信號(hào)與系統(tǒng)第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

1、信號(hào)與線性系統(tǒng)信號(hào)與線性系統(tǒng)第五章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析第2頁(yè)引言引言第3頁(yè)以以傅里葉變換傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義的結(jié)果有著清楚的物理意義 ，但也有不足之處，傅里葉變，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合換只能處理符合狄利克雷條件狄利克雷條件的信號(hào)，而有些信號(hào)是不滿的信號(hào)，而有些信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，因而其信號(hào)的分析受到限制；足絕對(duì)可積條件的，因而其信號(hào)的分析受到限制；另外在求時(shí)域響應(yīng)時(shí)運(yùn)用傅里葉反變換對(duì)頻率進(jìn)行的無(wú)窮另外在求時(shí)域響應(yīng)時(shí)運(yùn)用傅里葉反變換對(duì)頻率進(jìn)行的無(wú)窮積分求解困難。積分求解困難。 df

2、tt j11( )d( )2tf tF eFf t第4頁(yè)為了解決對(duì)不符合狄氏條件信號(hào)的分析，可利用本章要討論的為了解決對(duì)不符合狄氏條件信號(hào)的分析，可利用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號(hào)變換的范圍。拉氏變換法擴(kuò)大信號(hào)變換的范圍。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。物理概念不如傅氏變換那樣清楚。第5頁(yè)一、拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)一、拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)o 把線性時(shí)不變系統(tǒng)的把線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域模型時(shí)域模型簡(jiǎn)便地進(jìn)行簡(jiǎn)便地進(jìn)行變

3、換變換，經(jīng)求解，經(jīng)求解再再還原還原為時(shí)間函數(shù)。為時(shí)間函數(shù)。o 拉氏變換拉氏變換是求解是求解常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程的的工具工具。o 應(yīng)用拉氏變換：應(yīng)用拉氏變換：o （1 1）求解方程求解方程得到得到簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化。且。且初始條件初始條件自動(dòng)包含在自動(dòng)包含在變換變換式式里。里。o （2 2）拉氏變換將）拉氏變換將“微分微分”變換成變換成“乘法乘法”，“積分積分”變換成變換成“除法除法”。即將。即將微分方程微分方程變成變成代數(shù)方程代數(shù)方程。o 拉氏變換將時(shí)域中拉氏變換將時(shí)域中卷積運(yùn)算卷積運(yùn)算變換成變換成“乘法乘法”運(yùn)算。運(yùn)算。o 利用利用系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的規(guī)

4、律。分析系統(tǒng)的規(guī)律。第6頁(yè)第一節(jié)第一節(jié)拉普拉斯變換拉普拉斯變換第7頁(yè) 1 1、從傅氏變換到拉氏變換、從傅氏變換到拉氏變換有幾種情況不滿足狄有幾種情況不滿足狄里克雷條件：里克雷條件：o u(t)u(t)o 增長(zhǎng)信號(hào)增長(zhǎng)信號(hào)o 周期信號(hào)周期信號(hào)若乘一衰減因子若乘一衰減因子 為任意實(shí)數(shù)，則為任意實(shí)數(shù)，則 收斂，滿足狄里赫利條件收斂，滿足狄里赫利條件) 0( aeatt1costetetf).(tetu)()(.aeetattet1cos第8頁(yè)FT: 實(shí)頻率 是振蕩頻率LT: 復(fù)頻率S 是振蕩頻率， 控制衰減速度tetftf)()(1()1( )( )jtFf t edt( )( )stF sf t

5、e dtjs正LTdsesFjtfjjst)(21)(逆LT第9頁(yè) 1.)()(dtetfjFtj()( )( )( )ttj tjtF ef tf t eedtf t edt ()()( ). 2jtFjf t edtdejFtfetjt)(21)(第10頁(yè)dejFtfj)()(21)(jdsdthenjsif,.( )( )stF sf t edt1( )( )2jstjf tF s e dsj 上式為雙邊拉普拉斯正變換以及反變換；上式為雙邊拉普拉斯正變換以及反變換；Fb(s)稱為稱為f(t)的雙的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），邊拉氏變換（或象函數(shù)）， f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆

6、變的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。換（或原函數(shù)）。 第11頁(yè)2 2、拉氏變換的物理意義、拉氏變換的物理意義o 拉氏變換是將拉氏變換是將時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)f(t)f(t)變換為變換為復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)F(s)F(s)，或作相，或作相反變換。反變換。o 時(shí)域時(shí)域(t)(t)變量變量t t是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)，復(fù)頻域，復(fù)頻域F(s)F(s)變量變量s s是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)。變量。變量s s又又稱稱“復(fù)頻率復(fù)頻率”。o 拉氏變換建立了拉氏變換建立了時(shí)域與時(shí)域與復(fù)頻域復(fù)頻域(s(s域）域）之間的聯(lián)系。之間的聯(lián)系。(cossin)stjwtttsjeewtjtewe看出：將看出：將 頻率頻率變換為變換為復(fù)頻率復(fù)頻率s s,

7、,且且 只能描述只能描述振蕩振蕩的的重復(fù)頻率重復(fù)頻率，而而s s不僅不僅能給出能給出重復(fù)頻率重復(fù)頻率，還，還給出振蕩幅度給出振蕩幅度的的增長(zhǎng)速率或衰減增長(zhǎng)速率或衰減速率速率。第12頁(yè)例例1 因果信號(hào)因果信號(hào)f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解: eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF，無(wú)界，不定Re,1ss可見(jiàn)，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)可見(jiàn)，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Res= 時(shí)，其拉氏變換存在。時(shí)，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。j0收斂域收斂域收斂邊界收斂邊界第13頁(yè)例例2 反因果信號(hào)反因果信號(hào)f2(t)

8、= e t (-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解: eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定無(wú)界)(1.Re,ss可見(jiàn)，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)可見(jiàn)，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Res= 時(shí)，其收斂域?yàn)闀r(shí)，其收斂域?yàn)?Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可見(jiàn)，象函數(shù)相同，但收斂域不同?？梢?jiàn)，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。出收斂域。第16頁(yè)通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)

9、。這樣，點(diǎn)。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換 0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為F(s)=Lf(t) f(t)=L-1F(s) 或或 f(t) F(s)第17頁(yè)lim( )0( )tttf t ef t e收：當(dāng)時(shí)則在拉氏變換的斂域范圍內(nèi)收斂 ftS其中與有關(guān)，過(guò)的垂直線為，在 平面內(nèi)稱收斂軸收斂坐標(biāo)單邊拉氏變換單邊拉氏變換收斂軸收斂軸收收斂斂坐坐標(biāo)標(biāo)jw0收斂區(qū)收斂區(qū)第18頁(yè))(0)(lim0ttetf收斂域收斂域o 有始有終信號(hào)或能量有有始

10、有終信號(hào)或能量有限信號(hào)。限信號(hào)。o 或或等幅振蕩信號(hào)（單位階躍等幅振蕩信號(hào)（單位階躍信號(hào)）和增長(zhǎng)信號(hào)。信號(hào)）和增長(zhǎng)信號(hào)。o 不收斂信號(hào)不收斂信號(hào)但工程技術(shù)中這類函數(shù)不但工程技術(shù)中這類函數(shù)不會(huì)遇到，無(wú)討論必要。會(huì)遇到，無(wú)討論必要。00a0)0(,22 tteetta0jj整個(gè)平面整個(gè)平面以以 為界為界0第19頁(yè)我們通過(guò)求常用函數(shù)的象函數(shù)，我們通過(guò)求常用函數(shù)的象函數(shù)， 掌握單邊拉氏變換的基掌握單邊拉氏變換的基本方法。本方法。 oF(s)=F(j)| s=j的函數(shù)的函數(shù) 當(dāng)拉氏變換的收斂區(qū)包括當(dāng)拉氏變換的收斂區(qū)包括j軸，軸，F(xiàn)(s)可由可由F(j)直接直接得到，僅將得到，僅將j換為換為s，即，即 F

11、(s)=F(j)| s=j 常用函數(shù)的單邊拉普拉斯變換常用函數(shù)的單邊拉普拉斯變換第20頁(yè)1()F jaj已知單邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換asjFsFatuejsat1| )()()0)( )(0),f(t)jateu t a例題：已知f(t)=求的拉解：f(t)的收斂域如圖所示，可見(jiàn)其包括了氏變換。軸，第21頁(yè)2. t的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)eatu(t)（a為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） ()00()0( )( )11|atatsts a ts a tetF se edtedtesasa 01( )( )|atau te u ts利用上面單邊指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換可得：(a)單位階躍函數(shù)第22頁(yè)2222s

12、in() ( )1111sin( )() ( )22cos() ( )1111cos( )() ( )22j tj tj tj tt u ttu teeu tjjsjsjst u tstu teeu tsjsjs(b)單邊正弦函數(shù)(c)單邊余弦函數(shù)()()22( )sin( )1sin( )() ( )21112()atatajtajtdetu tetu teeu tjjsajsajsa單邊衰減正弦函數(shù)第23頁(yè)()()22( )cos( )1cos( )() ( )21112()atatajtajteetu tetu teeu tsajsajsajsa單邊衰減余弦函數(shù)2222( )sinh()

13、 ( )1sinh() ( )() ( )2( )cosh() ( )cosh() ( )ttft u tt u teeu tsgt u tst u ts單邊雙曲正弦函數(shù)單邊雙曲余弦函數(shù)第24頁(yè)3. t的正冪函數(shù)（的正冪函數(shù)（n為正整數(shù)）為正整數(shù)） )()()(|1)()()()(11101000tutLsntutLtutLsndtetsndtetsnetsdtetsFtuttuttfnnnstnstnstnstnnn即即 第25頁(yè)依此類推，依此類推，121!1121)(121)(1)()(nnnnnnsnssssnsntutLsssnsntutLsnsntutLsntutL2233411(

14、)12( )63( )ntu tsnt u tsnt u ts特別的：第26頁(yè)00(4)A ( )A ( )AA ( )1sttt edteLt沖激函數(shù)常用函數(shù)單邊拉氏變換常用函數(shù)單邊拉氏變換第27頁(yè)周期信號(hào)周期信號(hào)fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttfttfttfttfsF00,01e( )ed( )ed1 eTTnsTststTTsTnttnTfttftt 令則特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 第28頁(yè)單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 0de)()(ttfsFstRes 0 tt

15、fFtde)()(jj要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)。必須為因果信號(hào)。 根據(jù)收斂坐標(biāo)根據(jù)收斂坐標(biāo) 0的值可分為以下三種情況：的值可分為以下三種情況： （1） 0-2；則則 F(j )=1/( j +2)第29頁(yè)（2） 0 =0，即即F(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， )(lim)(j0sFF如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjF= () + 1/j （3） 0 0，F(xiàn)(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) ， 2；其傅里葉變換不存其傅里葉變換不存在。在。第30頁(yè)第二節(jié)第二節(jié)拉普

16、拉斯變換拉普拉斯變換的性質(zhì)的性質(zhì)第31頁(yè)一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度變換二、尺度變換若若f(t) F(s) , Res 0，且有實(shí)數(shù)，且有實(shí)數(shù)a0 ，因?yàn)橛懻摰?，因?yàn)橛懻摰氖菃芜吚绽棺儞Q是單邊拉普拉斯變換則則f(at) )(1asFaResa 0 第32頁(yè)o 證 )()()()()()()()(2211220110221102211sFksFkdtetfkdte

17、tfkdtetfktfktfktfkststst線性在實(shí)際應(yīng)用中是用得最多最靈活的性質(zhì)之一。線性在實(shí)際應(yīng)用中是用得最多最靈活的性質(zhì)之一。 例如例如22)11(21)()(21)(cosssjsjstueettutjtj第33頁(yè)o 證證：dteatfatfLasFaatfst)()()/(1)(0其中其中a0 證證 令令 ， 代入上式得代入上式得 dxadtaxtxat1,asFadxexfaatfLxas1)(1)(第34頁(yè)例：如圖信號(hào)例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換的拉氏變換F(s) =)ee1 (e2sssss求圖中信號(hào)求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換的拉氏變換Y(s)。0121f(t)t042

18、4y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss第35頁(yè)三、時(shí)移（延時(shí)）特性三、時(shí)移（延時(shí)）特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實(shí)常數(shù)且有實(shí)常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合與尺度變換相結(jié)合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1例例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1)

19、(t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)第36頁(yè)f(t-t0)u(t-t0) 0)(stesF證：證： 00000() ()()ststf tt u tt edtf tt edt 令令t-t0=x， t=x+t0， 代入上式得代入上式得 000()00( )( )( )s x tststsxf x edxef x edxF s e第37頁(yè)例例2:已知已知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1

20、(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)第38頁(yè)2(2)22s2( )(2)(2)( )( )1( )(1)F(s)F(s)=L(1)L (1) (1)(1)11ess( ).ttLsf tete etef tF sesf ttttttttt 例：已知例：已知，求解：技巧在于函數(shù)向靠攏時(shí)移性還可以用來(lái)求有始周期函數(shù)的拉普拉斯變換第39頁(yè)證明：證明：)()()(0)(0000ssFdtetfdteetftssjsttst00220Lt0220Lt00220ecostsL costs+ecost()esint()sss -例:求的拉氏變換解：已知同理四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s s

21、域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 第40頁(yè)例例:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss2222233222(1)32( )(2)1113(32)39131(32)(1)9sssstssf tf tessssfteessseftes由平移特性有：由尺度變換：第41頁(yè)五、時(shí)域的微分特性（微分定理）五、時(shí)域的微分特性（微分定理）

22、若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)為因果信號(hào)，則為因果信號(hào)，則f(n)(t) snF(s) 第42頁(yè)證明：證明：_)0()()(| )()()()(_0_0_0_0fssFdtetfstfetdfedtedttdfdttdfLstststst_)0(_)0()(_)0(_)0()(_)0()()()()(1121111_022_022ffsFsffssFsfssFdtedttdfdtedttfddttfdLstst依此類推，依此

23、類推， 可以得到高階導(dǎo)數(shù)的可以得到高階導(dǎo)數(shù)的 L 變換變換 _)0()()()(110rrnnrnnnfssFsdttfd第43頁(yè)00000022000000022000220( )sin( ),(0_)0,( )( )cos( )sin( )cos( )(0_)0( )sin( )cos( )sin( )( )( )( )( )f tttfF sftttttttfftttttttts F sF sF ss 例題：求解：兩邊去拉氏變換第44頁(yè)六、時(shí)域積分特性（積分定理）六、時(shí)域積分特性（積分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 )(1d)(0sFsxxfnnt( 1)11(

24、1)()1()1( )( )d( )(0 )( )( )d( )(0 )tnntnnn mmmftf xxs F ssfftf xxsF ssf 例例1: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt第45頁(yè)t00t0000( )( )1( )( )( )ssF( )( )s( )F( )( )ssstststttttffeefff t esffddddddtfdsdd 000-采用分部積分法得：上式第一證明如下：根據(jù)項(xiàng)為0，故定義如果積分區(qū)間從- 開(kāi)始，則LLLL( 1)( 1)(0)( )( )(0)( )ttffF sffssdd則為

25、如用表示L第46頁(yè)例例2:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)如圖如圖 ,求求F(s)f(t)t022解解：對(duì)：對(duì)f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f(t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120)0()(d)( 0ftfxxft由于由于f(t)為因果信號(hào)，故為因果信號(hào)，故f(0-)=0txxftf0d)( )(f(t)=(t)(t 2) 2(t 2) F1(s)221(1 e)2esssssFsF)()(1第47頁(yè)七、卷積定理七、卷積定理 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2

26、(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 121212121( )( )( )()d2jRe ,Re cjcjf t f tFF sssc 第48頁(yè)八、八、s s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(第49頁(yè)例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12tt2

27、11e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12第50頁(yè)九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f()，而不，而不必求出原函數(shù)必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則為假分式化為真分式），則 )(lim)(lim)0(0ssFtffst終值定理終值定理 若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時(shí)存在，并且時(shí)存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則

28、 )(lim)(0ssFfs第51頁(yè)0ssss1( ),(0 )(0 )lim( )lim( )12s( ),(0 )12s2( )2112( )2 ( )s2(0 )lim( )kslimlim2111stF sfsff tsF sF sfsF sssfsF ssf tt 例題：已知求？解：即單位階躍信號(hào)的初始值為1例題：已知求？解（可以看：到含有項(xiàng)）第52頁(yè)例：例：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例：例：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(

29、2ssssF第53頁(yè)第三節(jié)第三節(jié)拉氏反變換拉氏反變換第54頁(yè)拉普拉斯反（逆）變換是將象函數(shù)F(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算。 定義為：dtesFjsFLtfstjj)(21)()(1這個(gè)公式的被積函數(shù)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)， 其積分是沿著收斂區(qū)內(nèi)的直線-j+j進(jìn)行。這個(gè)積分可以用復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算。但一般情況下計(jì)算函數(shù)比計(jì)算積分更容易，因此可以利用復(fù)變函數(shù)理論中的圍線積分和留數(shù)定理求反變換。但當(dāng)象函數(shù)為有理函數(shù)時(shí)，更簡(jiǎn)便的是代數(shù)方法，這種方法稱為“部分分式法”。第55頁(yè)直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法通常的方法 （1）查表）查表

30、（2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi) -結(jié)合結(jié)合 若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫(xiě)為的有理分式，可寫(xiě)為 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理分解為有理多項(xiàng)式多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF第56頁(yè)6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆的拉

31、普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。 部分分式展開(kāi)法部分分式展開(kāi)法若若F(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫(xiě)為，則可寫(xiě)為 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm式中式中A(s)稱為稱為F(s)的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，方程，方程A(s)=0稱為稱為特征方程特征方程，它的根稱為它的根稱為特征根特征根，也稱為，也稱為F(s)的的固有頻率固有頻率（或自然頻（或自然頻率）。率）。n個(gè)特征根個(gè)特征根pi稱為稱為F(s)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。 第57頁(yè)（1）F(s)

32、為單極點(diǎn)（單根）為單極點(diǎn)（單根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii例例:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆變換312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）10010(2)(5)100( )(1)(3)3ssssksF sss其 中第58頁(yè)211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 解 ：333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s ( )1002010313(3)F ssss解：)(e310e203100)(3ttft

33、t第59頁(yè)例例2:32597( ),(1)(2)sssF sss已知求其逆變換( )F s解：長(zhǎng)除法23277223795232223232ssssssssssssss第60頁(yè)12( )212kkF ssss解 ： 分 式 分 解 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 21( )212F ssss)()ee2()(2)( )(2ttttftt第61頁(yè)特例特例：若：若F(s)包含共軛復(fù)根時(shí)包含共軛復(fù)根時(shí)(p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje|)()j(j1j1K2 = K1*j

34、e|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF f1(t)=2|K1|e- tcos( t+ ) (t) 若寫(xiě)為若寫(xiě)為K1,2 = A jBf1(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 第62頁(yè)例例223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆變換23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 1,2, (1,2)pj 2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其 中第63頁(yè)12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k2237(12)(12)5ssksjsj121275555( )12125(2)jjF

35、ssjsjs 解：1,212,55AB )(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttftt第64頁(yè)例例： 求象函數(shù)求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解：解：A(s)=0有有6個(gè)單根，它們分別是個(gè)單根，它們分別是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) ,K4=K3*=(1/

36、2)e-j( /2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= 43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt第65頁(yè)（2）F(s)有重極點(diǎn)（重根）有重極點(diǎn)（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1處有處有r重根，重根， )(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK1!( ),nnnL tts利用復(fù)頻移特性，可得)(e!1)(11111ttnpsLtpnn第6

37、6頁(yè)舉例舉例: :32( ),(1)sF ss s已 知求 其 逆 變 換131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sF ssF ss令11 1112()3spsskFss 其 中112121(2) 1( )2spsdsskFsdss第67頁(yè)12131241114( )222sspdskFsdss 23002()2(1)sssksFss 32( )(1)(1)()Fsssss)()2e2e2e23()(2ttttfttt第68頁(yè)第四節(jié)第四節(jié)復(fù)頻域復(fù)頻域分析分析第69頁(yè)一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解 描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式

38、為階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 nimjjjiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用：用拉普拉斯變換微分特性拉普拉斯變換微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f (t)在在t = 0時(shí)接入系統(tǒng)，則時(shí)接入系統(tǒng)，則 f (j )(t) s j F(s)第70頁(yè)niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()(例例1 描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (

39、t)已知初始狀態(tài)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)，激勵(lì)f (t) = 5cost (t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解解： 方程取拉氏變換，并整理得方程取拉氏變換，并整理得y(t)， yx(t)， yf(t)s域的代數(shù)方程)()()()()()()0()(0000)(101sFsAsBsAsMsFsasbsaysasYniiimjjjniiinipippiiYx(s)Yf(s)第71頁(yè)1522)3)(2(42ssssssjsjssssjj6 .266 .26e5e5243122y(t)= 2e2t (t) e3t (t) _ 4e2t (t) + )()6 .

40、26cos(52tt)(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sFsssssyysysY15)(2sssFYx(s)Yf(s)第72頁(yè)二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為定義為 )()()()()(fdefsAsBsFsYsH它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。)()()()(fsFsAsBsYyf(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yf(s)= L h(t)F(s)第73頁(yè)例例2 已知當(dāng)輸入已知當(dāng)輸入f (t)= e-t (t)時(shí)，某時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)因果

41、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t) (t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解解:65823224) 3)(2()4(2)()()(2fsssssssssFsYsHh(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆變換取逆變換 yf(t)+5yf(t)+6yf(t) = 2f (t)+ 8f (t) 第74頁(yè)三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的

42、s s域框圖域框圖( (只關(guān)心零狀態(tài)響應(yīng)）只關(guān)心零狀態(tài)響應(yīng)） 時(shí)域框圖基本單元時(shí)域框圖基本單元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框圖基本單元域框圖基本單元s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+第75頁(yè)4132f (t)y(t)X(s)s-1X(s)s-2X(s)例例3 如圖框圖，列出其微分方程如圖框圖，列出其微分方程解解 畫(huà)出畫(huà)出s域框圖域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)設(shè)左邊加法器輸出為設(shè)左邊加法器輸出為

43、X(s)， 如圖如圖X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代數(shù)方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) )(2311)(21sFsssX)(23141212sFsss)(23422sFsss微分方程為微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求再求h(t)?第76頁(yè)四、電路的四、電路的s域模型域模型 對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換 1、電阻、電阻 u(t)= R i(t)2、電感、電感 ttiLtuLd)(d)(U(s)= sLIL(s) LiL(0-) sisUsLsILL)0()(1)(i(t)u(

44、t)RI(s)U(s)RLu(t)iL(t)U(s)= R I(s ) U(s)sLIL(s)LiL(0 -)IL(s)sLiL(0 -)/sU(s)或元件元件的的s域域模型模型第77頁(yè)3、電容、電容 ttuCtiCd)(d)(I(s)=sCUC(s) CuC(0-) susIsCsUCC)0()(1)(I(s)UC(s)CuC(0 -)或sC1suC)0(sC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)4、KCL、KVL方程方程 0)(ti 0)(tu 0)(sI 0)(sU第78頁(yè)1. 積分微分方程的拉普拉斯變換 列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；

45、 直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。域模型建立代數(shù)方程。求解求解s s域方程。域方程。( )( )F sf t，得到時(shí)域解答。，得到時(shí)域解答。第79頁(yè)+-R(t)e(t)LC( )( )( )tRi tide t例：如圖所示的電路，激勵(lì)電壓為e(t),響應(yīng)電流為i(t)，列微積分方程為：di(t)1LdtCCCLs ( )(0)(0)UI( )ULLtI sLiiid 對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并且由拉普拉斯變換的微分性質(zhì)有di(t)Ldt反映初始磁場(chǎng)儲(chǔ)能的電感中的初始電流。同樣由拉普拉斯變換積分性有：(0)1(s)CCss(0)反映初始電場(chǎng)儲(chǔ)能的電容中的初始電壓LL第80頁(yè)CC

46、CUILs ( )(0)R ( )( )UU( )(0)( )(0)( )1( )Ls+R+( )LLLI sLiI sE sE sLiE sLiI sZ sI s從而可得到微分方程的拉普拉斯變換為(0)(s)Css利用此代數(shù)方程可得復(fù)頻域中的響應(yīng)為：(0)(0)ssCs對(duì)求拉普拉斯反變換即可得時(shí)域解i(t).因?yàn)槌跏紬l件都已包含，因此所得是響應(yīng)的全解。第81頁(yè)2. 從信號(hào)分解的角度看拉普拉斯變換從信號(hào)分解的角度看拉普拉斯變換事實(shí)上在事實(shí)上在s域中電感和電容的運(yùn)算阻抗與等幅正弦信號(hào)的運(yùn)算阻抗域中電感和電容的運(yùn)算阻抗與等幅正弦信號(hào)的運(yùn)算阻抗1s,ssj Lj Cj及具有相同的形式，只不過(guò)在運(yùn)算阻

47、抗中用 代替了復(fù)數(shù)阻抗中的這樣就可以很方便的從 域的電路模型直接列出 域的方程來(lái)直接求解。第82頁(yè)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)s域等效模型及其響應(yīng)求解方法域等效模型及其響應(yīng)求解方法 將網(wǎng)絡(luò)中激勵(lì)、響應(yīng)以及所有元件分別用將網(wǎng)絡(luò)中激勵(lì)、響應(yīng)以及所有元件分別用s域等效模型表域等效模型表示后，得到網(wǎng)絡(luò)示后，得到網(wǎng)絡(luò)s域等效模型域等效模型 (運(yùn)算電路運(yùn)算電路)。利用網(wǎng)絡(luò)的。利用網(wǎng)絡(luò)的s域等效模型，可以用類似求解直流電路的方法在域等效模型，可以用類似求解直流電路的方法在s域求解域求解響應(yīng)，最后再經(jīng)反變換得到所需的時(shí)域結(jié)果。響應(yīng)，最后再經(jīng)反變換得到所需的時(shí)域結(jié)果。第83頁(yè)圖 一個(gè)RLC電路系統(tǒng)第84頁(yè)圖圖 上圖中電路的上圖中電路的s域網(wǎng)絡(luò)模型域網(wǎng)絡(luò)模型第85頁(yè)例例 電路如圖所示，激勵(lì)為電路如圖所示，激勵(lì)為e(t)，響應(yīng)為，響應(yīng)為i(t)，求，求s域等效模型及響域等效模型及響應(yīng)的應(yīng)的s域方程。域方程。解：依據(jù)解：依據(jù)s域等效模型（運(yùn)算等效電路），列網(wǎng)孔方程域等效模型（運(yùn)算等效電路），列網(wǎng)孔方程: sLisEsICsRLsCL_)0(_)0()()(1解出解出 )(/_)0(_)0()(/1/_)0(_)0()()(sZsLisECsRLssLis