高考數(shù)學復習指導：集合與常用邏輯用語

1、. 海量資料 超值下載集合與常用邏輯用語內(nèi)容要求ABC集合集合及其表示􀳫子集􀳫交集、并集、補集􀳫常用邏輯用語命題的四種形式􀳫充分條件、必要條件、充分必要條件􀳫簡單的邏輯聯(lián)結詞􀳫全稱量詞與存在量詞􀳫集合、常用邏輯用語總的要求是A或B級,因為在中學數(shù)學課程中它們的定位主要是“數(shù)學語言”,是整個高中數(shù)學的基礎知識和工具,高考不會在這些內(nèi)容上做太多文章,出難題.從2012年、2013年江蘇高考以及首批進入高中數(shù)學課程改革的高考試卷看,對集合和常用邏輯用語的考查都是以容易題為主,

2、少數(shù)題屬于與其他知識點綜合的中檔題.1. 集合集合作為數(shù)學中的一個原始概念,只要能理解集合的概念即可.重在將集合作為一種語言來學習,感受用集合語言簡潔、準確地表示數(shù)學對象,為以后的學習和運用數(shù)學語言表達和交流打下基礎.因此在學習集合時,要會將一些常用的數(shù)集、點集用集合語言表示,并善于將集合語言、符號語言和圖形語言相互轉換.(1) 集合及其表示是A級要求,對集合概念的理解要求不高,主要從語言的角度學習集合的表示.集合有三種表示方法,一是列舉法,二是描述法,三是圖示法,學生往往對描述法不太理解,復習時要抓住描述法的關鍵對集合元素共性的刻畫.例如,2010年的集合題是根據(jù)簡單數(shù)集的交集,求集合中字母

3、表示的數(shù)的值.2011年的集合考查內(nèi)容較多,第1題是求簡單數(shù)集的交集;第14題考查了兩個平面點集的交集非空,求集合中參數(shù)的取值范圍;在第20題中,還用到集合的符號表達,強化了集合作為一種語言的功能.2012年主要在第1題對集合的并集運算及第23題對集合的概念、組成、元素與集合的關系作了重點考查;2014年的第1題對集合的交集運算作了考查.(2) 關于子集,主要應理解這個概念的意義,并學會能判斷一個集合是否是另一集合的子集,但不要證明.要結合日常生活經(jīng)驗、不等式(組)的解集、點集來理解包含關系.例如2008年廣東省高考的一道集合方面的題目,就是與生活知識密切相關的.又如不等式組的解集是不等式x|

4、x-3<0解集的子集,其中反映了邏輯上的“且”關系.2013年的第4題考查了集合的子集個數(shù)問題.(3) 集合間的基本運算也是高考經(jīng)常涉及的問題,現(xiàn)在定為B級要求.重在理解兩個集合的并集、交集和補集的含義,并從數(shù)學語言的角度分別用符號語言、集合語言和Venn圖來表示.(4) 從近年來江蘇高考試題看,集合考查的題型主要是填空題.由于集合作為語言的基礎性和工具性作用,考查的知識點常與方程(組)、不等式的解集、點集、函數(shù)的定義域等知識結合;考查的數(shù)學思想主要有數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想,例如運用數(shù)形結合的思想,求交集或并集時常要借助于數(shù)軸進行,另外處理抽象集合的關系等問題時,常畫

5、韋恩圖.2. 常用邏輯用語常用邏輯用語的復習要注意把握好尺度與分寸,不要隨意加深和拓展,重點是四種命題及其它們的關系和充分條件、必要條件的判斷.對于邏輯聯(lián)結詞,不要求掌握對含有邏輯聯(lián)結詞的命題的否定,不研究含有邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的命題的逆命題、否命題與逆否命題.對真值表不作要求,能對含有一個量詞的命題進行否定即可.對于充要條件這一內(nèi)容,要給予足夠的重視,不但能夠判斷具體命題的充要關系,還要會判斷抽象命題的關系,還要能夠探求和證明充要條件,這一內(nèi)容在容易題、中檔題和難題中均有可能出現(xiàn).1. 由于本章內(nèi)容相對簡單,主要體現(xiàn)在數(shù)學語言和符號的運算上,它與數(shù)學中其他知識可以進行一些綜合,但鑒

6、于這一章的內(nèi)容在考試說明中的能力要求最多是B級,故不宜太難.復習的重點和難點在于集合的表示方法與運算.2. 充要條件的探求,一般是先探求必要條件,再探求充分條件;而充要條件的證明,一定要分充分性和必要性證明,注意書寫格式要求,不能忘記下結論,一般是“兩步一結論”.3. 集合與簡易邏輯結合在一起復習,可以相得益彰,加深對雙方的理解.例如,簡單的邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義可以分別與集合的運算“并”、“交”、“補”的意義對應起來復習,如AB=x|xA或xB;必要條件、充分條件的意義的理解,可以結合集合之間的包含關系理解,如當AB時,則xA是xB的充分條件.第1課時集合的概念及運算內(nèi)容要求

7、ABC集合及其表示􀳫子集􀳫交集、并集、補集􀳫1. 理解集合語言的作用,掌握集合的表示方法:列舉法、描述法和圖示法(韋恩圖).理解集合的包含和相等關系(不要求證明包含和相等關系).2. 理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.理解給定集合的一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.會用韋恩圖表示集合的關系及運算.3. 在近幾年的江蘇高考中,集合主要以小題形式考查,涉及集合的表示方法、集合之間的關系和運算,常與其他知識交匯,如方程、不等式、函數(shù)等,要學會不同數(shù)學語言之間的轉換.對于兩個簡單集合的交集、并集,以及求一個集合的

8、子集的補集要適當控制難度.1. 一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合,集合中的每一個對象稱為該集合的元素,簡稱元.2. 集合的元素具有確定性、互異性、無序性.3. 集合的表示方法有列舉法、描述法、圖示法.4. 如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若aA,則aB),那么稱集合A為集合B的子集,記為AB或BA,讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.5. 如果AB,并且AB,這時集合A稱為集合B的真子集,記為AB或BA,讀作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”.6. 一個集合有n個元素,則它的子集的個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n-1,非空真子集的個

9、數(shù)為2n-2.7. 交集:由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合,叫做集合A與B的交集,記作AB,即AB=x|xA,且xB.8. 并集:由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構成的集合,叫做集合A與B的并集,記作AB,即AB=x|xA,或xB.9. 補集:設AS,由S中不屬于A所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集,記作SA,即SA=x|xS,且xA.10. ABA(B), AB=BA, AA=A, A=.11. A (B)AB, AB=BA, AA=A, A=A.12. S (SA)=A, SS=, S=S, ASA=, ASA=S.13. A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(

10、AB)(AC); S(AB)=SASB, S(AB)=SASB.14. AB=AABAB=B.15. 記有限集合A, B, C中的元素個數(shù)分別為card (A), card (B), card (C),則有:(1) card (AB)=card (A)+card (B)-card (AB); (2) card (ABC)=card (A)+card (B)+card (C)-card(AB)-card (AC)-card (BC)+card (ABC). 1. 已知集合A=1, 2, 4, B=2, 4, 6,則AB=1, 2, 4, 6. 2. 集合A=3, l

11、og2a, B=a, b,若AB=2,則AB=2, 3, 4. 3. 若全集U=R,集合M=x|-2x2, N=x|x2-3x0,則M(UN)=x|-2x<0.4. 設集合A=1, 2,則滿足AB=1, 2, 3的集合B的個數(shù)是4.5. 設M, N是兩個非空集合,定義M與N的差集為M-N=x|xM,且xN,則M-(M-N)=MN.1. 集合的概念集合是由元素構成的,集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.當集合的元素滿足一定的條件時,就可以用描述法表示.要研究集合中元素的情況,就需要注意條件的意義和實質(zhì),或必要時對條件進行恰當?shù)姆诸?例1已知集合A=a+2, (a+1)2, a

12、2+3a+3,若1A,求實數(shù)a的值.點撥集合中元素的性質(zhì)是高考考查的問題之一,主要根據(jù)元素的互異性來確定集合,解決此類問題關鍵在于找準問題的切入點,對各種情況進行排查和驗證,從而得出正確的結果.解若a+2=1,則a=-1,此時(a+1)2=0, a2+3a+3=1,不合題意,舍去.若(a+1)2=1,則a=0或-2.當a=0時,a+2=2, a2+3a+3=3,符合題意;當a=-2時,a+2=0, a2+3a+3=1,不合題意,舍去.若a2+3a+3=1,則a=-1或a=-2,舍去.綜上,a=0.反思解答一個與元素有關的命題,必須先弄清楚研究的是什么樣的集合,它是用什么方法表示的,是列舉法,還

13、是描述法;其次要準確把握集合中元素的屬性,是數(shù)集還是點集等;要與常見的用集合描述的相關知識聯(lián)系起來,如函數(shù)的定義域、值域,不等式的解集等.拓展設集合A=(x, y)|(x-a)2+(y-a)2<5, aZ,若(1, 2)A,求a的值.略解因為(1, 2)A,所以(1-a)2+(2-a)2<5,解得0<a<3.又因為aZ,故a=1或2.2. 集合的運算例2已知集合A=x|x2+x-20, B=, C=x|ax2+2x+c<0.若集合A, B, C滿足(AB)C=, (AB)C=R,求a, c.點撥由(AB)C=及(AB)C=R可得C=R(AB),求出AB,即可求出C

14、,再由C求出a, c.解根據(jù)題意,得A=x|-2x1, B=x|1<x3,故AB=x|-2x3.由(AB)C=, (AB)C=R,而全集為R,故C=R(AB),所以C=x|x<-2或x>3.又因為C=x|ax2+2x+c<0,所以a<0,且-2和3是方程ax2+2x+c=0的兩根.由韋達定理,得解得反思這是一道由集合的運算與解不等式相結合的綜合題.主要考查集合的概念及運算和解不等式的基本方法.例3已知集合A=(x, y)|x2+mx-y+2=0, B=(x, y)|x-y+1=0, 0x2.如果AB,求實數(shù)m的取值范圍.點撥本題的實際背景是“拋物線x2+mx-y+

15、2=0與線段x-y+1=0(0x2)有公共點,求實數(shù)m的取值范圍”.能夠將數(shù)學符號與數(shù)學語言互譯,是考生必須具備的一種數(shù)學素質(zhì).解由得x2+(m-1)x+1=0. AB, 方程在區(qū)間0, 2上至少有一個實數(shù)解.首先,由=(m-1)2-40,得m3或m-1.當m3時,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程只有負根,不符合要求;當m-1時,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程有兩個互為倒數(shù)的正根,故必有一根在區(qū)間(0, 1內(nèi),從而方程至少有一個根在區(qū)間0, 2內(nèi).綜上所述,m的取值范圍是(-, -1.反思上述解法應用了數(shù)形結合的思想.如果注意到拋

16、物線x2+mx-y+2=0與線段x-y+1=0(0x2)的公共點在線段上,本題也可以利用公共點內(nèi)分線段的比的取值范圍建立關于m的不等式來解.3. 關于有限集合的交集、并集的元素個數(shù)問題例4求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù),又不是3的倍數(shù),也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個?點撥若設集合A=1到200的2的倍數(shù),B=1到200的3的倍數(shù),C=1到200的5的倍數(shù),本題實際上是求ABC的補集的元素個數(shù).(例4)解如圖,先畫出Venn圖,不難看出不符合條件的數(shù)共有(200÷2)+200÷3+(200÷5)-(200÷10)-200÷6-200&

17、#247;15+200÷30=146, x為不大于x的最大整數(shù),所以符合條件的數(shù)共有200-146=54(個).反思分析200個數(shù)分為兩類,即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類,而不滿足條件的這一類標準明確而簡單,因此可考慮用排除法.1. 在研究集合的交、并、補集時,要注意數(shù)軸和韋恩圖的運用.2. 在處理含參數(shù)的集合的交、并、補集時,要特別關注端點的問題.3. 要善于將集合語言與其他數(shù)學語言的互譯.1. (根據(jù)必修1P7練習第4題改編)集合A=(x, y)|0x2, -1y1, x, yR所表示的點集構成圖形的面積為4.2. (根據(jù)必修1P13練習第4題改編)若集合A=(x, y

18、)|x+y=0, B=(x, y)|x-y=2,則AB=(1, -1). 3. (根據(jù)必修1P13練習第1題改編)設集合A=5, log2(a+3),集合B=a, b.若AB=2,則AB=1, 2, 5. 4. (根據(jù)必修1P17復習題第6題改編)設集合A=x|1<x<2, B=x|x>a.若AB=B,則a的取值范圍是(-, 1. 5. (根據(jù)必修1P17復習題第6題改編)設集合A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1) 若AB=2,求實數(shù)a的值;(2) 若AB=A,求實數(shù)a的取值范圍.(答案:(1)-1

19、或3; (2)(-, -3)第2課時命題內(nèi)容要求ABC命題的四種形式􀳫簡單的邏輯聯(lián)結詞􀳫全稱量詞與存在量詞􀳫1. 命題及其關系了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義;會分析四種命題的相互關系.重點關注四種命題的相互關系.不需研究含有邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的命題的逆命題、否命題與逆否命題.2. 簡單的邏輯聯(lián)結詞了解邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義;能用“或”“且”“非”表述相關的數(shù)學內(nèi)容(對真值表不作要求).對含有邏輯聯(lián)結詞的命題的否定不作要求.3. 全稱量詞與存在量詞理解全稱量詞與存在量詞的意義;能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數(shù)

20、學內(nèi)容.理解對含有一個量詞的命題的否定的意義,能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.1. 能夠判斷真假的語句叫命題.2. 一般地,設“若p則q”為命題,那么“若q則p”就叫做原命題的逆命題;“若非p則非q”就叫做原命題的否命題;“若非q則非p”就叫做原命題的逆否命題.原命題與逆命題、否命題與逆否命題互為逆命題;原命題與否命題、逆命題與逆否命題互為否命題;原命題與逆否命題、逆命題與否命題互為逆否命題.3. “或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結詞.4. “所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞,通常用符號“x”表示“對任意x”.含有全稱量詞的命題稱全稱命題,其一般形式為

21、xM, p(x),其中M為給定集合,p(x)是一個關于x的命題. “有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞,通常用符號“x”表示“存在x”.含有存在量詞的命題稱為存在性命題,其一般形式為xM, p(x),其中M為給定集合,p(x)是一個關于x的命題. 5. 含有一個量詞的命題的否定:“xM, p(x)”的否定為xM, p(x).“ xM, p(x)”的否定為xM,p(x).1. “xR, x2+1<0”的否定是xR, x2+10. 2. 命題“若a>-3,則a>-6”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中假命

22、題的個數(shù)是2.3. 已知命題p:關于x的不等式x2+2ax+4>0對任意實數(shù)x恒成立;命題q:y=log(2-a)x在(0, +)上單調(diào)遞減.若p且非q為真,則a的取值范圍是(-2, 1). 4. 已知f(x)=x2, g(x)=-m,x1-1, 3, x20, 2, 使f(x1)g(x2),則m的取值范圍是.1. 判斷語句是否是命題及命題的真假例1判斷下列語句是否是命題.若不是,請說明理由;若是,請判斷命題的真假.(1)實數(shù)的平方是正數(shù);(2)奇數(shù)的平方仍是奇數(shù);(3)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù);(4)6x+3>8;(5)若x+y和xy都是有理數(shù),則x,y都是有理數(shù);(6)設A

23、, B為兩個集合,若AB=B,則AB.點撥能夠判斷真假的語句就是命題,否則不是命題.解(1) 是命題,但是假命題,當x=0時,它的平方不是正數(shù);(2) 是命題,為真命題,設x=2k+1(kZ),則x2=4k2+4k+1=4(k2+k)+1也是奇數(shù);(3) 是命題,但是假命題,因為2也是質(zhì)數(shù);(4) 不是命題,這種含有未知數(shù)的語句,其真假與未知數(shù)的取值有關,當x的取值不定時,其真假也不定;(5) 是命題,但是假命題,如x=1-,y=1+,x+y=2,xy=-1;(6) 是命題,但是假命題,應為BA.反思判定一個語句是不是命題,關鍵是能否判斷其真假;在說明一個命題是假命題時,能舉出反例即可.2.

24、四種命題及其關系例2判斷下列命題的真假:(1) 命題“若ax>b,則x>”;(2) 命題“若b=-2,則b2=4”的逆命題;(3) 命題“若x=3,則x2-2x-3=0”的否命題;(4) 命題“全等三角形的對應邊相等”的逆否命題.點撥先寫出相應的命題,再判斷真假;或者利用等價命題的原理和規(guī)律判斷真假.解(1) 若a<0,則x<,所以命題是假命題.(2) 逆命題:若b2=4,則b=-2.命題是假命題.(3) 否命題:若x3,則x2-2x-30.當x=-1時,x2-2x-3=(-1)2-2(-1)-3=0,所以命題是假命題.(4) 原命題與逆否命題為等價命題,原命題為真命題

25、,所以其逆否命題也為真命題.反思解答命題問題時,注意四種命題的轉換.判斷真假時,注意利用等價命題的原理和規(guī)律.改動含有大前提的命題時,大前提不能動.3. 含有邏輯聯(lián)結詞的命題例3指出下列復合命題的形式及其構成:(1) 若是一個三角形的最小內(nèi)角,則不大于60°(2) 一個內(nèi)角為90°,另一個內(nèi)角為45°的三角形是等腰直角三角形;(3) 有一個內(nèi)角為60°的三角形是正三角形或直角三角形.點撥根據(jù)題目陳述的方式,可判斷是“p且q”、“p或q”和“非p”形式,并寫出各自的命題.解(1) 是“非p”形式的復合命題,其中p:若是一個三角形的最小內(nèi)角,則>60&

26、#176;.(2) 是“p且q”形式的復合命題,其中p:一個內(nèi)角為90°,另一個內(nèi)角為45°的三角形是等腰三角形,q:一個內(nèi)角為90°,另一個內(nèi)角為45°的三角形是直角三角形.(3) 是“p或q”形式的復合命題,其中p:有一個內(nèi)角為60°的三角形是正三角形,q:有一個內(nèi)角為60°的三角形是直角三角形.提醒對于邏輯聯(lián)結詞的問題,只要求根據(jù)兩個命題會寫出“p且q”、“p或q”和“非p”形式的命題即可,或是根據(jù)命題能分析其構成即可(如本例),對于含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假的判斷不要求掌握.4. 含有量詞的命題的否定例4(1) 命題“xR,

27、x2+ax+1<0”為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;(2) 命題“xR, x2+ax+1<0”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.點撥研究命題的否定,從集合的角度來看,相當于研究集合的補集;從事件的關系來看,相當于研究對立事件.解(1) 由題意可知=a2-4>0,即a(-, -2)(2, +),所以a的取值范圍為(-, -2)(2, +);(2) 由題意可知命題“xR, x2+ax+10”為真命題,所以=a2-40,即a-2, 2.反思構造命題的否定形式時,一是分清命題的否定與否命題的區(qū)別,二是掌握一些常用詞語的否定形式,如:都是不都是,至少有一個一個也沒有,至多有一個至少有兩個;常

28、見命題的否定形式,如:xM, p(x)xM,p(x);p或qp且q.5. 用命題的真假求參數(shù)的取值范圍例5已知命題p:關于x的方程x2-ax+4=0有實根;命題q:關于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在3, +)上是單調(diào)增函數(shù).若p或q是真命題,p且q是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是. 點撥解決此類問題的思路如下:先化簡整理題設條件中所給的簡單命題,然后依據(jù)復合命題的真假去判斷簡單命題必須滿足的條件.解命題p等價于=a2-160, a-4或a4.命題q等價于- 3, a-12. p或q是真命題,p且q是假命題, 命題p和q一真一假, 實數(shù)a的取值范圍為(-4, 4)(-, -12).反思分

29、別求出p, q為真命題時參數(shù)的取值范圍,是正確解題的基礎和關鍵.1. 命題的否定是命題的“非命題”,一般是“否定全稱得特稱,否定特稱得全稱,否定肯定得否定,否定否定得肯定”,但否命題是既否定原命題的條件作為條件,又否定原命題的結論作為結論的命題.2. 判斷一個命題為真,一般要給出嚴格的證明,而說明一個命題為假,則只需舉出反例即可,這一方法在下一講有關充要條件的判斷中也常常用到.1. (根據(jù)選修1-1P6例1改編)在命題“若a>b,則ac2>bc2 (a, bR)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為2.提示若a>b, c2=0,則ac2=bc2. 原命題為假命題.

30、若ac2>bc2,則c20且c2>0,則a>b.逆命題為真命題.又逆命題與否命題等價,否命題也為真命題.又逆否命題與原命題等價,逆否命題為假命題.2. (根據(jù)選修1-1P19復習題第5題改編)命題“若ab=0,則a, b中至少有一個為零”的逆否命題是若a, b都不為零,則ab0. 3. (根據(jù)選修1-1P19復習題第8題改編)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假.(1) 當c<0時,若ac>bc,則a<b;(2) 若ab=0,則a=0或b=0.解(1) 逆命題:當c<0時,若a<b,則ac>bc;真命題.否

31、命題:當c<0時,若acbc,則ab;真命題.逆否命題:當c<0時,若ab,則acbc;真命題.(2) 逆命題:若a=0或b=0,則ab=0;真命題.否命題:若ab0,則a0且b0;真命題.逆否命題:若a0且b0,則ab0;真命題.4. (根據(jù)選修1-1 P15例1改編)寫出下列命題的否定:(1) 所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù);(2) 存在一個無理數(shù),它的平方是有理數(shù).解(1) 存在能被2整除的整數(shù)不都是偶數(shù);(2) 任意一個無理數(shù),它的平方都是無理數(shù).第3課時充要條件內(nèi)容要求ABC充分條件、必要條件、充分必要條件􀳫1. 本節(jié)內(nèi)容充要條件高考作為B級要求,在江蘇高

32、考中幾乎是每年必考.考查的形式可能是填空題,也可能是解答題,2008年江蘇高考在大題中出現(xiàn),要求考生求充要條件.2. 充要條件這一內(nèi)容可能出現(xiàn)的形式主要有:(1)判斷兩個命題的充要關系,或選填使得一個結論成立的充分條件,或選填使得一個結論成立的必要條件等;(2)在大題中求一個命題成立的充要條件;(3)已知兩個命題的充要關系,求變量的范圍;(4)證明兩個命題之間的充要關系.總之,充要條件主要作為一種數(shù)學語言的呈現(xiàn)方式,來考查學生的數(shù)學思維能力和表達能力.1. 如果“若p則q”成立,那么p是q的充分條件.2. 如果“若q則p”成立,那么p是q的必要條件.3. 如果“若p則q”,且“若q則p”成立,

33、那么p是q的充要條件.1. 已知M=1, 2, N=a2,則“a=1”是“NM”的充分不必要條件.2. “a=2”是“(a-1)·(a-2)=0”的充分不必要條件.3. 設an是等比數(shù)列,則“a1<a2<a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的充要條件.4. 條件p:|x-2|1;條件q:x2-5x+6<0,則p是q的必要不充分條件.1. 充分條件、必要條件的判定例1用“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”填空:(1) 是的; (2) “=”是“tan=tan”的; (3) “a<0”是“方程ax2+2x+1

34、=0至少有一個負數(shù)根”的; (4) “a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的; (5) 設M, N是兩個集合,則“MN”是“MN”的; (6) “x+y5”是“x2或y3”的. 點撥判定p是q的什么條件,實際上就是判斷“若p則q”和它的逆命題“若q則p”的真假.若原命題為真而逆命題為假,則p為q的充分不必要條件;原命題為假,逆命題為真,則p為q的必要不充分條件;若原命題為真,逆命題也為真,則p為q的充要條件;若原命題和逆命題均為假,則p既不是q的充分條件,也不是p的必要條件.解(1) 因為x>2, y>2,根據(jù)不等式的性質(zhì)易

35、得x+y>4, xy>4,但反過來,不一定成立,如x=, y=24.(2) 當=時,tan, tan均不存在,則=不是tan=tan的充分條件;反過來,當tan=tan時,=k+ (kZ),所以=又不是tan=tan的必要條件.(3) 當=22-4a0,即a1時,方程有根;a<0時,x1x2=<0,方程有負根;又a=1時,方程根為x=-1,所以填“充分不必要條件”.(4) 若x+y=0與x-ay=0互相垂直,則x-ay=0的斜率必定為1,即a=1,反之亦然.(5) 必要條件很容易驗證,MN,顯然M, N均不為空集,則MN.設M=1, N=2, MN,但MN=,所以“MN”不是“MN”的充分條件.(6) 從題設條件直接判斷有一定的困難,故可以先判斷其逆否命題,即“x=2且y=3”是“x+y=5”的什么條件?易判斷是充分不必要條件,所以,“x+y5”是“x2或y3”的充分不必要條件.提醒(1)在判斷時注意反例的應用;(2)在判斷“若p則q”是否正確有一定的困難時,則可以先判斷它的逆否命題“若非q則非p”是否正確,因原命題與它的逆否命題具有相同的真假性,從而可以對原命題作出判斷(如(6).2. 充要條件的證明與探求例2設nN*,求證:一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=3或4.證明充