多項式因式分解

1、因式分解因式分解因式分解第第3章章因式分解3.1多項式因式分解多項式因式分解返回返回教學目標： 了解因式分解的意義，知道因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系與區(qū)別，會判斷一個變形是否是因式分解。動腦筋動腦筋21 等于等于 3 乘哪個整數(shù)？乘哪個整數(shù)？2137x2- -1等于等于x+1乘哪個多項式乘哪個多項式？21=+11- - -xxx 對于整數(shù)對于整數(shù)21與與3，有整數(shù)有整數(shù)7使得使得2137，我們把，我們把3叫作叫作21的一個的一個因數(shù)因數(shù). 同理，同理，7也是也是21的一個因數(shù)的一個因數(shù).對于多項式對于多項式x2- -1與與x+1，有，有x- -1使得使得 ，我們把我們把x+1叫作叫作x2- -

2、1的一個的一個因式因式，同理，同理x- -1也是也是x2- -1的一的一個個因式因式21 =+11- - -xxx探究探究 一般地，對于兩個多項一般地，對于兩個多項f與與g，如果有多項式，如果有多項式h使得使得f = gh ，那么我們把，那么我們把g叫作叫作f的一個的一個因式因式，此時，此時，h也是也是 f 的一個的一個因式因式 把把 x2- -1寫成寫成 的形式，叫作的形式，叫作把把 x2- -1 因因式分解式分解+11- -xx 結論結論 一般地，把一個含字母的多項式表示成一般地，把一個含字母的多項式表示成若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式項式

3、因式分解因式分解 可以看出，因式分解與整式乘法其實是兩可以看出，因式分解與整式乘法其實是兩種互逆的變形種互逆的變形.即即x2- -1( (x+1)()(x- -1) )因式分解因式分解整式乘法整式乘法說一說說一說為什么要把一個多項為什么要把一個多項式因式分解呢？式因式分解呢？ 萬里長城是由磚砌成的萬里長城是由磚砌成的.不少房子也是用磚不少房子也是用磚砌成的砌成的. 因此，磚是基本建筑塊之一因此，磚是基本建筑塊之一.小知識 類似地，在數(shù)學中也經(jīng)常要尋找那些類似地，在數(shù)學中也經(jīng)常要尋找那些“基基本建筑塊本建筑塊”. 例如，在正整數(shù)集中，像例如，在正整數(shù)集中，像2，3，5，7，11，13，17，這些

4、大于這些大于1的數(shù)，它的因數(shù)只有的數(shù)，它的因數(shù)只有1和它和它自身，稱這樣的正整數(shù)為自身，稱這樣的正整數(shù)為質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)或或素數(shù)素數(shù).小知識 素數(shù)就是正整數(shù)集中的素數(shù)就是正整數(shù)集中的“基本建筑塊基本建筑塊”：每一個大于每一個大于1的正整數(shù)都能表示成若干個素數(shù)的正整數(shù)都能表示成若干個素數(shù)的乘積的形式的乘積的形式.例如例如 12=223， 30=235 小知識 有了式和式，就容易求出有了式和式，就容易求出12和和30的的最大公因數(shù)為最大公因數(shù)為23=6， 進而很容易把分數(shù)進而很容易把分數(shù) 約分：分子與分母約分：分子與分母同除以同除以6，得，得1230 122= .530小知識 同樣地，在系數(shù)為有理數(shù)同樣地

5、，在系數(shù)為有理數(shù)( (或系數(shù)為實數(shù)或系數(shù)為實數(shù)) )的多項式組成的集合中，也有一些多項式起著的多項式組成的集合中，也有一些多項式起著“基本建筑塊基本建筑塊”的作用：的作用： 每一個多項式可以表示成若干個最基本的每一個多項式可以表示成若干個最基本的多項式的乘積的形式，從而為許多問題的解決多項式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁架起了橋梁. 小知識 例如，以后我們要學習的分式的約分，例如，以后我們要學習的分式的約分，解一元二次方程，常常需要把多項式因式分解一元二次方程，常常需要把多項式因式分解解. 因式分解還可以在許多實際問題中簡因式分解還可以在許多實際問題中簡化計算化計算.小知識例例1

6、 下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式 分解，哪些不是，為什么？分解，哪些不是，為什么？222+2+=+aabbab( () )（1）（2）2+4 =+32 +2- - -mmmm( () )( () )舉舉例例解解 （1） 是是. 因為從左邊到右邊是把多項式因為從左邊到右邊是把多項式 a 2+2ab+b 2表示成了多項式表示成了多項式a+ +b與與a+ +b的積的的積的形式形式. .（2） 不是不是. 因為因為( (m+3)()(m- -2) )+2不是幾個多不是幾個多項式乘積的形式項式乘積的形式. .例例2 檢驗下列因式分解是否正確檢驗下列因式分解是

7、否正確. .（1）（2）2+=+xxyx xy( () )25 +6 =23- - - -aaaa( () )( () )（3）222= 22+- - -mnmnmn( () )( () )分析分析 檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊的檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個多項式的乘積與左邊的多項式是否相等幾個多項式的乘積與左邊的多項式是否相等舉舉例例解解 ( (1) ) 因為因為 x( (x + y) )=x2+xy， 所以因式分解所以因式分解 x2+ xy = x( (x+ y)正確正確. . ( (2) ) 因為因為( (a- -2)()(a- -3) )=a2 - -5a+6，

8、所以因式分解所以因式分解 a2 - -5a+6=( (a- -2)()(a- -3) )正確正確. . ( (3) ) 因為因為( (2m- -n)()(2m+n) )=4m2 - -n22m2- -n2 ， 所以因式分解所以因式分解2m2- -n2=( (2m- -n)()(2m+n) )不正確不正確. .練習練習1. 求求4，6，14 的最大公因數(shù)的最大公因數(shù). 答：答：最大公因數(shù)是最大公因數(shù)是2.練習練習2. 下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么分解，哪些不是，為什么？2+1+2 =+3 +2xxxx( () )( () )2

9、22+4= 2+2x yxyxy xy( () )22 =+111- - - -xxx( () )( () )2244 +1= 21- - -aaa( () )（1）（2）（3）（4）解解 （1） 不是不是. . 因為從左邊到右邊是整式乘法的過程因為從左邊到右邊是整式乘法的過程而不是把多項式表示成幾個多項式的積的形式而不是把多項式表示成幾個多項式的積的形式. .（2）是）是. . 因為從左邊到右邊是把多項式因為從左邊到右邊是把多項式2x2y+4xy2 表示成了多項式表示成了多項式 2xy與與x+2y 的積的形式的積的形式. . （3）不是）不是. .因為從左邊到右邊是整式乘法的過程而不因為從左邊到右邊是整式乘法的過程而不是把多項式表示成幾個多項式的積的形式是把多項式表示成幾個多項式的積的形式. .（4）是）是. . 因為從左邊到右邊是把多項式因為從左邊到右邊是把多項式4a2- -4a+1表示表示成了多項式成了多項式2a- -1的平方的形式的平方的形式. . 3.檢驗下列因式分解是否正確。(1) ) 2(2422aaaa(2)(223xxxxxx(3) 2)(1(232mmmm，所以不正確。(1) (2)(3)因為xxxxxxxx23232)(因為，所以不正確。aaaaaa4242)2(222因