多項(xiàng)式因式分解

1、因式分解因式分解因式分解第第3章章因式分解3.1多項(xiàng)式因式分解多項(xiàng)式因式分解返回返回教學(xué)目標(biāo)： 了解因式分解的意義，知道因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)判斷一個(gè)變形是否是因式分解。動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋21 等于等于 3 乘哪個(gè)整數(shù)？乘哪個(gè)整數(shù)？2137x2- -1等于等于x+1乘哪個(gè)多項(xiàng)式乘哪個(gè)多項(xiàng)式？21=+11- - -xxx 對(duì)于整數(shù)對(duì)于整數(shù)21與與3，有整數(shù)有整數(shù)7使得使得2137，我們把，我們把3叫作叫作21的一個(gè)的一個(gè)因數(shù)因數(shù). 同理，同理，7也是也是21的一個(gè)因數(shù)的一個(gè)因數(shù).對(duì)于多項(xiàng)式對(duì)于多項(xiàng)式x2- -1與與x+1，有，有x- -1使得使得 ，我們把我們把x+1叫作叫作x2- -

2、1的一個(gè)的一個(gè)因式因式，同理，同理x- -1也是也是x2- -1的一的一個(gè)個(gè)因式因式21 =+11- - -xxx探究探究 一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)f與與g，如果有多項(xiàng)式，如果有多項(xiàng)式h使得使得f = gh ，那么我們把，那么我們把g叫作叫作f的一個(gè)的一個(gè)因式因式，此時(shí)，此時(shí)，h也是也是 f 的一個(gè)的一個(gè)因式因式 把把 x2- -1寫成寫成 的形式，叫作的形式，叫作把把 x2- -1 因因式分解式分解+11- -xx 結(jié)論結(jié)論 一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)式

3、因式分解因式分解 可以看出，因式分解與整式乘法其實(shí)是兩可以看出，因式分解與整式乘法其實(shí)是兩種互逆的變形種互逆的變形.即即x2- -1( (x+1)()(x- -1) )因式分解因式分解整式乘法整式乘法說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)為什么要把一個(gè)多項(xiàng)為什么要把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解呢？式因式分解呢？ 萬(wàn)里長(zhǎng)城是由磚砌成的萬(wàn)里長(zhǎng)城是由磚砌成的.不少房子也是用磚不少房子也是用磚砌成的砌成的. 因此，磚是基本建筑塊之一因此，磚是基本建筑塊之一.小知識(shí) 類似地，在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常要尋找那些類似地，在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常要尋找那些“基基本建筑塊本建筑塊”. 例如，在正整數(shù)集中，像例如，在正整數(shù)集中，像2，3，5，7，11，13，17，這些

4、大于這些大于1的數(shù)，它的因數(shù)只有的數(shù)，它的因數(shù)只有1和它和它自身，稱這樣的正整數(shù)為自身，稱這樣的正整數(shù)為質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)或或素?cái)?shù)素?cái)?shù).小知識(shí) 素?cái)?shù)就是正整數(shù)集中的素?cái)?shù)就是正整數(shù)集中的“基本建筑塊基本建筑塊”：每一個(gè)大于每一個(gè)大于1的正整數(shù)都能表示成若干個(gè)素?cái)?shù)的正整數(shù)都能表示成若干個(gè)素?cái)?shù)的乘積的形式的乘積的形式.例如例如 12=223， 30=235 小知識(shí) 有了式和式，就容易求出有了式和式，就容易求出12和和30的的最大公因數(shù)為最大公因數(shù)為23=6， 進(jìn)而很容易把分?jǐn)?shù)進(jìn)而很容易把分?jǐn)?shù) 約分：分子與分母約分：分子與分母同除以同除以6，得，得1230 122= .530小知識(shí) 同樣地，在系數(shù)為有理數(shù)同樣地

5、，在系數(shù)為有理數(shù)( (或系數(shù)為實(shí)數(shù)或系數(shù)為實(shí)數(shù)) )的多項(xiàng)式組成的集合中，也有一些多項(xiàng)式起著的多項(xiàng)式組成的集合中，也有一些多項(xiàng)式起著“基本建筑塊基本建筑塊”的作用：的作用： 每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本的每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本的多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問(wèn)題的解決多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問(wèn)題的解決架起了橋梁架起了橋梁. 小知識(shí) 例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一元二次方程，常常需要把多項(xiàng)式因式分解一元二次方程，常常需要把多項(xiàng)式因式分解解. 因式分解還可以在許多實(shí)際問(wèn)題中簡(jiǎn)因式分解還可以在許多實(shí)際問(wèn)題中簡(jiǎn)化計(jì)算化計(jì)算.小知識(shí)例例1

6、 下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式 分解，哪些不是，為什么？分解，哪些不是，為什么？222+2+=+aabbab( () )（1）（2）2+4 =+32 +2- - -mmmm( () )( () )舉舉例例解解 （1） 是是. 因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式 a 2+2ab+b 2表示成了多項(xiàng)式表示成了多項(xiàng)式a+ +b與與a+ +b的積的的積的形式形式. .（2） 不是不是. 因?yàn)橐驗(yàn)? (m+3)()(m- -2) )+2不是幾個(gè)多不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式項(xiàng)式乘積的形式. .例例2 檢驗(yàn)下列因式分解是否正確檢驗(yàn)下列因式分解是

7、否正確. .（1）（2）2+=+xxyx xy( () )25 +6 =23- - - -aaaa( () )( () )（3）222= 22+- - -mnmnmn( () )( () )分析分析 檢驗(yàn)因式分解是否正確，只要看等式右邊的檢驗(yàn)因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個(gè)多項(xiàng)式的乘積與左邊的多項(xiàng)式是否相等幾個(gè)多項(xiàng)式的乘積與左邊的多項(xiàng)式是否相等舉舉例例解解 ( (1) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?x( (x + y) )=x2+xy， 所以因式分解所以因式分解 x2+ xy = x( (x+ y)正確正確. . ( (2) ) 因?yàn)橐驗(yàn)? (a- -2)()(a- -3) )=a2 - -5a+6，

8、所以因式分解所以因式分解 a2 - -5a+6=( (a- -2)()(a- -3) )正確正確. . ( (3) ) 因?yàn)橐驗(yàn)? (2m- -n)()(2m+n) )=4m2 - -n22m2- -n2 ， 所以因式分解所以因式分解2m2- -n2=( (2m- -n)()(2m+n) )不正確不正確. .練習(xí)練習(xí)1. 求求4，6，14 的最大公因數(shù)的最大公因數(shù). 答：答：最大公因數(shù)是最大公因數(shù)是2.練習(xí)練習(xí)2. 下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么分解，哪些不是，為什么？2+1+2 =+3 +2xxxx( () )( () )2

9、22+4= 2+2x yxyxy xy( () )22 =+111- - - -xxx( () )( () )2244 +1= 21- - -aaa( () )（1）（2）（3）（4）解解 （1） 不是不是. . 因?yàn)閺淖筮叺接疫吺钦匠朔ǖ倪^(guò)程因?yàn)閺淖筮叺接疫吺钦匠朔ǖ倪^(guò)程而不是把多項(xiàng)式表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的積的形式而不是把多項(xiàng)式表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的積的形式. .（2）是）是. . 因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式2x2y+4xy2 表示成了多項(xiàng)式表示成了多項(xiàng)式 2xy與與x+2y 的積的形式的積的形式. . （3）不是）不是. .因?yàn)閺淖筮叺接疫吺钦匠朔ǖ倪^(guò)程而不因?yàn)閺淖筮叺接疫吺钦匠朔ǖ倪^(guò)程而不是把多項(xiàng)式表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的積的形式是把多項(xiàng)式表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的積的形式. .（4）是）是. . 因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式4a2- -4a+1表示表示成了多項(xiàng)式成了多項(xiàng)式2a- -1的平方的形式的平方的形式. . 3.檢驗(yàn)下列因式分解是否正確。(1) ) 2(2422aaaa(2)(223xxxxxx(3) 2)(1(232mmmm，所以不正確。(1) (2)(3)因?yàn)閤xxxxxxx23232)(因?yàn)?，所以不正確。aaaaaa4242)2(222因