2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案文北師大版

1、第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題 解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.雙基自主測(cè)評(píng)雙基自主測(cè)評(píng)| |櫛優(yōu)識(shí)昭本懵力全収固（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 72 頁(yè)）基礎(chǔ)知識(shí)填充1 等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)（不為零）,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q 表示，定an+1*義的表達(dá)式為=q（n N,q為非零常數(shù)）an（2） 等比中項(xiàng)：如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)G使得a,G, b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比 數(shù)列的定義，G=G G2=ab,G=ab,那么G叫作a

2、與b的等比中項(xiàng).即：G是a與b的等比中項(xiàng)？a,G, b成等比數(shù)列？G=aB.2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式（1） 通項(xiàng)公式：& =a1qn_1（2） 前n項(xiàng)和公式：已知&是等比數(shù)列，S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若k+I=n(k,l,m,n N+)，則有aka=am an.等比數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)q= 1 時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)列.相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數(shù)列，公比為q.當(dāng)qM 1，或q= 1 且n為奇數(shù)時(shí)，Sn,S2nSn,S3nSn仍成等比數(shù)列，其公比為nq_.知識(shí)拓展考綱傳真1.理解等比數(shù)列的概念2 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)

3、公式與前n 項(xiàng)和公式.3.能在.4. 了3.naS=a1等比數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)q1,a 0 或 Ovqv1,a1 1,a1 0 或 0q0 時(shí)，數(shù)列an是遞減數(shù)列;qi1-qn1-q2()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090168】a1+a2=a1+aq= 6,則由升 Sa3=aq= 8,所以a6=a1q5= 64,故選 A.(教材改編)在 9 與 243 中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q,由題意知，33243 = 9Xq,q= 27,二q= 3.插入的兩個(gè)數(shù)分別為 9X3= 27,27X3= 81.1.“&= ab”是“a,G, b成等比數(shù)列”的必要不充

4、分條件.2.若qz0,qz1,貝US= kkqn(kz0)是數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k-.I q基本能力自測(cè)1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”(1) 滿足an+1=qan(n N,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.(2)G為a,b的等比中項(xiàng)？G=aB.()(3)若an為等比數(shù)列，bn=a2n1+a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列.aIaS=1 a(4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為答案X(2)X(3)X(4)X2. (2018 廣州模擬)已知等比數(shù)列a，的公比為一 2,3.A.C.a1+a3+a5I a2+a4+a6a1+a3+a512a1

5、+a3+a5(2017 東北三省四市一聯(lián)B.D.=2.)等比數(shù)列an中,an0,a1+a2= 6,a3= 8,貝Va6=A.64B.128C.256設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,D. 512X a1= 2, 解得/q= 2ai=18,或32q=3(舍去),4.(212, a1+a3+a5,則a+寸的值是(35. (2018 長(zhǎng)春模擬)在數(shù)列an中，ai= 2,an+1= 2an,S為an的前n項(xiàng)和.若S= 126,6ai= 2,an+1= 2an,數(shù)列an是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列.又 S= 1262等比數(shù)列的基本運(yùn)算釦 (1)(2018 合肥模擬)已知S是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列a

6、n的前n項(xiàng)和，a2a4= 16,S3= 7,貝Ua8=()A. 32C. 128D. 256已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1+a4= 9,a2as= 8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于規(guī)律方法1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,n,q,an,S,般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.2 .在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，在運(yùn)算過(guò)程中，應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算.變式訓(xùn)練 1 (1)在等比數(shù)列an中，a3= 7,前 3 項(xiàng)和S3= 21,則公比q的值為=126，解得n= 6.1 2題型分類突破題型分類突破I設(shè)等比數(shù)列的公比為f3八a1+ag=

7、 9,q,則有L3Q1q= 8,解得a=1，q=2f1= 8,或i1q=又an為遞增數(shù)列， F，q=* 2,n1 2 n s= 122 =21.B. 64(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 72 頁(yè))4A. 11B2C.D. 1 或舟設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S,若 27a3a6= 0,則頭【導(dǎo)學(xué)號(hào):gq = 7,C28 (1)根據(jù)已知條件得a+aq+詢=21,2十得= 3.q整理得 2q2q 1 = 0,由題可知an為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,所以a3=,a1 一q/口a1| 一 3q= 3,由Sn=，得S6=-1 q=aq5，所以a11 361 31 3a1- 33=28./ 6 )136r S3

8、=1 3,0325aq,a6=眄a11 331 3-00090169】-,所以 27a1q2S6一，所以：=I(2016 lESfl等比數(shù)列的判定與證明/ Vann項(xiàng)和 S= 1 +入an,其中入工 0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式;31，求一若S5= 32,求入.解(1)證明：由題意得a1= S= 1+入a1,入工 1,a1=1，故a1M0.I 人S= 1+ 入an,S+1= 1+ 入an+1得an+i=入an+i入an,an+1(入一 1)=入an.a1豐0,入工0得an工 0,所以入入一 1.1因此an是首項(xiàng)為，公比為1 入宀的等比數(shù)列,一 11是an=x_n11入入一 1.

9、2 分3 分5 分7 分由(1)得Sn= 1 510 分6規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法定義法：若二一 =q（q為非零常數(shù)，n N*），則an是等比數(shù)列.an等比中項(xiàng)法：若數(shù)列an中，anM0,且an+1=anan+2（n N*），則數(shù)列an是等比數(shù)列.通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an=cqn（c,q均是不為 0 的常數(shù)，n N），則an是等比數(shù)列.說(shuō)明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定.變式訓(xùn)練 2 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,數(shù)列bn中，b1=a,bn=anan-1(n2)，且an+ S=n.(1) 設(shè)Cn= & 1,求證：Cn是等比數(shù)列；(2)

10、 求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.解(1)證明：Tan+S= n,an+1+Sn+1=n+ 1,一得an+1an+an+1= 1，即卩 2an+1=an+ 1,2(an+1 1) =an 1，即卩 2Cn+1=Cn.3 分Cn+11從而CnM0，. &=2當(dāng)n2時(shí)，bn=anan-1=I2卜1G)?=2).I 1.數(shù)列Cn是以一 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列3132,132.12 分, 1 由a1+ Si = 1 得a1=,由(1)知Cn=又 6 =an 1 ,.an= 6 + 1 =10 分7又b1=a1= 2，適合上式，故.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)(2016-安徽六安中綜合訓(xùn)練）在各項(xiàng)

11、均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若bn=卽.12 分1am-1= 2am（2），數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n,若T?m-1= 512，則m的值為（）am+A. 4B. 58C. 6D. 7Sss設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若 3，則 =()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090170】A. 2B.D. 3(1)B (2)B 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a計(jì)1am1=am= 2am(m2)，所以am= 2,即數(shù)列an為常數(shù)列，an=2，所以T2m1= 22m1= 512 = 29，即卩 2m-1= 9,所以 m= 5,故選 B.法一:t由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得SB, SsSB, S9Ss仍成等比數(shù)列，由已知得Ss=3S3,.S

12、DS3S9SoS7S =S$，即S9 S= 4S3,S9= 7S3,.S= 3.法二:S6S3=1+a4+6= 1 +q3= 3，所以q3= 2.a1+a2+a3S9則S6=931 q1 2 71 q1 2 3規(guī)律方法 1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)， 要注意挖掘隱含條件， 利用性質(zhì)， 特別是 性質(zhì)“若mn=p+q,則aman=apaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.2 .等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.1變式訓(xùn)練 3(1)(2017 合肥三次質(zhì)檢)在正項(xiàng)等比數(shù)列a

13、n中 ,a1 008a1 009=, 則 lga1100+ lga2+ + lga2 016=()A. 2 015B. 2 016C. 2 015D. 2 0162 2 2 2(2018 湖北六校聯(lián)考)在數(shù)列an中，a1= 1,an+1= 2an，貝yS=a1a2+a3a4+a2n1a2n等于()A. 3(2n 1)14nB. -(1 24)C. 3(4n 1)D. $1 - 2n)1 008(1) D (2) B (1)lga1+ lg 比+ lga2。但=lga1a2a2 016= lg( a008a1 009)= lg1 0082 1 008=lg(10)= 2 016，故選 D.A. 4B