2018年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型和提分秘籍專題13同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式文

1、專題 13 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式22sinasina+cosa=1,亦=tan an a,na正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式【卻點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例1、【2017北京】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角3均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于1稱若sin a = -,cos(aP)=.3【答案】-9【解析】因?yàn)楹?關(guān)干F軸對(duì)稱，所以久+存=肛+2*;兀丘已2,那么=所以8s(a目)=cos2( (z += 2sinJZ1 =已知f(x)=錯(cuò)誤！，則f錯(cuò)誤！=【答案】(1)1(2)-2(3)12能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出y軸對(duì)【變式探究】(1)計(jì)算：2sin317n?n+c

2、os12 n+tan7已知cosnn - a=I，則sin2naV=【解析】(1)原式=2sin-6n+5n +1+=2si nn+1 - tan71.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:(或cos = cosff =tan56n=2si n3G)因?yàn)槿藊)二xx inxinxsirxCO52Xcos itr= -tmo所以J(一 和二-tan2(-知二一二_誠(chéng)(-滬【提分秘籍】1誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用求值： 負(fù)化正， 大化小， 化到銳角為終了。(2)化2n的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，女口cos(5na)=cos(na)= cosa?！九e一反三】已知sinx+12=3，貝V cosx+ n I71B.【答

3、案】【解析】因?yàn)閟in所以cosX+12n=cosn -一SInX+ 石=-13。熱點(diǎn)題型同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用D.7+x+因?yàn)槟?)+(-討二-牛所以血-討二血-號(hào)517【解析】1)因?yàn)槭堑谒南笙藿?血=令，所以cgx=pl鈕址=【提分秘籍】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法22sina利用Sina+COSa=1可實(shí)現(xiàn)a的正弦、余弦的互化，利用=tana可以實(shí)現(xiàn)角aCOSa互化。I , I ,、 , 222222(2)關(guān)系式的逆用及變形用：1=sina+cosa,sina=1cosa,cosa=1sina。(3) sina,cosa的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sina,cosa的齊次式

4、，或含有2 2 2cosa及sinaCOSa的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作1”，利用sina+COSa=1”轉(zhuǎn)化為“切”后求解?！九e一反三】設(shè)cos(80)=k，那么tan1OO 等于()【答案】B【解析】因?yàn)閏os(80)=cos80 =所以sin80 =, 1cos280=, 1k2。熱點(diǎn)題型三兩類公式在三角形中的應(yīng)用551212A._ _Br C. 一D.131355化簡(jiǎn):一 2(1+tana)(1一sin2a)=例2、(1)已知a是第四象限角,【答案】(1)C(2)1囂，則tan a=(sin a=故血二竺鼻-蕓cosa5故選C。慟式屮+豁os2tiCO*Q+ sin2a 1 的

5、弦切 2Sina ,代換后ckDk ,1k2D-k1k2所以tan100 = tan80sin 80cos801k2。例3在ABC中，若sin(2nA)=2sin(nB),3cosA=. 2cos(nE)，求ABC勺三個(gè)內(nèi)7sinA=2sinB,rcosA=2cosB。?+2，得2cos?A=1,得cosA=2。nn又AB是三角形的內(nèi)角A=7,B弋。7二C= n (A+B)=12n。綜上，A=4，B=nn,C=172n o【提分秘籍】ABC常用的角的變形有：A+B=nC,2A+2B=2n2C, +22=等，于是可得sin(A+B)=sin C, cosA|B=sinC等;2求角時(shí)，通常是先求出

6、該角的某一個(gè)合適的三角函數(shù)值，再結(jié)合其范圍，確定該角的大小?！九e一反三】已知0ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sin0+cos0=m若m (0,1)，則關(guān)于厶ABC的形狀的判斷，正確的是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.三種形狀都有可能【答案】B【解析】*/sintf+ casfi=Bt7/J +2sinft：osfi=m3j/.sinfl0,：.d.d為鈍角。角?！窘馕觥坑梢阎?，得,cosB#3又AB是三角形的內(nèi)角A=4n,B=55n,不符合題意。61.誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常使用,當(dāng)cosA=當(dāng)cosA= ,cosB=。二SC為鈍角三角形心91.【2017山東】在me中，角二，己，C的對(duì)

7、邊分別為a,b,c若.-：-C為銳角三角形，且滿足sin“：.12cosC =2sin cosC coszsinC，則下列等式成立的是(A)a=2b(B)b=2a(C)忑=2三(D)B=2.-.【答案】A【解析】sin (A C) 2si n B cosC = 2s in AcosC cos As inC所以2sin BcosC二sin AcosC二2sin B二sin A二2b = a，選A.2.【2017北京】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角3均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sina = -,cos(aP)=3-【答案】-79【解析】因?yàn)?和：關(guān)于y軸對(duì)稱，所以2k二，k：=

8、Z，那么sin：=sint所以cos(a -P )=cosacosP +sinsinP =-cos2a +sin2a =2sin2a -1兀3cospos一 専3(或COS：= -COS2.21.【2016咼考新課標(biāo)3理數(shù)】在AABC中，B =nB=4，1BC邊上的高等于-BC,則cosA=(3(A)3 1010(B)1010(D)工10【答案】C【解析】i殳BC邊上的高為 血貝BCBC = = 3AD3ADf f所cue二如丄+ DC2=屈口,L/B1J.彳嚴(yán)RCRC1111婦題)由余弦定理，此4龍2Q + 5Q _9少_7102 2；屁百故2.【2016咼考新課標(biāo)2理數(shù)】若cos(-p45

9、則sin2二()7117(A)(B)-(C)(D)-25552511【答案】D【答案】A【解析】1【2015江蘇高考，8】已知tan= -2,tan，則【答案】3n1+2【解析】tan -tan(亠:滬塑)凹=3.1 +tan(a + P)tana7【2015高考福建，理19】已知函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)二cosx的圖像經(jīng)如下變換得到：先將g(x)(I)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程;圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖像向右平移p個(gè)單位長(zhǎng)度.2i解析】wos24 2亠丄,525且cos 2 ：= cos1 14丿2= sin2,故選D.

10、_23.【2016咼考新課標(biāo)3理數(shù)】若32tan，則cos爲(wèi)川2sin 2：=(4(A)6(B)4825(C) 1(D)1625由tan：=-，得sin二4216cos二2sin 2：253,cos -：s512644，故選A.25=或sin53,cos :5254.【2016年高考四川理數(shù)】2 n . 2 ncos sin8 82 :【解析】由二倍角公式得cos sin22=cos842tan：的值為(n)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x) = m在0,2 p)內(nèi)有兩個(gè)不同的解a,b.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;13【答案】(i)f(x) = 2sin x,x二kp +2(k? Z).；(n)

11、(1)(-卮75)； (2)詳見解析.2【解析】解法一：(1)將g(x) = cosx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng) = 2cosx的圖像，再將y二2cos x的圖像向右平移p個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)二2cos(x-P)的圖像，故2 2f(x) = 2sinx，從而函數(shù)f(x) = 2sin x圖像的對(duì)稱軸方程為x = kp +P(k ? Z).2廠21f(x) + g(x) = 2sin x + cos x = .5( _ sin x + -J5J5依題意，sin (x+j卜了在區(qū)間0,2p)內(nèi)有兩個(gè)不同的解a, b當(dāng)且僅當(dāng)1；廠1，故m的取值范圍是(-,5).2)因?yàn)?/p>

12、見0是方稈75sin(x-l-tp)=m在區(qū)間0,2空)內(nèi)有兩個(gè)不同的解,sin( +( (p)=當(dāng)寸cr+0=2(彳一):口一0二區(qū)一2(0十貯)；當(dāng)一寸幺+戸=2(寸一)衛(wèi)一戸二3花_2(0十解法二：同I?法一-(2)1)同解法一.(2)證明:coS a - b)=2m2-1.(2)1)cosx)=5sin(x+j )(其中sinj=；,cosj= _2_=、5所以cos(&-#) = -cos 2(0十) =2 sin2( +( (p) -1 =2沁55-L所以sin (a +j)=m)=.5，sin(b +j)=m52)因?yàn)楸?是方程V5sin(x + p)=m在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不

13、同的解,15當(dāng)1 m .,5時(shí),a+b=2(p-j ),即a+j二p-(b+j )；2當(dāng)-,5m1時(shí),a+b=2(3p-j ),即a+j =3p - (b +j );2所以cos(a+j ) = - cos(b +j )于是cos(a - b) = cos(a +j ) - (b +j ) = cos(a +j )cos(b +j ) +s in (a +j )sin (b+j )【2015高考山東，理16】設(shè)f x =sinxcosx-cos2xI 4丿(I)求f x的單調(diào)區(qū)間;f A、(n)在銳角ABC中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f0,a=1,求ABC面積的最大值12丿【解

14、析】2=-cos (b +j ) +s in (a+j )sin (b+jm2m22 m2)=-1-【5)+(5)=V-1.【答案】(I)單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是憶7 k：k Z(II )-ABC面積的最大值為2 .34nnk二，k二k Z;f(X)=cosX(sinX+cosx)2.孑求f(a)的值；（I）由題意知/（刃二51響jjtfl + cos 2x + 122sin 2% 1 sia2x ,1- =sin 2x22 2 2 2由一-+2k2x-+2k2x- + + 2k.kZ2k.kZ2 2 由+2k7T2x+2k7T2x3jr3jr-+k7Tx-+k7Tx- + + kkEZk

15、kEZ44+2kkeZ+2kkeZ可得上+無(wú)兀蘭尤蘭二+疋臥疋EZ244所以函數(shù)/（兀）的單調(diào)遞増區(qū)間是字阪字甌（keZkeZ）j44jrjr3兀里調(diào)il減區(qū)間是鼻+ + + k k 兀（feeZ Z）f fII(II )由/ = sin - - - 0;得sin = - 2 J2 22 212丿由題意泌為銳角，所以 S乎由余弦定理：a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA即：bc_2-、3,當(dāng)且僅當(dāng)IbcsinA朋3因此24所以ABC面積的最大值為2 ,34（2014福建卷）已知函數(shù)n(1)若0a ，且sina17求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.n【

16、解析】方法一：因?yàn)?a2,sin所以f(a)= # X-2 +#-11=2.(2)因?yàn)閴?=sin xcos x +CDS2in2x+1 +cos2=in2x+評(píng) 2x2x=當(dāng)垃2%+扌)由2A?t 2x+圧乙得ix普仝務(wù)Z”所以血的單調(diào)遞増區(qū)間為航-訊 航+訪 圧Z-方法二:Xx)血XCOSX+ CO52X舟11 + cos 2r 1=嚴(yán)力+-2-2二蘋in2x +疋a 2xn(1)因?yàn)?a2，sin從而f(a)=牙二*)=22，所以COS二#所以n2 .-.-f* -F cJ 丿2,. 亠二3n1sin 2 a =ysin丁=?2n(2)T=n.,nnn小3nn由2kn片W2x+ 2kn

17、+可，kZ,得kn x0,專 0苓的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為n.(1)求w和0的值；(2)若f-2=4-6a V2扌，求COS a+ 弓 的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)的圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為n，所以?(x)的最小正周期T=n,從而w=2.又因?yàn)閥to的團(tuán)像關(guān)于直線丫=營(yíng)寸稱?所以2琦+尸丘+知A-0,2因?yàn)開克 k 歲所以尸-気(2)由得 為=3血鷗-滬馬所以sin_?=所以cosa-號(hào)二A/1sin?(G- ?=(3n因此cos ia+2=sina=sinI7t7t(ag)+7=血19【高考沖刺】所WsiiiaH：050) )= 1 +2 inacos

18、a=7 A所以2siiiaco5aj所(simr-cosa) 1 -2s inaros a=4,所以5ina-cosa=_3.設(shè)f(x)=asin(nx+a)+bcos(nx+3)，其中a,b,a,3都是非零實(shí)數(shù)，若f(2015)=-1,那么f(2016)等于（）A.-1B.0C.1D.2【解析】選C.因?yàn)閒(2015)=asin(2015n+a)+bcos(2015n+3)=-asina-bcos3=-1,所以f(2016)=asin(2016n+a)+bcos(2016n+3)=asina+a nCOs -6丿=U + 4 142428 .=sinI +cosna _6. nin -6C.

19、D.-f 35?rX| -一 +1列=cos=cos遲2.已知a(0,n)，且sina+COSa=，貝Usina-COSaB.-A.-JI=C.-的值為（）【解析】 選D一因?yàn)閟iiia.+cos0,則0的取值范【解析】選D.由題意得cos3 0p:uw解得cos0，所以0的取值范圍是-a H-IT|crjs|-JT十a(chǎn)|也并(盯-sr)9A【解析】選D.因?yàn)镃L為第三象限角，所以 8 狄0應(yīng)幌二訂“ coAzr sina tarmac* 5inIK 5cnsIa原式一“a沁z一忸曲一心5一口5A.-B.-C.D.【解析】選A.由tana=2,Sinti! -Lana - 3貝y：卜：=_si

20、na-cos a5.若角a的終邊落在直線x+y=0上，y Jl L sin2a + cos aA.-2B.2C.-2或2D.0【解析】選D.由題意得a5IJ1CT在第二或第四象限，所以史/匸+-cos a sma=|WW|+L：OM=0.6.已知a為第一象限角，且A.【解析】選B.由題意得tan1 + tuna：戀；=3+2，貝y cosa=()限角，所以COS a=2 sinaa=，又因?yàn)? 2Sina+cosa=1，所以2 . _cosa=，又因?yàn)閍為第一象圍是(A.rr2B.JT61JT2C.D.0,8.已知cosa是3x2-X-2=0的根，且a為第三象限角，則+ (ilsin=(竺+

21、9.已知cos =，且-7.設(shè)0sinC.-D.22【答案】-3【答案】所以smflcosO=fl.nI&4_ra3314_1-10-si.nTT- cr) + Sctjs(27r - a)Zsin12.已知sin(a-3n)=2cos(a-4n)，貝U【答案】-【解析】由已知得，-sina=2cosa，即tana=-2,【解析川(L)強(qiáng)H【解析】因?yàn)镮Tna-,InS?r所以ajaj+a7T-,因?yàn)閏os所以sin所以cosrSsr=si n區(qū)5龍1+ + a a)=,=-,=cos2%/2sina+cosa=.，貝U sin(X -COS a【答案】【解析】由sina+COsa=平方得1+2sinacosa=2,設(shè)sina-cosa=t,平方得1-2sina COSa=t2由相加得2=2+t2,所以2t =0,t=0.11.若tan=,貝sin0cos0=sm&cngfl10.已知7T1223- tr) + 5tos(2?r - a)2sznf- sin( - a所以sina + Scosa tana + 5= -+ 5/n