(周圍)現(xiàn)代信號處理基礎(chǔ)04-現(xiàn)代功率譜估計(上)

1、重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2|( )|( )limTTFST( ),( )220, TTTfttft其 他( )f tFTIFT( )( )TTFft 平穩(wěn)離散隨機信號平穩(wěn)離散隨機信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間為一的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間為一 對傅立葉變換對傅立葉變換(0)xxR功率重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院如果隨機信號是各態(tài)遍歷的，相關(guān)函數(shù)可以由一個取樣

2、時間如果隨機信號是各態(tài)遍歷的，相關(guān)函數(shù)可以由一個取樣時間序列用序列用時間平均時間平均來取代來取代統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均。 ()xxRm ( )xxRm 實際中只能由有限個取樣數(shù)據(jù) 估計得到：(0), (1), (1)xxx N(有偏，漸進(jìn)無偏)上兩式稱為取樣自相關(guān)函數(shù)取樣自相關(guān)函數(shù)。( )xxRm （無偏估計） 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院FT取樣自相關(guān)函數(shù)實際上是下x(n)與x(-n)的卷和,即重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 (0), (1), (1)Nxxxx N( )X21|( )|XNFFT()xxS( )xxE S1(1)( )Nj mmNR m e21,|-1()0

3、, MmNgm其中其它( ) ( )xxE SS重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1. 數(shù)據(jù)加窗降低譜的旁瓣。 將矩形窗改為其他窗函數(shù)，如：漢寧（Hanning）窗 、哈明（Harmming）窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗（Bartlett)、凱塞窗（Kaiser)等。重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 將長度為N的序列分K段，每段長為M，分別對每段進(jìn)行譜估計，再進(jìn)行總平均，得平均周期圖。 如各段數(shù)據(jù)相互獨立，則所得估計的方差為原來不分段時的1/K。缺點是點數(shù)減少，分辨率下降。2. 相關(guān)函數(shù)加窗（B-T法）()xxS3. 修正周期圖法（分段平均）（Welch，1967）

4、重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院01N 3k M1k MkKM2k 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 AR模型模型 (全極點模型全極點模型) MA模型模型(全零點模型全零點模型) ARMA模型模型( )( )( )B zH zA z( )H z ( )H z 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院譜分解定理的推論譜分解定理的推論任何平穩(wěn)隨機信號任何平穩(wěn)隨機信號x(n)都可以看成由白噪聲序列都可以看成由白噪聲序列 激勵激勵一個因果和穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)一個因果和穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)H(z)產(chǎn)生的輸出。產(chǎn)生的輸出。 ( )u n重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1( )(

5、- )( )pkkx na x n ku n ( )H z ( )S2( ) (0,)u nN重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院212p1R(0)R(1)R(2)R(p)R(1)R(0)R(1)R(p-1)0R(2)R(1)R(0)R(p-2)0R(p)R(p-1)R(p-2)R(0)0aaa 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院N個樣值x(0),x(1)x(N-1) 功率譜密度AR模型參數(shù)和激勵源方差重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院FPR( )k N為觀測數(shù)據(jù)長度。使上式最小化的階數(shù)k即為AIC

6、( )k 使上式最小化的階數(shù)k即為22CAT( ) (jjNkNj其中）最小化上式得重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院)()(SSE224pS ( ) , 0, NS( )2pS ( ) , others NVar重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院-0101( )( )( )1, 1ppkkkkkkH zA zA za za za 2-*-1*-( )( )( )()mmS zR m zA z A z 21-1-*- ( )( )(1/)mmA zR m zAz 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院221*2*(- )( ) , 0(1/)hmmfor mAz -1-0 ( )

7、( )* ( )(- )pmmkmkA zR m zaR ma R m k *( )(0) 1,(- )( ) 0H zhhmm for m上式假設(shè)了濾波器是因果的，且故有左邊：右邊：20( ) =(- ), 0pkkma R m kfor m 故有：重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1112-(- ) , 0( )-(- ) , 1,2,-(- ) , ,kkkpkkpkpa R ma R m kmR ma Rkmpm kmp20( ) =(- ), 0pkkma R m kfor m 201( )( )-(- ), 0 (1)pkkR mma R m kfor ma 設(shè)( )R m(

8、 )( ),R mR m此式與Yule-Walker方程相同，只是用代替了重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院H( ) XH 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院() s. t. ,0, 1 SMaxmp( )MESES重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院( )S2ka重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1( )-( - )pkkx na x n k2, 1, 2 Min ( ( )- ( ) kakpEx nx n重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院mi

9、n11-(- ) , 0( )-(- ) , 0pkkpkka R m kmR ma R m km重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1-1( )( )( - )( )1( )( )( )pkkpkkke nx na x n kA za zE zA z X z dSeA|-2jmin)(| )(21重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2j -i2j -i2i2ji2i2j -i2i2j -iz11z11zz1zz1zz1eeeee*重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 xx( )=1xxxxS它是的與之

10、比。越大，譜越平坦，白噪聲幾何均值算數(shù)均值。xx01重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院, 1, 2 - Max 1( )2keakpeSd重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2exx-xx-11ln S ( )dln |A( )| S( )d221ln S( )d22-1ln |A( )| d02其中用到重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院-1expln ( )21( )211expln ( )( )2211( )( )22eeexxxxxxeeSdSdSdSdSdSd重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)

11、通信學(xué)院0001(0)2)-(p1)-(p(p)2)-(p(0)(1)(2)1)-(p(p)(1)(2)(0)(1)(1)(0)2p21RRRRRRRRRRRRRRRR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院001(0)1)-(k(k)1)-(k(0)(1)(k)(1)(0)2kkk,k,1RRRRRRRRR0001(0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)21k1k1,kk1,k1,1kRRRRRRRRRRRRRRRR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k2kkk,k,1D0001(

12、0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)RRRRRRRRRRRRRRRR1 , i)-1(kDk,0k0ik,ikR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2kkk,1kk,00D10(0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)RRRRRRRRRRRRRRRR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2kk1k2k1kkD 0D重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2k21kk1k2k21k1kkk,1kkk,k,11k1,kk1,k1,1k)-(1D10,重慶郵電

13、大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2,1(0)( )kkk iiRa R i,00(1),1kkk ikiDa R ki a 21kkkD22121)1 (kkk1,1,1, 1,2,., ;kik ikk kiaaaik 1,11kkka 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k 1,1k 1k 1,kk 1,k 11 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k0ik0kik1 i),-x(n(n)ek0ik0i -k k,k0ikik1 , i)-x(ni)k-x(nk)-(nx-k)-x(n(n)e重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 , z

14、(z)k0k0ii -kikA)(zz(z)-1k-kRkAA重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k 1Rk 1A(z) A(z) k 1k 1 E(z) E(z)重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k 1kk 1k e(n)e (n) e(n)e (n-1)00e (n) e (n) 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院p1iiip1iii|1|1(0)(|1|1-(0)|RS|R重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院p

15、1jjw(k)j)-x(kx(k)T1,1=1,pp ppp 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院(n)e 2pp 2 1,k ,kEMink2p, k 1, 2 p Min Ee (n) 或重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k, k 1, 2 pMin pe (n)00(0)x0(1)x np ( )x n(1)x N 000(1)x n()x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 , i)-x(n(n)ep0p0ipip-12000-1-0( )( - )1( )( ) () , 0-1Npp

16、pppipjnijNkmenR ijNR kx m x mkkNNR其中 N0R令2min1N重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k, k 1, 2 pMin 要點：未對數(shù)據(jù)兩端加0（未加窗），對觀測時間以外數(shù)據(jù)不做任何假設(shè)。(0)x(1)x p( )x n(1)x Np(2)x N (1)x N ()x np(1)x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa(1)x( )x p(1)x n()x Nppe (n)重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院N-12pn p00-1e (n)( - )()1( -

17、 )(- ) () -pppipjijNm pR ijN - pR ijx m i x mjNpR其中 N0R 2min1-Np重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院例：試根據(jù)信號的例：試根據(jù)信號的4個取樣值個取樣值x(n)=2,4,1,3，分別用自相關(guān)法和，分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計協(xié)方差法估計AR(1)模型參數(shù)。例模型參數(shù)。例4.1（教材（教材P143）解解：（：（1）自相關(guān)法自相關(guān)法412111n 0i 0e (n) , e (n)=()ia x ni( ):x n31421( )en111a1(0)2e111a111(1)42ea111a11

18、1(2)14ea 111a111(3)3ea111a111(4)3ea（隱含右端添（隱含右端添0）（隱含左端添（隱含左端添0）41101111( )2( )0nenenaa令41111111111011( )( )2 4+2)4(14)(3)90,nenenaaaaa（110.5a 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院（2）協(xié)方差法）協(xié)方差法( ):x n31421( )en111a1(0)2e111a111(1)42ea111a111(2)14ea 111a111(3)3ea111a111(4)3ea31111111( )2( )0nenenaa令111111112 4+2)4(14)(

19、3)90,aaaa（110.714a 321n 1e (n) , （不外推添（不外推添0）（不外推添（不外推添0）重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k22pp, k 1, 2 pN-1n pMin e (n)e (n) (0)x(1)x p(1)x Np(2)x N (1)x N 11pappa,1p pa(1)x( )x p()x Np11pappa,1p pappa,1p pa11pappa,1p pa11pa(-1)peN(-1)peN( )pep( )pep重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1)-(ne(n)e11(n)e(n)e1

20、-p1 -pppppN-1pp-1pp-1n pp2e (n)e(n-1)e (n)e(n)0重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院pN-122p-1p-1n p(e(n)(e(n-1) 1p重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 -Npn21 -p21 -p1 -Npn1 -p1 -pp1)-(n(e(n)(e1)-(n(n)ee21)-(ne(n)e11(n)e(n)e1 -p1 -pppppp,ip-1,0 , i1, 2 p, 1重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1(n)xN11-Nn0 x(n),(n)e(n)e001 -N0n22000,重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)

21、通信學(xué)院 設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,N-1，可按下步驟計算預(yù)測，可按下步驟計算預(yù)測濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計算功率譜。濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計算功率譜。1. 置置k=0, 計算初值計算初值2. k=k+1, 計算反射系數(shù)計算反射系數(shù)3.3.計算濾波器系數(shù)：計算濾波器系數(shù)：,1,0 ,(1,., ),1k ikaikakN-122k-1k-1n k(e(n)(e(n-1) 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 5. 計算計算k階預(yù)測誤差功率：階預(yù)測誤差功率：6. 回到步驟回到步驟(2)-(5), 進(jìn)行下一次迭代。進(jìn)行下一次迭代。4. 計算前、后向預(yù)測誤差：計算前、后向預(yù)測誤差：kk-1kk-1 e (n)e(n)e (n)e(n-1)重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 -Npnp21 -p21 -p1 -Npn1 -p1 -ppp(n)w1)-(n(e(n)(e1)-(n(n)e(n)ew2重慶郵