第二章矩陣分解3_矩陣的最大秩分解

1、3 矩陣的最大秩分解矩陣的最大秩分解 前面兩節(jié)介紹了前面兩節(jié)介紹了n階矩陣的幾種分解，現(xiàn)在開始介紹幾種長階矩陣的幾種分解，現(xiàn)在開始介紹幾種長方陣的分解。本節(jié)介紹矩陣的最大秩分解，它在廣義逆矩陣的方陣的分解。本節(jié)介紹矩陣的最大秩分解，它在廣義逆矩陣的討論中是十分重要的討論中是十分重要的.定義定義2.11 設(shè)是一個(gè)設(shè)是一個(gè) 階秩為階秩為r0的復(fù)矩陣的復(fù)矩陣,記為記為 ,如果存在矩陣如果存在矩陣 和和 , 使得使得 (2.40)則稱式則稱式(2.40)為為A的最大秩分解（滿秩分解）的最大秩分解（滿秩分解）.定理定理2.7 設(shè)設(shè) ,則必存在則必存在 和和,使得使得nm)0( rnmrCArmrCFnr

2、r CGFGA )0( rnmrCArmrCFnrr CGFGA 證證 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),可通過初等行變換將可通過初等行變換將A化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B,即存在有限個(gè)即存在有限個(gè)m階初等矩陣的乘積階初等矩陣的乘積P,使得使得 , 或者或者把把 改寫為分塊陣改寫為分塊陣則有則有其中其中F是列滿秩陣是列滿秩陣,G是行滿秩陣是行滿秩陣. (證畢證畢)這個(gè)定理的證明過程給出了求矩陣滿秩分解的初等行變換法這個(gè)定理的證明過程給出了求矩陣滿秩分解的初等行變換法.rrankAnrrCGOGBPA,BPA11P)(1,rnmrnrmrCSCFSFPFGOGSFBPA1例例:用初等行變換法求矩陣用初等行變換法求矩

3、陣的滿秩分解的滿秩分解.解解 對對 進(jìn)行初等行變換進(jìn)行初等行變換,當(dāng)當(dāng)A變成階梯陣變成階梯陣B時(shí)，時(shí)，E就變成就變成初等矩陣初等矩陣P.122211212101AEA111000001130200012101100122201011210012101EA.故故000030202101B30202101G111011001P1120110011P121101F最后有最后有 求矩陣滿秩分解的初等行變換法的缺點(diǎn)是必須求出求矩陣滿秩分解的初等行變換法的缺點(diǎn)是必須求出，下面介紹一個(gè)不需求出，下面介紹一個(gè)不需求出 簡便方法簡便方法.30202101121101FGA1PP和1PP和定義定義2.12 如果如

4、果 ,并且滿足條件并且滿足條件:(1) B的前的前r行中每一行至少有一個(gè)非零元素行中每一行至少有一個(gè)非零元素,且從左到右第一個(gè)且從左到右第一個(gè)非零元素等于非零元素等于1;(2) B的后的后m-r行元素都等于零行元素都等于零;(3) B的第的第i行的第一個(gè)非零元素行的第一個(gè)非零元素1位于第位于第 列列, ;(4) B的的 列為單位矩陣列為單位矩陣 的前的前r列列.那么稱那么稱B為為 行標(biāo)準(zhǔn)形行標(biāo)準(zhǔn)形.定義定義2.13 稱稱n階矩陣階矩陣為置換矩陣為置換矩陣,其中其中 是單位矩陣的從左至右的是單位矩陣的從左至右的n個(gè)個(gè)列向量列向量, 是是 的一個(gè)排列的一個(gè)排列 .)0( rnmrCBij), 2

5、, 1(rirjjj 21rjjj,21mIHermite),(21njjjeeePneee,21njjj,21n,2,1,定理定理2.8 設(shè)設(shè) 的的 行標(biāo)準(zhǔn)形為行標(biāo)準(zhǔn)形為B(如定義如定義2.12), 令令A(yù)的的 列構(gòu)成的列構(gòu)成的 矩陣為矩陣為F,B的前的前r行構(gòu)成的行構(gòu)成的 矩陣為矩陣為G 則則A的滿秩分解為的滿秩分解為.證證 由條件知由條件知,存在存在m階可逆矩陣階可逆矩陣P,使得使得 , 或者或者根據(jù)定理根據(jù)定理2.7 ,設(shè)設(shè) 的分塊陣為的分塊陣為,可得最大秩分解可得最大秩分解 .rjjj,21)0( rnmrCArmnrFGA nrr CG,OGBPABPA11P)(1,rnmrnrm

6、rCSCFSFPHermiteFGA 設(shè)設(shè)A.B的分塊矩陣為的分塊矩陣為,對應(yīng)對應(yīng)A的的 行標(biāo)準(zhǔn)形行標(biāo)準(zhǔn)形B,構(gòu)造階置換矩陣構(gòu)造階置換矩陣,則有則有再根據(jù)再根據(jù) ，得，得上式表明上式表明F是是AP1的前的前r列構(gòu)成的矩陣列構(gòu)成的矩陣,即即F是是A的的列構(gòu)成的矩陣列構(gòu)成的矩陣. 證畢證畢.),(),(2121nnbbbB,aaaAHermite),(1211nrrjjjjjeeeeeP),(111nrrjjjjaaaaAP)(121,),(11rnrrjjjjnrrCBOOBEbbbbBPBPA11212111)(FBFOOBESFBPPAPrrjjj,21定理定理2.8所提供的求矩陣最大秩的方

7、法所提供的求矩陣最大秩的方法,我們稱為我們稱為 行標(biāo)行標(biāo)準(zhǔn)形法準(zhǔn)形法.例例:用用 行標(biāo)準(zhǔn)形法求矩陣行標(biāo)準(zhǔn)形法求矩陣的最大秩分解的最大秩分解.解解 用初等行變換將用初等行變換將A化為化為 行標(biāo)準(zhǔn)形行標(biāo)準(zhǔn)形因此因此,這里這里 ,根據(jù)定理根據(jù)定理2.8, A的前三列組成矩陣的前三列組成矩陣611211042114000265141A00000511002101032001BA行3Arank3,2,1321jjjHermiteHermiteHermite而而B的前三個(gè)非零行組成矩陣的前三個(gè)非零行組成矩陣于是于是, 的最大秩分解為的最大秩分解為121421002141F511002101032001G5

8、11002101032001121421002141FGA最后需要指出最后需要指出, （2.40）給出的最大秩分解）給出的最大秩分解不是唯一的不是唯一的.事實(shí)上，任取一個(gè)事實(shí)上，任取一個(gè)r階非奇異矩陣階非奇異矩陣D，則，則 也是也是A的滿秩分解。的滿秩分解。下面將針對下面將針對“行行”的論述改為針對的論述改為針對“列列”，可得求的最大秩，可得求的最大秩分解的分解的 列標(biāo)準(zhǔn)形法列標(biāo)準(zhǔn)形法.例例:用用 列標(biāo)準(zhǔn)形法求前例中矩陣的最大秩分解列標(biāo)準(zhǔn)形法求前例中矩陣的最大秩分解.FGA GFGDFDA)(1Hermite005310351001000001000001BA 列Hermite因此因此,這里這里 , ,A 的前三行組成矩陣的前三行組成矩陣而而B的前三