【解析】山西省太原市2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期階段性測(cè)評(píng)(期中)數(shù)學(xué)理試題Word版含解析

1、20172018 學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)階段性測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷(理科)第 I 卷(共 60 分)一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的1.復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為()A. -I B.C. D. -1【答案】D【解析】分析：一般利用復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的幾何意義(復(fù)數(shù) x+yi (x,yR)在復(fù)平面內(nèi)與點(diǎn)(x,y )對(duì)應(yīng))解答即可.詳解：由復(fù)數(shù)的幾何意義得點(diǎn)(0,-1)表示的復(fù)數(shù)為 0+(-1) X i= -i.故選 D.(x,y )一對(duì)應(yīng).2.已知函數(shù)：“：、：人，則:*吏二()【答案】A【解析】分析：一般先求導(dǎo)，再求詳解：因?yàn)?i

2、i、:所以仁二=cos0-1=1-1=0, 故選 A.i: I、II：，有些同學(xué)容易記錯(cuò).3.下列結(jié)論正確的是(【答案】C【解析】分析：直接利用歸納推理、演繹推理、類比推理和合情推理的定義分析判斷詳解：對(duì)于 A 選項(xiàng)，由于歸納推理是從個(gè)別到一般的推理，所以A 不正確；A.歸納推理是由一般到個(gè)別的推理B.演繹推理是由特殊到一般的推理C.類比推理是由特殊到特殊的推理D.合情推理是演繹推理點(diǎn)睛：本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)x+yi (x,y R)在復(fù)平面內(nèi)與點(diǎn)A. B. -i C.D.點(diǎn)睛：注意基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),【解析】分析：一般利用三段論來(lái)分析解答.如果三段論的大前提是范圍對(duì)象 A

3、具有某性質(zhì),對(duì)于 B 選項(xiàng)，由于演繹推理是從一般到特殊的推理，所以B 不正確；對(duì)于 C 選項(xiàng)，由于類比推理是從特殊到特殊的推理，所以C 正確；對(duì)于 D 選項(xiàng)，由于合情推理是歸納推理和類比推理，所以D 不正確點(diǎn)睛：對(duì)于歸納推理、演繹推理、類比推理和合情推理的定義要理解掌握，不要死記硬背，要理解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系 4.已知&亍二/是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形， ， 三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A. 1 : B. C.D. 】-1【答案】D【解析】 分析： 利用平行四邊形的性質(zhì)得到忑=反再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即得點(diǎn)D的坐標(biāo),再寫出 點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).詳解：由題得 A（-2，1）,B（1

4、，-1）,C（2 ，2）,設(shè) D（x,y），則是=$= .：因?yàn)閿r:解之得 x=-1,y=4.所以點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（-1，4），所以點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+4i,故選 D.點(diǎn)睛：本題方法比較多，但是根據(jù). 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)，是比較簡(jiǎn)單高效的一種方法, 大家解題時(shí)，注意簡(jiǎn)潔高效.5.已知推理：“因?yàn)樗械慕饘俣寄軌驅(qū)щ?，而銅能導(dǎo)電，所以銅是金屬”.則下列結(jié)論正確的是（）A.此推理大前提錯(cuò)誤B.此推理小前提錯(cuò)誤C.此推理的推理形式錯(cuò)誤D.此推理無(wú)錯(cuò)誤【解析】分析：一般利用三段論來(lái)分析解答.如果三段論的大前提是范圍對(duì)象 A 具有某性質(zhì),【答案】C小前提應(yīng)該是 B 元素屬于范圍對(duì)象 A,結(jié)論是 B

5、具有某性質(zhì)，這個(gè)推理的形式才是正確的詳解：已知推理的大前提是：因?yàn)樗械慕饘俣寄軌驅(qū)щ?，所以推理的小前提?yīng)該是說(shuō) A 材料是金屬，結(jié)論是 A 能導(dǎo)電.但是推理的小前提是說(shuō)銅能導(dǎo)電，違背了三段論 的推理要求，所以此推理的推理形式錯(cuò)誤，故選C.點(diǎn)睛：三段論看似簡(jiǎn)單，但是遇到真正的問(wèn)題，有些同學(xué)又比較含糊如果三段論的大前提是范圍對(duì)象 A 具有某性質(zhì)，小前提應(yīng)該是 B 元素屬于范圍對(duì)象 A,結(jié)論是 B 具有 某性質(zhì)，這個(gè)推理的形式才是正確的6.用反證法證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于”時(shí)的假設(shè)為()A.三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)不大于B.三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)不大于C.三個(gè)內(nèi)角都不大于D.三個(gè)內(nèi)角都大

6、于【答案】D【解析】分析：一般利用命題的否定來(lái)解答，三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于的否定應(yīng)該是三個(gè)內(nèi)角都大于詳解：由于“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于”的否定是“三個(gè)內(nèi)角都大于60”，故選 D.點(diǎn)睛：利用反證法證明時(shí)，首先要假設(shè)原命題不成立，原命題的反面成立，所以這里涉 及到命題的否定，命題的否定就是只否定命題的結(jié)論，命題的否命題是條件和結(jié)論都同 時(shí)否定，這兩個(gè)大家要區(qū)分開來(lái) 7.復(fù)平面內(nèi)，若與復(fù)數(shù)-：+；:.:-二.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )A. - B.C. jfP D.【答案】B【解析】分析：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，就是說(shuō)復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零，虛部小于零，得到關(guān)于

7、 m 的不等式組，解不等式組即得m 的取值范圍.詳解：由題得，tJTI-2m 0解之得 0 v m 1,故選 B.點(diǎn)睛：本題解答主要是根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義來(lái)解答的，復(fù)數(shù)x+yi (x,y R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y)- 對(duì)應(yīng).8.觀察下列各式：丁 .7： ；共=*：1A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：由題意依次求出7 的乘方對(duì)應(yīng)的值，歸納出末兩位數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，再確定 72018的末兩位數(shù)._ 23456詳解：根據(jù)題意得，7 =49, 7 =343, 7 =2401, 7 =16807, 7=117649,7897 =823543, 7 =5764801, 7 =40353607 ，發(fā)現(xiàn)：

8、 74k彳的末兩位數(shù)字是 49, 741的末兩位數(shù)字是 43, 74k的末兩位數(shù)字是 01, 74k+1的末兩位數(shù)字是 07,（k=1、2、3、4、）,/ 2018=504X4+2, 72018的末兩位數(shù)字為49,故選 D.點(diǎn)睛：要解答本題，一定要多列舉找到規(guī)律，不能只寫幾個(gè)就下結(jié)論，所以本題列舉了8 個(gè)式子，這樣總結(jié)的結(jié)論才更準(zhǔn)確.9.函數(shù) ill的單調(diào)遞減區(qū)間是A. :-* B.-*和C.D.【答案】B【解析】分析：一般先求導(dǎo)得再解不等式得到它的解集，最后和定義域求交集，即可得到原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.詳解：由題得，(x-l)cx令所以 x1,因?yàn)?XM0,，則的末兩位數(shù)字為（所以 xv1，且

9、XM0,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和 ，故選 B.點(diǎn)睛：本題是一個(gè)易錯(cuò)題，容易漏掉函數(shù)的定義域，得到函數(shù)的減區(qū)間為，主要是因?yàn)闆]有考慮定義域X|x 工 0.對(duì)于函數(shù)的任何問(wèn)題，必須遵循定義域優(yōu)先的原則，否 則會(huì)出錯(cuò)10.已知函數(shù) ii ； ：,：廠-;卜在 T 處的切線平行于軸，貝則 i .1 的極大值與極小值的差為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先求導(dǎo)，再求出.-I ,再解方程:I . ,求出 a 的值，再求函數(shù)的極大值和極小值，最后求極大值和極小值的差.詳解：由題得 ii】；,所以 i I | :：. I -: - 故 a=0,所以 ii?.: /x 二!、:、.：!?. I 所以

10、函數(shù) f（x）在（1, +8）和（-rn, -1 ）上是增函數(shù)，在（-1,1 ）上是減函數(shù).的極大值與極小值的差為2+b+2-b=4,故選 C.點(diǎn)睛：求函數(shù)的極值的一般步驟是：求定義域求導(dǎo)解方程；：;：=.； 列表 下結(jié)論.11.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，由曲線；.丨，-，； - 丫和 軸所圍成的封閉圖形的面積為（）1A. h 飛 B.；I C. : i D.2【答案】A【解析】分析：先求出直線y=x 和曲線 xy=1 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用定積分求出曲線/ -，飛-1 和 軸所圍成的封閉圖形的面積.詳解：聯(lián)立 xy=1 和 y=x 得 x=1,（x=-1 舍）.由題得由曲線為:-：,：；-：，弋-

11、1 和 軸所圍成的封閉圖形的面積為.-,故選 A.點(diǎn)睛：求曲線圍成的不規(guī)則的圖形的面積，一般利用定積分來(lái)求解xdxo12已知函數(shù) ir D. | . .求出函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(sinx-cosx)a2 ?sinx cosx在0匸|恒成立，令 g (x) a2.，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)g(x)的最大值，即得實(shí)數(shù)a 的范圍.詳解：f (x)=(2a - 1) x - cos2x - a (sinx+cosx2),.：j：=2a-1+sin2x-a(cosx-sinx),若 f(x)在”遞增,則 0 在 0 廠恒成立,口門 (sinxcosx) 即 a 2-i在0廠恒成立,2J人、

12、 inx-eosxy令 g (x)=,2+ sinx-cosx(sinx i cosxXsinx cosxX4 i sinx) 則著:：.i=sinx cosx十令； -.?.!0,即(X)(X)(0)a 1,故選 D.(2亠sinx-cosx)2sinx cosx，解得:sinxvcosx，解得:在0 ,)遞減，在(4兀maFg ( 0)或 g (),27T I=1, g ()=,xv，71點(diǎn)睛：本題解答用到了分離參數(shù)的方法，把(sinx-coix)a2 + sinx-cosx在 恒成立，再求函數(shù) g o 在” 一1恒成立通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為(x) =, x的最大值.處理2 +sinx-cos

13、x參數(shù)問(wèn)題常用的有分類討論和分離參數(shù)方法，如果分離參數(shù)不便，就利用分類討論大家要注意這兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系第n卷（共 90 分）、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13._已知復(fù)數(shù)衛(wèi)滿足Q-W，則復(fù)數(shù)汕勺共軛復(fù)數(shù)為 _【答案】【解析】分析：先由題得到，再利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)得到乙最后求 z 的共軛復(fù)數(shù)詳解：由題得亡二10 I 5i.4+ 1所以 z 的共軛復(fù)數(shù)為 2-i.故填 2-i.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，解題時(shí)，不要求出z 就直接填進(jìn)去了，主要還要求 z 的共軛復(fù)數(shù).HI14.若Jexdx =一，則實(shí)數(shù) m.0【答案】【解析】 分析： 直接利

14、用微積分基本原理化簡(jiǎn)已知Ilk|，得到 m 的方程，求出 m 的值.o詳解：由題得 :所以n I/ m=2.故填 2.點(diǎn)睛：本題主要考查微積分基本原理，關(guān)鍵是找到的原函數(shù).15.“掃雷”游戲，要求游戲者找出所有的雷，游戲規(guī)則是：一個(gè)方塊下面有一個(gè)雷或沒有雷，如果無(wú)雷，掀開方塊下面就會(huì)標(biāo)有數(shù)字（如果數(shù)學(xué)是，常省略不標(biāo)），此數(shù)字表明它周圍的方塊中雷的個(gè)數(shù)（至多八個(gè)），如圖甲中的“ 表示它的周圍八個(gè)方塊中有且僅有 ：個(gè)雷. 圖乙是小明玩的游戲中的局部，根據(jù)圖乙中信息，在這七個(gè)方塊中，有雷的方塊為【答案】ADFG【解析】分析：解答時(shí)，先確定F 和 G 有雷，再確定 C,D 中必有一個(gè)有雷，這時(shí)再利用假

15、設(shè)法否定 C 有雷 D 無(wú)雷，后面再確定 A 和 B 是否有雷.詳解：第 4 行第 7 個(gè)數(shù)字 2,所以 F、G 方塊有雷第 4 行第 6 個(gè)數(shù)字 4，說(shuō)明 E 方塊沒有雷由于第 4 行第 4 個(gè)數(shù)字 3,說(shuō)明 CD 中必有一個(gè)有雷假設(shè) C 有雷，D 無(wú)雷.由 于第 6 行第 7個(gè)數(shù)字 2,所以第 7 行 6、7、8、9 都沒有雷，第 5 個(gè)有雷，但是第 6 行 第 4 個(gè)數(shù)字 2,這樣第 6 行第 4 個(gè)數(shù)字周圍就有 3 個(gè)雷，與題目矛盾，故 C 無(wú)雷，D 有 雷由于第 4 行第 3 個(gè)數(shù)字 1,所以 B五雷，由于第 4 行第 2 個(gè)數(shù)字 1,所以 A 有雷.故有雷的是AD F、G.故填 A

16、、D F、G.點(diǎn)睛：本題主要考查推理論證，在推理時(shí)主要要從簡(jiǎn)單的入手，再討論復(fù)雜的，如果不能確定可以進(jìn)行假設(shè)分析，找到矛盾和答案16.設(shè)函數(shù) Z：廣：|.，觀察下列各式：x 十戈冷* *十，、，*匚(X)=,，根據(jù)以上規(guī)律，若 鼻卜一，則整數(shù) D 的最大值為珂 2 丿 2018-【答案】xI1【解析】分析：先歸納得到fn( X) =f ( fn1(X) = &；，再求出 fn(J =|L,(2 亠 223 2-111最后解不等式，得到 n 的最大值.3,2 JJ 8詳解：由題意，所給的函數(shù)式的分子不變都是X，而分母是由兩部分的和組成，第一部分的系數(shù)分別是 1 , 3,乙 152n- 1

17、，第二部分的數(shù)分別是 2, 4, 8, 16-2I fn( X ) =f ( fn-1( X )120d3* .1n11120riiLUU1i in1(2n-l)x-2n整數(shù).的最大值為 9.故填 9.點(diǎn)睛：本題主要考查歸納推理，所以歸納出fn( X ) =f ( fn- 1( X)= 是關(guān)鍵+ 2n三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17.已知復(fù)數(shù),：，,是實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位(1) 若二+弋：，求復(fù)數(shù) ，；(2) 若 . - - ,求復(fù)數(shù) ,.【答案】 =， = ； (2) = ，十.【解析】分析：(1)把二二代入 J：0 =：,得到關(guān)于 a

18、、b 的方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念得到 關(guān)于 a、b 的方程組，解方程組即可求出復(fù)數(shù)、.(2)把二，.：代入： - .=.,得到關(guān)于 a、b的方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念得到關(guān)于a、b 的方程組，解方程組即可求出復(fù)數(shù)，.詳解：(1 ).：*： I:點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念，屬于基礎(chǔ)題.1 , 1918.已知函數(shù)(1)求 的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)丨 二時(shí)，求的值域.1 13 2n-l201s2【答案】 單調(diào)增區(qū)間為和；,單調(diào)減區(qū)間為；(2).證明：由題意得xr ：| 1，【解析】分析：（1 ）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）先寫出函數(shù)在, E | .的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

19、區(qū)間寫出函數(shù)f（x）的值域詳解： （1）由題意得 f（x）=x2-x = x（x-l，令 f&AO，貝則 乂弋 0 或 21 ；令 f&CO，貝匕）的單調(diào)增區(qū)間為（2和 Q, +呵，單調(diào)減區(qū)間為（0,1;（2）由（1）得她）在-1,01 和習(xí)上單調(diào)遞增，在（0,1上單調(diào)遞減，512二，斫二，K2） = f（x）的值域?yàn)?十,扌點(diǎn)睛： 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題2 ”219.已知點(diǎn) ， 是橢圓的左右頂點(diǎn)， 是橢圓 上異與 ，的點(diǎn),a2b2則直線 與的斜率滿足12a21 計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式;（1）類比橢圓的上述結(jié)論，寫出雙曲線-工 z

20、 g的相應(yīng)結(jié)論，并證明;證明：由題意得xr ：| 1，（2）請(qǐng)利用（1 ）的結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知點(diǎn) ，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，是4 3該雙曲線上異與， 的點(diǎn)，若直線的斜率為，求直線 的方程1 23【答案】答案見解析；（2）x y的相應(yīng)結(jié)論a2IT仙嘰二，再證明（ 2）先利用前面的結(jié)論得到弓再寫出直線的點(diǎn)斜口 _2 2式方程化簡(jiǎn)即得直線的方程詳解：（1）已知點(diǎn) ，是雙曲線丨一二:上 I:的左右頂點(diǎn)雙曲線 上異與 ，的點(diǎn)，貝 y 直線與的斜率滿足；L3a【解析】分析：（1）類比橢圓的上述結(jié)論，寫出雙曲線直線 與的斜率滿足.11 2a（2）由（1 得 i；：.,1 2 42 用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)

21、論 .【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析是雙曲線上的點(diǎn),1是雙曲線二一二的右頂點(diǎn)，,43直線 的方程為=.：.、.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理的能力和圓錐曲線的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題說(shuō)明：請(qǐng)考生在（A）,（ B）兩個(gè)小題中任選一題作答歸納法證明猜想的結(jié)論aL 1詳解：當(dāng)時(shí)，；【解析】 分析:（1）計(jì)算，、，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想.（2）用數(shù)學(xué)a2 120.已知數(shù)列 滿足；|：二，2(n-M)an+lCneN（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明H 三:j ,當(dāng)：丨時(shí)，顯然成立，假設(shè)當(dāng).時(shí)猜想成立，即1，由題意得當(dāng)時(shí)猜想也成立;由和，可知猜想成立，即點(diǎn)睛：在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一定要注意利用前面的

22、.時(shí)的假設(shè),否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法，是錯(cuò)誤的21.已知數(shù)列 的前.項(xiàng)和為，且滿足，?：:.（1）計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）計(jì)算，.，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想（ 2）用數(shù)學(xué) 歸納法證明猜想的結(jié)論詳解：（1）當(dāng) 時(shí)1當(dāng)-時(shí)，.*+工；;當(dāng)時(shí)，二 1）時(shí)的信設(shè)，否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法,是錯(cuò)誤的.（2）看到名=f（或f（aj ,要注意聯(lián)想到項(xiàng)和公式f題.說(shuō)明：請(qǐng)考生在（A） , （B）兩個(gè)小題中任選一題作答22.已知函數(shù) ire : v I： ：?：-!:. :.2（1） 討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng) 時(shí)，證

23、明： 在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì) a 分類討論，求函數(shù) 的單調(diào)性.（2）對(duì) a 分類討論，根據(jù) 函數(shù)的圖像分析每一種情況函數(shù)在 上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得 在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)詳解：（1）由題意得廠 j：】、：.：-1當(dāng) 二.；：時(shí)，令兀：,0,則；令，則， il 在-上單調(diào)遞減，在 2 十上單調(diào)遞增；2當(dāng)時(shí)，令貝則弋或”；,（i）當(dāng)時(shí)，令；汁0, 卜八或；令/;,；,則 ii.在；-li：-.?和二上單調(diào)遞增，在 1 匚上單調(diào)遞減；（ii） 當(dāng)三一時(shí)門*-I 在上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng) 時(shí)，令 i:,貝 U 或-7；令 0,則】八：IM 在和 I 加 V 上單調(diào)遞增，在；|一上單調(diào)遞減；(2)由(1)得當(dāng)時(shí)， 在 .和 0 十上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,I .1，在:：上；處取得極大值J.I?/-1.1z i! I：、，,此時(shí)在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 在上單調(diào)遞增，此時(shí)在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)： 時(shí)，1在:-；：；和 II：-上單調(diào)遞增，在：1：阮上單調(diào)遞減；在處取得極大值，/,此時(shí)在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)