18整式的除法

1、整式的除法一、知識要點(diǎn)（1）單項式除以單項式的法則（2）多項式除以單項式的法則的依據(jù)（3）多項式除以單項式的運(yùn)算法則二、技能要求1.掌握單項式除以單項式，多項式除以單項式的法則，并能運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算。2.進(jìn)行整式的加、減、乘、除、乘方等比較簡單的混合運(yùn)算，并能運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式運(yùn)算。三、重要數(shù)學(xué)思想 在學(xué)習(xí)整式除法法則和整式除法運(yùn)算的過程中，初步掌握轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，注意由多項式到單項 式，從未知向已知的轉(zhuǎn)化。四、主要數(shù)學(xué)能力1.在推導(dǎo)除法法則的過程中，培養(yǎng)觀察、分析 、綜合、類比、歸納、轉(zhuǎn)換、概括等思維能力。2.在整式的混合運(yùn)算中，透徹理解算理，言必有據(jù)，靈活運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式，使運(yùn)算

2、簡便，培養(yǎng) 運(yùn)算能力。五、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.兩個單項式相除：兩個單項式相除可分為三個步驟：（1）把系數(shù)相除，所得的結(jié)果作為商的系數(shù)。（2）把同底數(shù)的冪分別相除，以所得的結(jié)果作為商的因式。（3）只在被除式里含有的字母，連同其指數(shù)作為商的一個因式。這里顯然指的是被除式能被除式整除的情況，所以兩個單項式相除，在現(xiàn)階段仍是一個單項式。2例1.計算：(1) (-0.5a2b3x2)-(- ax2)4x2y(- y)4x2y2(5xmV)2r(-xy)23(2ax)2(- a4x3y3)-(-2解：(-0.5a2b3x2)-(-ax2)=25x2m-2n+4=4(- )(-2)(a2a4-a5)(x2x3-x)

3、(y3-y2)=6ax4y=6a2+4-52+3-1x3-2y5 2axy )分析：此題為兩個單項式相除，運(yùn)用法則計算 2=(-:)(-:)a21b3x222=-ab3i_4x2y(- y)-4x2y2 丄=4X(- )x (x2一x2)(yy-y2)丄2-2 1+1-2=-亠x y丄 =-亠xy=-亠x1x2-2=1,被除式中含有的字母b,連同它的指數(shù)作為商的一個因式b3.分析：此題為單項式乘除混合運(yùn)算系數(shù)相乘除作為商的系數(shù)，相同字母相乘除用法則運(yùn)算。x0y0=1(5xmV)2r(-xy)2分析：混合運(yùn)算先做乘方再乘除m+2、2n 2=(5x )(y )-(-xy)2n第一步：被除式做的積的

4、乘方,=25x2m+42n2n 2n-y-x y除式是冪的乘方第三步做單項式=25x2m+4-2n2n-2n-y乘除混合運(yùn)算y2n-2n=y0=1(2ax)2(- - a4x3y3)-(- a5xy2)3=4a2x2(- a4x3y3)十(-a5xy2)3分析:第一步先求(2ax)第二步用單項式乘除法則運(yùn)算例2.計算：(1) (6x108)一(3x103)一(-4x10-4)(2) 9(m-n)4-3(m-n)解：(6x108)-(3x103)-(-4X10-4)=33x42=27x16=432(法一)a12b8*a9b6分析：法(一)運(yùn)用兩個單項式相除的法則進(jìn)行計算12-9 , 8-63,

5、2=a b =a b法(二)運(yùn)用積的乘方的逆變形轉(zhuǎn)化成(a3b2)的同底數(shù)冪相除進(jìn)行計算分析：此題可仿同底數(shù)=6x二x(-1 )(108-103-10-4)11=-亠x1083(4)=-上x108-3+41=-:x109冪的乘除混合計算進(jìn)行第一步運(yùn)算將10的冪的系數(shù)相乘除，10的冪相乘除第二步再做10的冪的乘法(2) 9(m-n)4-3(m-n)3343x(m-n)(m-n)=3(m-n)4-3=3(m-n)=3m-3n.分析：此題運(yùn)用兩個單項式相除的法則(m-n)的系數(shù)相除，(m-n)的指數(shù)相減3(m-n)不能作結(jié)果，應(yīng)用乘法分配律計算例3.計算：(1) 1213-(310 x411)(2)

6、 a12b8-a9b6(3) -(-2a2)5-(-a)33解：(1) 1213-(310 x411)分析：將1213進(jìn)行變形，1213=(3x4)13用積的乘方逆變形運(yùn)算=(3x4)13十(310 x411)=313x413十(310 x411)=313-10 x413-11第二步可用法則展開最后將結(jié)果計算出來(法二)a12b8-a9b=(a3b2)4ra3b2)3=(a3b2)4-3=a3b2-(-2a2)5*-(-a)33分析：運(yùn)算時注意符號，特別是負(fù)號較多時=-(-32a10)ra9)10-9=32a=32a14例4.設(shè)a=3,b=-,n=1.求a2n+1b3n-1一an-1b2n-3

7、的值。分析：求值問題一定先觀察代數(shù)式是否能進(jìn)行化簡，若能進(jìn)行化簡應(yīng)先化簡再求值。解：/a2n+1b3n-1一an-1b2n-3分析：第一步至第三步應(yīng)用兩個單項式相除的法則進(jìn)行計算=a2n+1-n+1b3n-1-2n+3an+2bn+2再應(yīng)用積的乘方的逆變形為(ab)n+2,計算起來簡便。長方體的高解：設(shè)長方體的高為h,其體積為-a二ah,正方體體積：a3等量關(guān)系：長方體體積=亠x正方體體積14又 -a= ,b=-,n=1將已知的a值，b值，n值代入化簡后的式子(ab)n+2再求值原式=(ab)n+214=(:x - )1+22 =(_)3=匸I11=(ab)n+2例5.已知底面一邊長為-a，另

8、一邊長為-a的長方體的面積是棱長為a的正方體體積的,求2n+1-(n-1)=a3n-1-(2n-3)n+2=an+2 依題意可得：1 a 1 a h= a3h=二a3( - a -a)丄1=(十叮)(a3-2)丄=-aJ_答：長方體的高為-a。2.多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.不管是多項式的乘法還是多項式的除以單項式，都是應(yīng)用分配律：(a+b)(mHn)=a(n)+b(m+ n) , (a+b+c) *m=a*mi+b*mHc*m將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟知的單項式的乘法和單項式的除法.從這里可以看岀乘、除法分配律的功用這種將尚未解決的問題轉(zhuǎn)化

9、為已經(jīng)解決的問題的形式的思想在數(shù)學(xué) 上稱為化歸思想望同學(xué)們深刻體會.例6.計算：(1)(6mn41 - min3+mln3)*min3；(2)2(x+y)34(x+y)2xy*(x+y).分析：(2)中若把被除式中的一xy變形為一(x+)將(x+y)作為一個整體，本題即可運(yùn)用多 項式除以單項式的法則進(jìn)行計算.? 孑 孑解:(1)(6min4I-mn3+ -min3)min32 2 2 2 254334333333 3=6mn*- mnmn*- mn +- mn*- mn32=10mn- m+1；32(2)2(x+y)4(x+y)x-y-(x+y)=2(x+y)34(x+y)2(x+y)*(x+

10、y)=2(x+y)24(x+y)122=2(x2xyy )4x4y122=2x4xy2y4x4y1例7.已知除式=3x2+2y，商式=9x46x2y+4y2，余式=x8y3,求被除式.分析：由“被除式=商乂除式+余式來求被除式若被除式能被整除，則余式為零.解： 由題可知所求被除式為(3x22y)( 9x46x2y4y2)x8y3=3x2( 9x46x2y4y2)2y ( 9x46x2y4y2)x8y3=27 x618 x4y12 x2y218yx412x2y28y3x8y3=27 x6x.例8.說明任意奇數(shù)的平方被4除，余式是1.分析： 任意奇數(shù)可表示為2n+1(n為整數(shù)).根據(jù)被除數(shù)、除數(shù)、

11、商和余數(shù)間的關(guān)系，如果能說明被除 數(shù)減去1能被4整除，則問題便得解.解： 設(shè)任意奇數(shù)為2n+1 (n為整數(shù))，因為(2 n1)21=4 n24 n11=4 n24 n，又因為n是整數(shù)，所以4 n2+4 n是4的倍數(shù)，即4 n2+4 n能被4整除所以任意奇數(shù)被4除余數(shù)是1.測試選擇題1.若 a+a-1=3,則 a2+a-2的值為()A.5 B. 7C.9D.112.如果a2+b2+c2=ab+ac+bc,貝U a、b、c的關(guān)系是()A.a=b工c B.a工b工c C.a=b=c D.a工b,a=c3.如果(n-1)n(n+1)能被6整除，那么n3+5n()A.能被5整除B.能被6整除C.不能被6

12、整除D.能被30整除4+ 203 -A.-C_0斗20江B 2X?/3+ 20XZ-42牴丄 +-D.-答案與解析解析:1、B11/a+a-1=3,. a+l =3,. (a+L )2=321 1即:a2+2XaxL- +(l- ) L9丄 a2+2+(L- )2=94.已知一多項式與單項式的積為4Vs-* 0.212y則這個多項式為V5已知多項式x2+mx+5 與X2-3X+n 的乘積中不含有x3和 x2的項，貝 U m n 的值為(A.B.m-3M- 4C.D.答案：1、B2、C3、B 4、A 5、B22 a +(L：) =9-2即 a2+W=72、C2 2 2解：Ta +b+c =ab+

13、ac+bc2 2 2 2(a +b +c )=2(ab+ac+bc)222 2a +2b +2c =2ab+2ac+2bc222 2a +2b +2c -2ab-2ac-2bc=0即：(a2-2ab+b2)+ (a2-2ac +c2)+(b2-2bc +c2)=02 2 2(a-b)+(a-c)+(b-c) =0 a=b=c3. B解： (n-1)n(n+1)能被 6 整除 (n2-1)n=n3-n能被 6 整除。33/ n +5n=n -n+6n n3-n 能被 6 整除6n 能被 6 整除 n3-n+6n 就一定能被 6 整除 n3+5n 就一定能被 6 整除。4. A由題意得:( )-2

14、嚴(yán)嚴(yán) *5心3V% -iMyw= -Mg j4-2Ky十20-=5.B2 2解：(x +mx+5)(x -3x+n)=x4-3x3+nx2+m3-3mx2+mnx+5x2-15x+5n432=x +(m-3)x +(n-3m+5)x +(m n-15)x+5n不含 x3和 x2項m -3T- 4也可以只找到 x3和 x2項，令系數(shù)等于零，列方程組。整式的除法單項式除以單項式考點(diǎn)掃描掌握單項式除以單項式的運(yùn)算法則，會進(jìn)行單項式除法運(yùn)算。名師精講1 單項式除法法則：兩個單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于 只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。2 單項式除以單

15、項式一般按以下步驟進(jìn)行：(1)把系數(shù)相除，以所得結(jié)果作為商的系數(shù)。(2)把同底數(shù)幕分別相除，以所得結(jié)果作為商的因式。(3)把只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式中考典例1.（四川成都）下列計算中正確的是（）A、a2+2a2=3a4B 2x3 （-x2）=-2x5C、（-2a2）3=-8a5D 6x2憐 2xm=3x2考點(diǎn)：幕的運(yùn)算性質(zhì)，單項式的乘法，單項式的除法評析：該題是一個綜合性考查題，要求對各種運(yùn)算法則都要熟練，特別是積的乘方，冪的乘方，及單項式除以單項式的法則。運(yùn)用法則進(jìn)行計算即可判定出正確選項為Bo數(shù)應(yīng)相減而不是相除真題專練3451.(北京崇文區(qū))_ a a * a

16、=。2.(山東臨沂市)下列計算正確的是()A、c c3=c4B (a5)2=a7C、(a2b)3=a6bD (-2a2)2* (-4a )=13 （北京朝陽區(qū)）下列計算正確的是（）3只26336A、2x 3x =6xB、x +x =x多項式除以單項式說明：選項A 中 a 的指數(shù)應(yīng)不變，不能相加，選項C 中，a 的指數(shù)應(yīng)相乘，選項 D 中 x 的指1052C、x * x =x45-1-1D x * x y=x y4 （安徽省）計算x2y3*（xy）2的結(jié)果是（A、xyB、xC、y2xy答案： 1、a22、A3、D 4、C考點(diǎn)掃描掌握多項式除以單項式的法則，并會運(yùn)用法則進(jìn)行計算。名師精講多項式除以

17、單項式法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的 商相加。表達(dá)式為：（am+bm+cr）* n=am n+bm n+cm* n。注意：（1）多項式除以單項式的結(jié)果仍是多項式，項數(shù)與原多項式相同。（2 ）有多層括號或混合運(yùn)算的習(xí)題，要按照運(yùn)算順序進(jìn)行，結(jié)果要化成最簡形式。說明：本節(jié)內(nèi)容一般與分式結(jié)合在一起命題，單獨(dú)命題較少。多項式除法技巧多項式除以多項式特殊的多項式除法（利用所學(xué)的乘法公式去做）（屮一/）+仏一=盤片&3 -b3) (a +&) - a -b.(異+2亦十仗十b)二魚+ b, (a2- 2at + b3) + (亂辺利用豎式進(jìn)行多項式除法例仁計算解：將被除式與除式均按x 降幕排列原式=(6/ -17/ +22-6) (2%-3)M -4/-心+22A-3)6A4-17A322A-6E -卅-8A3+ 0 -8x3十12/-12? + 22x_ 12/ +1張4齊齊_ 6較-6 0原式=-丄-。例2 .計算（5八卜 2_/T，pH * 2才-箋為解：先將被除式與除式均按x 的降幕（y 的升幕）排