, p(x).“ xM, p(x)”的否定為xM,p(x).1. “xR, x2+1<0”的否定是xR, x2+10. 2. 命題“若a>-3,則a>-6”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中假命

22、題的個(gè)數(shù)是2.3. 已知命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立;命題q:y=log(2-a)x在(0, +)上單調(diào)遞減.若p且非q為真,則a的取值范圍是(-2, 1). 4. 已知f(x)=x2, g(x)=-m,x1-1, 3, x20, 2, 使f(x1)g(x2),則m的取值范圍是.1. 判斷語(yǔ)句是否是命題及命題的真假例1判斷下列語(yǔ)句是否是命題.若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;若是,請(qǐng)判斷命題的真假.(1)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù);(2)奇數(shù)的平方仍是奇數(shù);(3)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù);(4)6x+3>8;(5)若x+y和xy都是有理數(shù),則x,y都是有理數(shù);(6)設(shè)A

23、, B為兩個(gè)集合,若AB=B,則AB.點(diǎn)撥能夠判斷真假的語(yǔ)句就是命題,否則不是命題.解(1) 是命題,但是假命題,當(dāng)x=0時(shí),它的平方不是正數(shù);(2) 是命題,為真命題,設(shè)x=2k+1(kZ),則x2=4k2+4k+1=4(k2+k)+1也是奇數(shù);(3) 是命題,但是假命題,因?yàn)?也是質(zhì)數(shù);(4) 不是命題,這種含有未知數(shù)的語(yǔ)句,其真假與未知數(shù)的取值有關(guān),當(dāng)x的取值不定時(shí),其真假也不定;(5) 是命題,但是假命題,如x=1-,y=1+,x+y=2,xy=-1;(6) 是命題,但是假命題,應(yīng)為BA.反思判定一個(gè)語(yǔ)句是不是命題,關(guān)鍵是能否判斷其真假;在說(shuō)明一個(gè)命題是假命題時(shí),能舉出反例即可.2.

24、四種命題及其關(guān)系例2判斷下列命題的真假:(1) 命題“若ax>b,則x>”;(2) 命題“若b=-2,則b2=4”的逆命題;(3) 命題“若x=3,則x2-2x-3=0”的否命題;(4) 命題“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”的逆否命題.點(diǎn)撥先寫(xiě)出相應(yīng)的命題,再判斷真假;或者利用等價(jià)命題的原理和規(guī)律判斷真假.解(1) 若a<0,則x<,所以命題是假命題.(2) 逆命題:若b2=4,則b=-2.命題是假命題.(3) 否命題:若x3,則x2-2x-30.當(dāng)x=-1時(shí),x2-2x-3=(-1)2-2(-1)-3=0,所以命題是假命題.(4) 原命題與逆否命題為等價(jià)命題,原命題為真命題

25、,所以其逆否命題也為真命題.反思解答命題問(wèn)題時(shí),注意四種命題的轉(zhuǎn)換.判斷真假時(shí),注意利用等價(jià)命題的原理和規(guī)律.改動(dòng)含有大前提的命題時(shí),大前提不能動(dòng).3. 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題例3指出下列復(fù)合命題的形式及其構(gòu)成:(1) 若是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,則不大于60°(2) 一個(gè)內(nèi)角為90°,另一個(gè)內(nèi)角為45°的三角形是等腰直角三角形;(3) 有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形是正三角形或直角三角形.點(diǎn)撥根據(jù)題目陳述的方式,可判斷是“p且q”、“p或q”和“非p”形式,并寫(xiě)出各自的命題.解(1) 是“非p”形式的復(fù)合命題,其中p:若是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,則>60&

26、#176;.(2) 是“p且q”形式的復(fù)合命題,其中p:一個(gè)內(nèi)角為90°,另一個(gè)內(nèi)角為45°的三角形是等腰三角形,q:一個(gè)內(nèi)角為90°,另一個(gè)內(nèi)角為45°的三角形是直角三角形.(3) 是“p或q”形式的復(fù)合命題,其中p:有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形是正三角形,q:有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形是直角三角形.提醒對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞的問(wèn)題,只要求根據(jù)兩個(gè)命題會(huì)寫(xiě)出“p且q”、“p或q”和“非p”形式的命題即可,或是根據(jù)命題能分析其構(gòu)成即可(如本例),對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的判斷不要求掌握.4. 含有量詞的命題的否定例4(1) 命題“xR,

27、x2+ax+1<0”為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2) 命題“xR, x2+ax+1<0”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)撥研究命題的否定,從集合的角度來(lái)看,相當(dāng)于研究集合的補(bǔ)集;從事件的關(guān)系來(lái)看,相當(dāng)于研究對(duì)立事件.解(1) 由題意可知=a2-4>0,即a(-, -2)(2, +),所以a的取值范圍為(-, -2)(2, +);(2) 由題意可知命題“xR, x2+ax+10”為真命題,所以=a2-40,即a-2, 2.反思構(gòu)造命題的否定形式時(shí),一是分清命題的否定與否命題的區(qū)別,二是掌握一些常用詞語(yǔ)的否定形式,如:都是不都是,至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有,至多有一個(gè)至少有兩個(gè);常

28、見(jiàn)命題的否定形式,如:xM, p(x)xM,p(x);p或qp且q.5. 用命題的真假求參數(shù)的取值范圍例5已知命題p:關(guān)于x的方程x2-ax+4=0有實(shí)根;命題q:關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在3, +)上是單調(diào)增函數(shù).若p或q是真命題,p且q是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 點(diǎn)撥解決此類(lèi)問(wèn)題的思路如下:先化簡(jiǎn)整理題設(shè)條件中所給的簡(jiǎn)單命題,然后依據(jù)復(fù)合命題的真假去判斷簡(jiǎn)單命題必須滿足的條件.解命題p等價(jià)于=a2-160, a-4或a4.命題q等價(jià)于- 3, a-12. p或q是真命題,p且q是假命題, 命題p和q一真一假, 實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-4, 4)(-, -12).反思分

29、別求出p, q為真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍,是正確解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.1. 命題的否定是命題的“非命題”,一般是“否定全稱得特稱,否定特稱得全稱,否定肯定得否定,否定否定得肯定”,但否命題是既否定原命題的條件作為條件,又否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論的命題.2. 判斷一個(gè)命題為真,一般要給出嚴(yán)格的證明,而說(shuō)明一個(gè)命題為假,則只需舉出反例即可,這一方法在下一講有關(guān)充要條件的判斷中也常常用到.1. (根據(jù)選修1-1P6例1改編)在命題“若a>b,則ac2>bc2 (a, bR)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)為2.提示若a>b, c2=0,則ac2=bc2. 原命題為假命題.

30、若ac2>bc2,則c20且c2>0,則a>b.逆命題為真命題.又逆命題與否命題等價(jià),否命題也為真命題.又逆否命題與原命題等價(jià),逆否命題為假命題.2. (根據(jù)選修1-1P19復(fù)習(xí)題第5題改編)命題“若ab=0,則a, b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題是若a, b都不為零,則ab0. 3. (根據(jù)選修1-1P19復(fù)習(xí)題第8題改編)分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假.(1) 當(dāng)c<0時(shí),若ac>bc,則a<b;(2) 若ab=0,則a=0或b=0.解(1) 逆命題:當(dāng)c<0時(shí),若a<b,則ac>bc;真命題.否

31、命題:當(dāng)c<0時(shí),若acbc,則ab;真命題.逆否命題:當(dāng)c<0時(shí),若ab,則acbc;真命題.(2) 逆命題:若a=0或b=0,則ab=0;真命題.否命題:若ab0,則a0且b0;真命題.逆否命題:若a0且b0,則ab0;真命題.4. (根據(jù)選修1-1 P15例1改編)寫(xiě)出下列命題的否定:(1) 所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù);(2) 存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù).解(1) 存在能被2整除的整數(shù)不都是偶數(shù);(2) 任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方都是無(wú)理數(shù).第3課時(shí)充要條件內(nèi)容要求ABC充分條件、必要條件、充分必要條件􀳫1. 本節(jié)內(nèi)容充要條件高考作為B級(jí)要求,在江蘇高

32、考中幾乎是每年必考.考查的形式可能是填空題,也可能是解答題,2008年江蘇高考在大題中出現(xiàn),要求考生求充要條件.2. 充要條件這一內(nèi)容可能出現(xiàn)的形式主要有:(1)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系,或選填使得一個(gè)結(jié)論成立的充分條件,或選填使得一個(gè)結(jié)論成立的必要條件等;(2)在大題中求一個(gè)命題成立的充要條件;(3)已知兩個(gè)命題的充要關(guān)系,求變量的范圍;(4)證明兩個(gè)命題之間的充要關(guān)系.總之,充要條件主要作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的呈現(xiàn)方式,來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和表達(dá)能力.1. 如果“若p則q”成立,那么p是q的充分條件.2. 如果“若q則p”成立,那么p是q的必要條件.3. 如果“若p則q”,且“若q則p”成立,

33、那么p是q的充要條件.1. 已知M=1, 2, N=a2,則“a=1”是“NM”的充分不必要條件.2. “a=2”是“(a-1)·(a-2)=0”的充分不必要條件.3. 設(shè)an是等比數(shù)列,則“a1<a2<a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的充要條件.4. 條件p:|x-2|1;條件q:x2-5x+6<0,則p是q的必要不充分條件.1. 充分條件、必要條件的判定例1用“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”填空:(1) 是的; (2) “=”是“tan=tan”的; (3) “a<0”是“方程ax2+2x+1

34、=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根”的; (4) “a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的; (5) 設(shè)M, N是兩個(gè)集合,則“MN”是“MN”的; (6) “x+y5”是“x2或y3”的. 點(diǎn)撥判定p是q的什么條件,實(shí)際上就是判斷“若p則q”和它的逆命題“若q則p”的真假.若原命題為真而逆命題為假,則p為q的充分不必要條件;原命題為假,逆命題為真,則p為q的必要不充分條件;若原命題為真,逆命題也為真,則p為q的充要條件;若原命題和逆命題均為假,則p既不是q的充分條件,也不是p的必要條件.解(1) 因?yàn)閤>2, y>2,根據(jù)不等式的性質(zhì)易

35、得x+y>4, xy>4,但反過(guò)來(lái),不一定成立,如x=, y=24.(2) 當(dāng)=時(shí),tan, tan均不存在,則=不是tan=tan的充分條件;反過(guò)來(lái),當(dāng)tan=tan時(shí),=k+ (kZ),所以=又不是tan=tan的必要條件.(3) 當(dāng)=22-4a0,即a1時(shí),方程有根;a<0時(shí),x1x2=<0,方程有負(fù)根;又a=1時(shí),方程根為x=-1,所以填“充分不必要條件”.(4) 若x+y=0與x-ay=0互相垂直,則x-ay=0的斜率必定為1,即a=1,反之亦然.(5) 必要條件很容易驗(yàn)證,MN,顯然M, N均不為空集,則MN.設(shè)M=1, N=2, MN,但MN=,所以“MN”不是“MN”的充分條件.(6) 從題設(shè)條件直接判斷有一定的困難,故可以先判斷其逆否命題,即“x=2且y=3”是“x+y=5”的什么條件?易判斷是充分不必要條件,所以,“x+y5”是“x2或y3”的充分不必要條件.提醒(1)在判斷時(shí)注意反例的應(yīng)用;(2)在判斷“若p則q”是否正確有一定的困難時(shí),則可以先判斷它的逆否命題“若非q則非p”是否正確,因原命題與它的逆否命題具有相同的真假性,從而可以對(duì)原命題作出判斷(如(6).2. 充要條件的證明與探求例2設(shè)nN*,求證:一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=3或4.證明充