動力學基本定律20121129 (1)

1、yyyy年M月d日21-1 21-1 質點和質點系質點和質點系 動力學研究物體的機械運動與受力之間的關系，并涉及物動力學研究物體的機械運動與受力之間的關系，并涉及物體的力學屬性，如質量、轉動慣量等。體的力學屬性，如質量、轉動慣量等。 運動學只是從幾何觀點來分析物體的運動，并不涉及使運動學只是從幾何觀點來分析物體的運動，并不涉及使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的物理原因；物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的物理原因； 靜力學研究了力系的平衡條件，但未討論當物體受不平靜力學研究了力系的平衡條件，但未討論當物體受不平衡力系作用時衡力系作用時其其運動狀態(tài)將怎樣變化；運動狀態(tài)將怎樣變化； 動力學的基礎是牛頓提出的動力學基本定律

2、。本章介紹這動力學的基礎是牛頓提出的動力學基本定律。本章介紹這些定律，再由此導出質點運動微分方程，并討論質點動力學兩些定律，再由此導出質點運動微分方程，并討論質點動力學兩類問題的解法。類問題的解法。質點系質點系有限個或無限個質點的集合。有限個或無限個質點的集合。質點質點體積和形狀和大小尺寸可以忽略不計的物體。體積和形狀和大小尺寸可以忽略不計的物體。剛體剛體各質點間距離保持不變的特殊質點系各質點間距離保持不變的特殊質點系注：理想模型注：理想模型 21-2 21-2 動力學基本定理動力學基本定理牛頓（牛頓（1642164217271727）第一定律（慣性定律）第一定律（慣性定律） 質點如不受任何外

3、力的作用，則將保持質點如不受任何外力的作用，則將保持靜止或作勻速直線運動。靜止或作勻速直線運動。自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理1、定律指出質點有保持其原有運動狀態(tài)（即速、定律指出質點有保持其原有運動狀態(tài)（即速度的大小和方向）不變的屬性度的大小和方向）不變的屬性慣性。慣性。2、定律還指出，若質點的運動狀態(tài)發(fā)生改變，、定律還指出，若質點的運動狀態(tài)發(fā)生改變，則必定受到其他物體的作用則必定受到其他物體的作用力。力。 質量因受力作用而產(chǎn)生的加速度，其方向與力質量因受力作用而產(chǎn)生的加速度，其方向與力相同，大小與力成正比。相同，大小與力成正比。即即maF 第二定律（力與加速度之間的關系定律）第二定律（

4、力與加速度之間的關系定律）vaF1 1、質量是質點慣性的度量。、質量是質點慣性的度量。mgP 2 2、力與加速度是瞬間關系。、力與加速度是瞬間關系。對自由落體對自由落體 建立了物體的重量建立了物體的重量與質量間的關系。與質量間的關系。第二定律是質點動力學的基本方程。第二定律是質點動力學的基本方程。 兩質點間相互作用的力，總是大小相等，方向兩質點間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，沿著兩點連線分別作用在兩質點上。相反，沿著兩點連線分別作用在兩質點上。第三定律對于質點系動力學有重要意義。第三定律對于質點系動力學有重要意義。第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 若質點同時受到

5、幾個力的作用，則其加速度等于若質點同時受到幾個力的作用，則其加速度等于各力分別作用于該質點時所產(chǎn)生的各加速度的矢量和。各力分別作用于該質點時所產(chǎn)生的各加速度的矢量和。nFFF、21 設質量為設質量為m m的質點受到力的質點受到力 的作用，的作用，按第四定律，其加速度為按第四定律，其加速度為naaaa21第四定律（力的獨立作用定律）第四定律（力的獨立作用定律）其中其中又設又設nRFFFF21則有則有nnamFamFamF,2211amamamamFnR21nFFF、21 設質量為設質量為m m的質點受到力的質點受到力 的作用，的作用，按第四定律，其加速度為按第四定律，其加速度為naaaa21經(jīng)典

6、力學經(jīng)典力學由上述定律由上述定律(牛頓牛頓)建立起的力學體系。建立起的力學體系。它適用于宏觀、低速運動的物體它適用于宏觀、低速運動的物體慣性參考系慣性參考系動力學基本定律適用的參考系，如動力學基本定律適用的參考系，如日心參考系日心參考系地心參考系地心參考系忽略了地球繞太陽公轉的影響，已忽略了地球繞太陽公轉的影響，已有足夠的精度。有足夠的精度。21-3 21-3 質點運動的微分方程質點運動的微分方程由第二定律由第二定律或或iRFFamiFtvmddMiFtrm22ddvroaRF矢量形式的質點運動的微分方程矢量形式的質點運動的微分方程xiFxmMiFtvmddvxzyroaRF 直角坐標形式的質

7、點直角坐標形式的質點運動的微分方程運動的微分方程ziFzmyiFym自然坐標形式的質點運動的微分方程自然坐標形式的質點運動的微分方程inFvm2niRFFam第一類問題第一類問題已知質點的運動規(guī)律，求質點所受的力。已知質點的運動規(guī)律，求質點所受的力。)(),(),(tzztyytxx微分問題微分問題21-4 21-4 質點動力學的兩類問題質點動力學的兩類問題注：與靜力學不同的是，動力學中的約束力注：與靜力學不同的是，動力學中的約束力大小不僅與質點所受的主動力有關，而且與大小不僅與質點所受的主動力有關，而且與質點的運動有關。質點的運動有關。第二類問題第二類問題已知質點所受的力，求質點的運動。已知

8、質點所受的力，求質點的運動。積分問題積分問題力可能是不變的，如重力；力可能是不變的，如重力；也可能是時間、坐標、速度的已知函數(shù)；也可能是時間、坐標、速度的已知函數(shù)；例如萬有引力與質點到引力中心的距離平方成反例如萬有引力與質點到引力中心的距離平方成反比；介質阻力與質點速度的一定冪次成正比，比；介質阻力與質點速度的一定冪次成正比，如果力的函數(shù)比較復雜，則往往得不到微分方程如果力的函數(shù)比較復雜，則往往得不到微分方程的精確解。有時能獲得近似的解析解，或者的精確解。有時能獲得近似的解析解，或者對微對微分方程作定性分方程作定性研究。研究。iFtrm22dd通解為通解為),(),(),(621621621C

9、CCtzzCCCtyyCCCtxx初始條件初始條件0t 可見，若初始條件不同，受同樣力作用的可見，若初始條件不同，受同樣力作用的同一質點將作不同的運動。同一質點將作不同的運動。zyxvzvyvxzzyyxx000000,1、根據(jù)題意確定研究對象，選擇適當?shù)淖鴺溯S；、根據(jù)題意確定研究對象，選擇適當?shù)淖鴺溯S；解題步驟解題步驟2、分析研究對象的受力，包括主動力和約束力。、分析研究對象的受力，包括主動力和約束力。如力已知，應表出其變化規(guī)律；如力已知，應表出其變化規(guī)律；3、分析研究對象的運動情況，應考慮研究對象在、分析研究對象的運動情況，應考慮研究對象在任意瞬時（既非初始時，也非結束時）的狀態(tài)。任意瞬時

10、（既非初始時，也非結束時）的狀態(tài)。如運動規(guī)律已知，則求出其加速度。如運動規(guī)律已知，則求出其加速度。4、列出質點動力學的基本方程，分清是第一類問、列出質點動力學的基本方程，分清是第一類問題還是第二類問題，分別用為微分法或積分法題還是第二類問題，分別用為微分法或積分法求解。如屬第二類問題，則還需要由初始條件求解。如屬第二類問題，則還需要由初始條件來確定積分常數(shù)。來確定積分常數(shù)。tAxaxcos2tBytAxsin,cos例例1 1 圖示質量為圖示質量為m的小球在平面內(nèi)的運動軌跡為的小球在平面內(nèi)的運動軌跡為 一橢圓，已知一橢圓，已知 。 求求 小球所受到的力。小球所受到的力。解解 加速度加速度 力力

11、 voFtByaysin2x2y2xmmaFxx2ymmaFyy2合力合力 jFiFFyxjymixm22)(2jyixmrm2向心力向心力 例例2 2 圖示在空氣中運動的物體，已知空氣阻力圖示在空氣中運動的物體，已知空氣阻力運動方向的最大面積，運動方向的最大面積，b b為取決于物體形狀為取決于物體形狀 求求 物體的運動規(guī)律。物體的運動規(guī)律。的參數(shù)，由實驗確定，的參數(shù)，由實驗確定，n也由實驗確定，也由實驗確定，s /m2402 . 0v, ,n=2=2；hxo,nSvbF 為空氣密度，為空氣密度，S為為物體在垂直物體在垂直速度更小時，速度更小時，n=1=1； 速度更大時，速度更大時，n=3-5

12、=3-5。 物體在自重下自由下落。物體在自重下自由下落。 設設F= =av。解解 運動分析運動分析00000vxt微分方程微分方程自由落體自由落體直線運動直線運動avmgtvmddMxhmgFxo受力分析受力分析 初始條件為：初始條件為： 或或)(ddvgvmagtv其中其中amgvvdMxhmgFxo分離變量并求定積分分離變量并求定積分 )(ddvgvmagtvamgtgdvv0t0tvtgv00)ln(得得 tgvln即即 )1 (tgev)1 (ddtgetx又又 xdMxhmgFxo再分離變量并求定積分，得再分離變量并求定積分，得 tetgd)1 (x0t0)1 (2tgegtx得得

13、改回原記號改回原記號 )1 (tmgeamgv)1 (ddtgetx)1 (2tmgeagmtamgxMxhxmgFo討論：討論： )1 (tmgeamgvamgvvtlim* 當時間當時間t t增大時，速增大時，速度趨于某個極限速度。度趨于某個極限速度。 *v 事實上，趨于極事實上，趨于極限速度是很迅速的。限速度是很迅速的。 votgv*4tgtma當特征時間當特征時間 時，時， *9817. 0vv NFGFABChocbFMAxhx運動分析運動分析 22hxxF例例3 3 圖示人在岸上拉船，已知圖示人在岸上拉船，已知m=40kg=40kg，F(xiàn)=150N=150N，解解 求求 拉至拉至C

14、C點時船的速度。點時船的速度。h=2=2m，b=7=7m，c=3c=3m。0000vbxt初始條件為：初始條件為： 受力分析受力分析 運動微分方程運動微分方程 cosddTFtvm22ddhxxFtvm利用利用 xvvtxxvtvdddddddd分離變量為分離變量為 22ddhxxxFvmv積分得積分得 ChxFmv2222由初始條件得由初始條件得 AB22FhbFCNFGFABChocbFMAxhx故故 22222hxhbmFvAMAB2mF將將x= =c代入，得代入，得 ChxFmv2222AB22FhbFCNFGFABChocbFMAxhxACAB2mFvs /m250. 5135340

15、1502例例4 4 圖示卷揚機，懸掛質量圖示卷揚機，懸掛質量m為為15 t15 t的重物，的重物，解解 求求 鋼絲繩的最大拉力。鋼絲繩的最大拉力。鋼絲繩突然被卡住。鋼絲繩彈簧系數(shù)鋼絲繩突然被卡住。鋼絲繩彈簧系數(shù)k=5.78MN/m，v0=20m/min。0vstxstox運動分析運動分析建立如圖所示坐標系建立如圖所示坐標系 000 xtmin/m200vs /m31其中其中 kmgst/受力分析受力分析 0vstxstmgoxstmgx)(xkstxo)(xkst運動微分方程運動微分方程 kxxkmgxmst)(即即 0 xmkxmkn2記記 0 xmkx02xxn故故 )sin(tAxn通解

16、為通解為 )cos(tAxvnn所以所以 cossin00AvAn代入初始條件，得代入初始條件，得 nvA00解得解得 tvxnnsin0得振動方程得振動方程tmkkmvxsin0即即tvxnnsin0kmvx0max重物在最低位時重物在最低位時kmvkmgxst0maxmax此時鋼絲繩最大變形為此時鋼絲繩最大變形為xstmgox)(xkstmkvmgkF0maxmax所以最大受力為所以最大受力為kmvkmg0max633max1078. 51015318067. 91015F代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得kN245.25N1025.2453n其振動周期：kmmkTn222外力外力質點系以外的其他物體作用于質點系力質點系以外的其他物體作用于質點系力*iiiiFFam21-5 21-5 質點系運動的微分方程質點系運動的微分方程內(nèi)