2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——隨機(jī)變量及其分布：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布學(xué)案

1、曲線是單峰的，它關(guān)于直線X=U對(duì)稱(chēng):二項(xiàng)分布與正態(tài)分布【考點(diǎn)梳理】1.條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)P(AB設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且RA) 0，稱(chēng)RB|A=P(A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0wRB A0)./2Hcr正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸上方，與x軸不相交，與x軸之間的面積為 1；213曲線在x=卩處達(dá)到峰值-莎寸 2n4當(dāng)卩一定時(shí)，曲線的形狀由(T確定，(T越小，曲線越瘦高，表示總體的分布越集中；6越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值1P( 11-6 XW卩+ 6)=0.6826;2R1 26Xw 1 +26)

2、=0.9544;3F(1-36X i +36)=0.9974.【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、條件概率【例 1】(1)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為 1 的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGHT,B表示事件“豆子落在扇形OHE陰影部分)內(nèi)”，貝 UF(B|A) =_ .11 丄P AB2n1.故RB|A)=T=；n(2)某個(gè)電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為2，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為11，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為答案(1)解析(1)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)寧寧=2.事件

3、AB表示S圓On XIn12 XI2SAEOH22 S圓On X12n“豆子落在EOH內(nèi) ”，貝 UP(AB3(2)設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A, “第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B,則由題意可得RA) = 2,P(AB= 5 則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概4P(AB52 丄率是NBA=p(Ar=T=5.故選C.2【類(lèi)題通法】2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.從 1 , 2, 3, 4, 5 中任取 2 個(gè)不同的數(shù)，事件A=“取到的 2 個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2 個(gè)數(shù)均為偶數(shù)” ，則P(

4、B|A)=()1121A.8B.4C.5D.2答案B、C3+ d 4 2C 1、解析 法一P(A) = & = 10= 5,P(AB=吾=10.由條件概率計(jì)算公式，得RBA=丄P(AB10= 1P(A)= 2 = 4.5法二 事件A包括的基本事件：(1 , 3) , (1 , 5) , (3 , 5) , (2 , 4)共 4 個(gè).事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2 , 4) 一種情形，即n(AB= 1.故由古典概型概率RB|A) =n(A?= n(A)42 .某盒中裝有 10 只乒乓球，其中 6 只新球、4 只舊球，不放回地依次摸出2 個(gè)球使用,在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概

5、率為()解析第一次摸出新球記為事件A,則P(A)= 3,第二次取到新球記為事件B，則HAB1.利用定義，分別求RA)和P(AE)，得RBA)=P(AB，這是求條件概率的通法交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB，得R B A)n(ABn(A)3_55_951C21=CT 3,P(AB)3 5 P(B| A) -.P(A)3 95考點(diǎn)二、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例 2】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò) 3 個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇1 1 1到紅燈的概率分別為-，3，4.(1) 記X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列;(2) 若有 2 輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求

6、這2 輛車(chē)共遇到 1 個(gè)紅燈的概率.解析(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0, 1, 2, 3.所以隨機(jī)變量X的分布列為:X0123P11111424424(2) 設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為F(Y+Z= 1) =F(Y= 0,Z= 1) +F(Y= 1,Z= 0)=RY= O)RZ= 1) +P(Y= 1)RZ= 0)1 11 11 1 11=4X24+ 24X4=48.【類(lèi)題通法】求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法1利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解2正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手1x

7、-=41124，1 1 1p(x=3)=尹 3x4=124.所以這 2 輛車(chē)共遇到111 個(gè)紅燈的概率為 4g.P(X= 0)=P(X= 1)=P(X= 2)=6計(jì)算.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】23某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和現(xiàn)安排甲組研發(fā)新35產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立(1) 求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2) 若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 120 萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 100 萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列.解析記E= 甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功 ,F= 乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功，由題設(shè)知P(E)=-,3132P(E) = 3

8、,P(F) = 5,RF)= 5,且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相互獨(dú)立.1 2 2于是RH) =P(E)P(F) =5 =亦,設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為 0,100,120,220,因?yàn)镻(X= 0) =P(E F)12 2=x一=,35 151331P(X=100)=REF) = 3x5 = 135= 5,224P(X=120)=REF)=jx5=15,2 362P(X=220)=REF=3X5=15=5.故所求的分布列為X0100120220P2142155155考點(diǎn)三、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例 3】空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQuality Index，簡(jiǎn)稱(chēng) AQI

9、)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空(1)記H 至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則H=E F,故所求的概率為2RF) = 1-RH) = 1 -亦137氣質(zhì)量按照 AQI 大小分為六級(jí)：050 為優(yōu)；51100 為良；101150 為輕度污染；151200為中度污染；201300 為重度污染；300 以上為嚴(yán)重污染.8一環(huán)保人士記錄去年某地六月10 天的 AQI 的莖葉圖如圖(1) 利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI 100)的天數(shù)；(2) 將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取3 天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為E，求E的分布列.解析(1)從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為該樣本中空

10、氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為3從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為30X2= 18.53(2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為-,E的所有可能取值為(3 ?27P(三=3)= 5 =石 5,E的分布列為E0123P8365427P(P(2=1)=“52=36125,2,空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為1, 2, 3,且E5.8125,54125,9125125125125【類(lèi)題通法】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式RX=k) =Upk(1 p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)

11、試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3) 該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值.由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65) , 65 , 75) , 75 , 85內(nèi)的頻率之比為4 : 2 ： 1.(1) 求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率；(2) 若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3 件，記這 3 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間45 , 75)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X,求X的分布列.解析(1)設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率為x,則

12、落在區(qū)間55 , 65),65 , 75)內(nèi)的頻率分別為 4x, 2x.依題意得(0.004 + 0.012 + 0.019 + 0.030)X10+ 4x+ 2x+x= 1,解得x= 0.05.所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率為 0.05.(2)由(1)得，這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間45 , 75)內(nèi)的頻率為 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6，將頻率視為概率得p= 0.6.從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3 件，相當(dāng)于進(jìn)行了3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n= 3,p= 0.6.因?yàn)閄的所有可能取值為 0, 1, 2, 3,10且P(X=

13、0)=CX0.60X0.43=0.064,P(X=1)=C3X0.61X0.42=0.288,11P(X=2)=C3x0.62X 0.41=0.432,p(X=3)=C3x0.63X0.40=0.216,所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216考點(diǎn)四、正態(tài)分布【例 4】(1)已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N(2,d2)，且P(E4) = 0.8 ,則P(0E2)=()1 1F(E4)=1-F(E4)=1-0.8=0.2,F(0E2)=F(0E4)=q1P(E4)=2(10.20.2)=0.3.1 2PMWEWIOO(2)由題意，知P(E110) = 尸=0.2，所以該

14、班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?110分以上的人數(shù)約為 0.2X50= 10.【類(lèi)題通法】對(duì)于正態(tài)分布N卩，d2)，由x=卩是正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸知：(1)對(duì)任意的a,有F(X 卩+a); (2)P(Xx。); (3) RaXb) = RXb) P(Xa).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1 .設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N(1,d2)，若 RE2) = 0.8，則P(0E1)的值為_(kāi).答案0.3解析P(0E1) =P(E2) RE1) = 0.8 0.5 = 0.3.2.某地高三理科學(xué)生有 15 000 名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)E服從正態(tài)分布 N100,A. 0.6.0.4.0.3.0.2(2)某班有 50 名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)E(E N)近似服從正態(tài)分布 N(100 , 102)，已 100) = 0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10 分以上的人數(shù)約為答案解析(1)