隨機變量及其分布列版本塊四事件獨立性學生版本

1、獨立事件的判斷2LLL1迄知識內容1. 離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個隨機變量.隨機變量常用大寫字母X , Y, 111 表示.如果隨機變量X的所有可能的取值都能列舉出來，那么稱X為離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列將離散型隨機變量 X所有可能的取值Xi與該取值對應的概率 p (i =1, 2, III, n)列表表示：XX1X2XiXnPP1p2PiPn我們稱這個表為離散型隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列.2. 幾類典型的隨機分布兩點分布如果

2、隨機變量X的分布列為X10PpqX服從參數(shù)為p的二點分布.其中0 ： p ：1 , q =1 - p，那么稱離散型隨機變量二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產品合格記為1，不合格記為0,產品的合格率為80%，隨機變量X為任意抽取一件產品得到的結果，那么X的分布列滿足二點分布.X10p0.80.2兩點分布又稱0-1分布，由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分 布又稱為伯努利分布.超幾何分布一般地，設有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n < N), 這n件中所含這類物品件數(shù) X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為m n -mP(X =m)二

3、 M 3 (0 W m w l , l 為 n 和 M 中較小的一個). CN我們稱離散型隨機變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布， 也稱X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道N , M和n ,就可以根據公式求出 X取不同值時的概率 P(X二m)，從而列出X的分布列.二項分布1 獨立重復試驗如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結果A及A，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，重復地做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復試驗.n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 巳(k)=cn Pk(1p)n±(k=o, 1,2,

4、川，n).2. 二項分布假設將事件A發(fā)生的次數(shù)設為X，事件A不發(fā)生的概率為q =1 -P，那么在n次獨立重復 試驗中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率是P(X =k)pkqn±，其中k =0,1, 2，山，n 于是得到X的分布列X01knP廠00nCn p q“1 n 1Cn p q _ k k n kCn p q 一n n 0Cn p q由于表中的第二行恰好是二項展開式(q0nC0 pnq-1 Cf1 pq- hC knknnp n q Cpq各對應項的值,所以稱這樣的散型隨機變量X服從參數(shù)為n , p的二項分布，記作X B(n.p).二項分布的均值與方差：假設離散型隨機變量X服從參數(shù)為

5、n和p的二項分布，那么E(X)二np , D(x) = npq (q =1 - p).正態(tài)分布1. 概率密度曲線：樣本數(shù)據的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據看作隨機變量X，那么這條曲線稱為X的概率密度曲線.曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是1，而隨機變量X落在指定的兩個數(shù)a, b之間的概率就是對應的曲邊梯形的面積.2正態(tài)分布定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，那么表示這樣的 隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布

6、的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量.1(x-h2正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為f(x)=丁1 e盯，2 nR，其中，二是參數(shù)，且二 0 ,；式中的參數(shù)和二分別為正態(tài)變量的數(shù)學期望和標準差期望 為、標準差為二的正態(tài)分布通常記作 N(),匚2).正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.標準正態(tài)分布：我們把數(shù)學期望為 0,標準差為1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布.重要結論: 正態(tài)變量在區(qū)間(-；，；-) , (二-2；二=；2二),(.二-3；，二廠3匚)內，取值的概率分 別是 68.3% , 95.4% , 99.7% .正態(tài)變量在(-二,：)內的取值的概率為1 ,在區(qū)間(.二-3二， 3

7、刁之外的取值的概率是0.3% ,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x二.i三倍標準差之內，這就是正態(tài)分布的3二原 那么.x假設 N, -2) , f(x)為其概率密度函數(shù)，那么稱F(x)=P x)二 f(t)dt為概率分布t2函數(shù)，特別的，二 N(0,12)，稱0(x) = f 丄dt為標準正態(tài)分布函數(shù).CT5岳P(X)= (X，).cr標準正態(tài)分布的值可以通過標準正態(tài)分布表查得. 分布函數(shù)新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可.3. 離散型隨機變量的期望與方差1.離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能的取的值是為,X2 ,，xn，這些值對應的概率是 小,卩2

8、，pn，那么E(X)卞伯* X2P2乂阿，叫做這個離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望(簡稱期望).離散型隨機變量的數(shù)學期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平.2. 離散型隨機變量的方差一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是X, , X2 ,，Xn，這些值對應的概率是p, ,P2,Pn，貝VD(X)r(XlE(x)2pi(X2 E X )2P2 HIXn- EX )$Pn 叫做這個離散型隨機變量X的方差.離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大小(離散程度).D(X)的算術平方根D(x)叫做離散型隨機變量 X的標準差，它也是一個衡量離散型隨 機變量波動大小的

9、量.3. X 為隨機變量，a ,b 為常數(shù)，那么 E(aX baE(X) b , D(aX，b)二a2D(X);4. 典型分布的期望與方差：二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為p，在n次二點分布試驗中，離散型隨機變量 二項分布：假設離散型隨機變量X的期望取值為np .X服從參數(shù)為n和p的二項分布，那么 E(X)二np ,D(x)二 npq (q =1 _ p).超幾何分布：假設離散型隨機變量X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布,nM那么 E(X):ND(X)二n(N n)(N M )MN2(N -1)4. 事件的獨立性如果事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，

10、即 P(B|A)二P(B), 這時，我們稱兩個事件 A, B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件.如果事件A , A2 ,，An相互獨立，那么這n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā) 生的概率的積，即p(A nA? nnAn) =p(a)卩傀)卩(人),并且上式中任意多個事 件A換成其對立事件后等式仍成立.5. 條件概率對于任何兩個事件 A和B，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號PB|A 來表示把由事件A與B的交或積，記做D=A.B 或D = AB .典例分析【例1】判斷以下各對事件是否是相互獨立事件容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球， 從8個球中任意取出1個，取出

11、的 是白球與 從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球 一筐內有6個蘋果和3個梨，從中任意取出1個，取出的是蘋果與 把取出的蘋 果放回筐子，再從筐子中任意取出1個，取出的是梨甲組3名男生、2名女生；乙組2名男生、3名女生，今從甲、乙兩組中各選 1名 同學參加演講比賽，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生【例2】 假設A與B相互獨立，那么下面選項中不是相互獨立事件的是A. A 與 A【例3】從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A =抽到K ,B=抽到的牌是B. A與 BC. A 與 BD. A 與 B黑色的,問事件A , B是否獨立？【例4】 甲，乙兩袋中分別裝有編號為1, 2, 3, 4的四個球.今從甲，乙兩袋中各取出一球，設A=從甲袋中取出的是偶數(shù)號球 , B=從乙袋中取出的是奇數(shù)號球 , C =從兩袋中取出的都是偶數(shù)號