一元函數(shù)微分公式

1、一元函數(shù)微分公式一元函數(shù)微分公式【大 小】【打印】【關(guān)閉】啟航考研數(shù)學(xué)系列精講之二一元函數(shù)積分的計算(一)一元函數(shù)積分包括不定積分與定積分，以及作為定積分推廣的廣義積分 對于不定 積分需要掌握的，除了原函數(shù)與不定積分的概念與基本性質(zhì)外，就是基本積分公式與兩種 基本積分方法。這是因為任何積分過程最終都要化為基本積分公式中已有的形式，否則就 需要再進一步簡化，而兩種基本的積分方法，變量替換法(換元積分法)與分部積分法是 簡化積分的主要方法。除此之外，一些特殊的積分方法，如：有理函數(shù)積分法、三角函數(shù) 有理式的積分法、某些簡單無理式的積分法等，則是在特定情況下的特殊方法。由于不定積分的計算是最基本的，

2、它滲透于一切積分之中，所以這里將不單獨予以講 述，而是將其融合于定積分的計算之中。為了幫助讀者查找，在分類講述例題之前將列出 基本積分公式。借助于牛頓萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式，定積分可化為被積函數(shù)的任一原函 數(shù)在積分上限與下限兩點函數(shù)值的差。這樣，只要能求出原函數(shù)就解決了定積分的計算問 題，而求原函數(shù)則是不定積分所解決的問題。然而，定積分的計算過程并不是分為求原函 數(shù)與求原函數(shù)在上、下限函數(shù)值的差兩個步驟，而是把兩者結(jié)合起來。這樣，如同不定積 分一樣，定積分也有兩個基本方法，那就是變量替換法與分部積分法。牛頓萊布尼茲公式的基礎(chǔ)是關(guān)于變限積分求導(dǎo)數(shù)的定理，同時在如何求極限的部分

3、 也涉及到，這里就不再重復(fù)了。一、定積分的變量替換法定理 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，代換x=0滿足條件：(t)在a ,卩上連續(xù)；(2)(a)=a,(卩)=b，并且當(dāng)at3時，a0(t)0)上連續(xù)，則有： 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時； 當(dāng)f(x)為奇函數(shù) 時。注(1)類似的性質(zhì)重積分與第一類曲線(或曲面)積分也有，只是第二類曲線(或曲面)積分因為涉及方向問題要特別注意。(2)關(guān)于奇、偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)也有一些值得注意的性質(zhì)，其中重要的是：偶 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)；奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；奇函數(shù)的原函數(shù)為偶函數(shù)，但是，偶 函數(shù)的原函數(shù)不一定是奇函數(shù)。3周期函數(shù)的積分定理假定連續(xù)函數(shù)f(x)以T為

4、周期，即對于任意的實數(shù)x:f(x+T)=f(x)，那么，即在任何長度為了的區(qū)間上的積分值是相等的。4某些不易求原函數(shù)的定積分依照牛頓萊布尼茲公式計算定積分，就必須先求原函數(shù)，然而有的原函數(shù)不易求， 卻能夠通過變量替換使被積函數(shù)變形，并從中找到解決問題的途徑。廣義積分是定積分的推廣，這個推廣是針對定積分的兩個基本約定作出的。這就是取 消積分區(qū)間有限的約定，則為無窮限的廣義積分；取消被積函數(shù)有界的約定，則為無界函 數(shù)的廣義積分(即瑕積分)。1無窮限廣義積分的概念若f(x)在a,+ g)上連續(xù)，則(2)若f(x)在(-g,b上連續(xù)，則(3)若f(x)在(-g,+g)上連續(xù)，則右端極限存在，則稱廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散。(9)式要求右端兩個廣義積分同 時收斂，有一個發(fā)散則稱發(fā)散。2無界函數(shù)廣義積分的概念(1)若f(x)在a,b)上連續(xù)，在b點的左鄰域無界，則(2)若f(x)在(a,b上連續(xù)，在a點的右鄰域無界，貝V(3)若f(x)在a,b上除點c外均連續(xù)，在點c的鄰域內(nèi)無界，則與無窮限的廣義積分一樣，右端的極限存在稱為收斂，否則為發(fā)散。(12)式要求右端 兩個廣義積分均收斂。無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分，被積函數(shù)在其鄰域內(nèi)無界的點 稱為瑕點。3四個