(周圍)現(xiàn)代信號(hào)處理基礎(chǔ)04-現(xiàn)代功率譜估計(jì)(上)

1、重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2|( )|( )limTTFST( ),( )220, TTTfttft其 他( )f tFTIFT( )( )TTFft 平穩(wěn)離散隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)離散隨機(jī)信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間為一的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間為一 對(duì)傅立葉變換對(duì)傅立葉變換(0)xxR功率重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院如果隨機(jī)信號(hào)是各態(tài)遍歷的，相關(guān)函數(shù)可以由一個(gè)取樣

2、時(shí)間如果隨機(jī)信號(hào)是各態(tài)遍歷的，相關(guān)函數(shù)可以由一個(gè)取樣時(shí)間序列用序列用時(shí)間平均時(shí)間平均來(lái)取代來(lái)取代統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均。 ()xxRm ( )xxRm 實(shí)際中只能由有限個(gè)取樣數(shù)據(jù) 估計(jì)得到：(0), (1), (1)xxx N(有偏，漸進(jìn)無(wú)偏)上兩式稱為取樣自相關(guān)函數(shù)取樣自相關(guān)函數(shù)。( )xxRm （無(wú)偏估計(jì)） 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院FT取樣自相關(guān)函數(shù)實(shí)際上是下x(n)與x(-n)的卷和,即重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 (0), (1), (1)Nxxxx N( )X21|( )|XNFFT()xxS( )xxE S1(1)( )Nj mmNR m e21,|-1()0

3、, MmNgm其中其它( ) ( )xxE SS重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1. 數(shù)據(jù)加窗降低譜的旁瓣。 將矩形窗改為其他窗函數(shù)，如：漢寧（Hanning）窗 、哈明（Harmming）窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗（Bartlett)、凱塞窗（Kaiser)等。重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 將長(zhǎng)度為N的序列分K段，每段長(zhǎng)為M，分別對(duì)每段進(jìn)行譜估計(jì)，再進(jìn)行總平均，得平均周期圖。 如各段數(shù)據(jù)相互獨(dú)立，則所得估計(jì)的方差為原來(lái)不分段時(shí)的1/K。缺點(diǎn)是點(diǎn)數(shù)減少，分辨率下降。2. 相關(guān)函數(shù)加窗（B-T法）()xxS3. 修正周期圖法（分段平均）（Welch，1967）

4、重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院01N 3k M1k MkKM2k 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 AR模型模型 (全極點(diǎn)模型全極點(diǎn)模型) MA模型模型(全零點(diǎn)模型全零點(diǎn)模型) ARMA模型模型( )( )( )B zH zA z( )H z ( )H z 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院譜分解定理的推論譜分解定理的推論任何平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)任何平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)都可以看成由白噪聲序列都可以看成由白噪聲序列 激勵(lì)激勵(lì)一個(gè)因果和穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)一個(gè)因果和穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)H(z)產(chǎn)生的輸出。產(chǎn)生的輸出。 ( )u n重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1( )(

5、- )( )pkkx na x n ku n ( )H z ( )S2( ) (0,)u nN重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院212p1R(0)R(1)R(2)R(p)R(1)R(0)R(1)R(p-1)0R(2)R(1)R(0)R(p-2)0R(p)R(p-1)R(p-2)R(0)0aaa 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院N個(gè)樣值x(0),x(1)x(N-1) 功率譜密度AR模型參數(shù)和激勵(lì)源方差重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院FPR( )k N為觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。使上式最小化的階數(shù)k即為AIC

6、( )k 使上式最小化的階數(shù)k即為22CAT( ) (jjNkNj其中）最小化上式得重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院)()(SSE224pS ( ) , 0, NS( )2pS ( ) , others NVar重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院-0101( )( )( )1, 1ppkkkkkkH zA zA za za za 2-*-1*-( )( )( )()mmS zR m zA z A z 21-1-*- ( )( )(1/)mmA zR m zAz 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院221*2*(- )( ) , 0(1/)hmmfor mAz -1-0 ( )

7、( )* ( )(- )pmmkmkA zR m zaR ma R m k *( )(0) 1,(- )( ) 0H zhhmm for m上式假設(shè)了濾波器是因果的，且故有左邊：右邊：20( ) =(- ), 0pkkma R m kfor m 故有：重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1112-(- ) , 0( )-(- ) , 1,2,-(- ) , ,kkkpkkpkpa R ma R m kmR ma Rkmpm kmp20( ) =(- ), 0pkkma R m kfor m 201( )( )-(- ), 0 (1)pkkR mma R m kfor ma 設(shè)( )R m(

8、 )( ),R mR m此式與Yule-Walker方程相同，只是用代替了重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院H( ) XH 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院() s. t. ,0, 1 SMaxmp( )MESES重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院( )S2ka重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1( )-( - )pkkx na x n k2, 1, 2 Min ( ( )- ( ) kakpEx nx n重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院mi

9、n11-(- ) , 0( )-(- ) , 0pkkpkka R m kmR ma R m km重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1-1( )( )( - )( )1( )( )( )pkkpkkke nx na x n kA za zE zA z X z dSeA|-2jmin)(| )(21重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2j -i2j -i2i2ji2i2j -i2i2j -iz11z11zz1zz1zz1eeeee*重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 xx( )=1xxxxS它是的與之

10、比。越大，譜越平坦，白噪聲幾何均值算數(shù)均值。xx01重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院, 1, 2 - Max 1( )2keakpeSd重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2exx-xx-11ln S ( )dln |A( )| S( )d221ln S( )d22-1ln |A( )| d02其中用到重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院-1expln ( )21( )211expln ( )( )2211( )( )22eeexxxxxxeeSdSdSdSdSdSd重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)

11、通信學(xué)院0001(0)2)-(p1)-(p(p)2)-(p(0)(1)(2)1)-(p(p)(1)(2)(0)(1)(1)(0)2p21RRRRRRRRRRRRRRRR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院001(0)1)-(k(k)1)-(k(0)(1)(k)(1)(0)2kkk,k,1RRRRRRRRR0001(0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)21k1k1,kk1,k1,1kRRRRRRRRRRRRRRRR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k2kkk,k,1D0001(

12、0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)RRRRRRRRRRRRRRRR1 , i)-1(kDk,0k0ik,ikR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2kkk,1kk,00D10(0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)RRRRRRRRRRRRRRRR重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2kk1k2k1kkD 0D重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2k21kk1k2k21k1kkk,1kkk,k,11k1,kk1,k1,1k)-(1D10,重慶郵電

13、大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院2,1(0)( )kkk iiRa R i,00(1),1kkk ikiDa R ki a 21kkkD22121)1 (kkk1,1,1, 1,2,., ;kik ikk kiaaaik 1,11kkka 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k 1,1k 1k 1,kk 1,k 11 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k0ik0kik1 i),-x(n(n)ek0ik0i -k k,k0ikik1 , i)-x(ni)k-x(nk)-(nx-k)-x(n(n)e重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 , z

14、(z)k0k0ii -kikA)(zz(z)-1k-kRkAA重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k 1Rk 1A(z) A(z) k 1k 1 E(z) E(z)重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k 1kk 1k e(n)e (n) e(n)e (n-1)00e (n) e (n) 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院p1iiip1iii|1|1(0)(|1|1-(0)|RS|R重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院p

15、1jjw(k)j)-x(kx(k)T1,1=1,pp ppp 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院(n)e 2pp 2 1,k ,kEMink2p, k 1, 2 p Min Ee (n) 或重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k, k 1, 2 pMin pe (n)00(0)x0(1)x np ( )x n(1)x N 000(1)x n()x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 , i)-x(n(n)ep0p0ipip-12000-1-0( )( - )1( )( ) () , 0-1Npp

16、pppipjnijNkmenR ijNR kx m x mkkNNR其中 N0R令2min1N重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k, k 1, 2 pMin 要點(diǎn)：未對(duì)數(shù)據(jù)兩端加0（未加窗），對(duì)觀測(cè)時(shí)間以外數(shù)據(jù)不做任何假設(shè)。(0)x(1)x p( )x n(1)x Np(2)x N (1)x N ()x np(1)x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa(1)x( )x p(1)x n()x Nppe (n)重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院N-12pn p00-1e (n)( - )()1( -

17、 )(- ) () -pppipjijNm pR ijN - pR ijx m i x mjNpR其中 N0R 2min1-Np重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院例：試根據(jù)信號(hào)的例：試根據(jù)信號(hào)的4個(gè)取樣值個(gè)取樣值x(n)=2,4,1,3，分別用自相關(guān)法和，分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。例模型參數(shù)。例4.1（教材（教材P143）解解：（：（1）自相關(guān)法自相關(guān)法412111n 0i 0e (n) , e (n)=()ia x ni( ):x n31421( )en111a1(0)2e111a111(1)42ea111a11

18、1(2)14ea 111a111(3)3ea111a111(4)3ea（隱含右端添（隱含右端添0）（隱含左端添（隱含左端添0）41101111( )2( )0nenenaa令41111111111011( )( )2 4+2)4(14)(3)90,nenenaaaaa（110.5a 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院（2）協(xié)方差法）協(xié)方差法( ):x n31421( )en111a1(0)2e111a111(1)42ea111a111(2)14ea 111a111(3)3ea111a111(4)3ea31111111( )2( )0nenenaa令111111112 4+2)4(14)(

19、3)90,aaaa（110.714a 321n 1e (n) , （不外推添（不外推添0）（不外推添（不外推添0）重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院k22pp, k 1, 2 pN-1n pMin e (n)e (n) (0)x(1)x p(1)x Np(2)x N (1)x N 11pappa,1p pa(1)x( )x p()x Np11pappa,1p pappa,1p pa11pappa,1p pa11pa(-1)peN(-1)peN( )pep( )pep重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1)-(ne(n)e11(n)e(n)e1

20、-p1 -pppppN-1pp-1pp-1n pp2e (n)e(n-1)e (n)e(n)0重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院pN-122p-1p-1n p(e(n)(e(n-1) 1p重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 -Npn21 -p21 -p1 -Npn1 -p1 -pp1)-(n(e(n)(e1)-(n(n)ee21)-(ne(n)e11(n)e(n)e1 -p1 -pppppp,ip-1,0 , i1, 2 p, 1重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1(n)xN11-Nn0 x(n),(n)e(n)e001 -N0n22000,重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)

21、通信學(xué)院 設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,N-1，可按下步驟計(jì)算預(yù)測(cè)，可按下步驟計(jì)算預(yù)測(cè)濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算功率譜。濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算功率譜。1. 置置k=0, 計(jì)算初值計(jì)算初值2. k=k+1, 計(jì)算反射系數(shù)計(jì)算反射系數(shù)3.3.計(jì)算濾波器系數(shù)：計(jì)算濾波器系數(shù)：,1,0 ,(1,., ),1k ikaikakN-122k-1k-1n k(e(n)(e(n-1) 重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院 5. 計(jì)算計(jì)算k階預(yù)測(cè)誤差功率：階預(yù)測(cè)誤差功率：6. 回到步驟回到步驟(2)-(5), 進(jìn)行下一次迭代。進(jìn)行下一次迭代。4. 計(jì)算前、后向預(yù)測(cè)誤差：計(jì)算前、后向預(yù)測(cè)誤差：kk-1kk-1 e (n)e(n)e (n)e(n-1)重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院重慶郵電大學(xué)通信學(xué)院1 -Npnp21 -p21 -p1 -Npn1 -p1 -ppp(n)w1)-(n(e(n)(e1)-(n(n)e(n)ew2重慶郵