關(guān)于高等數(shù)學(xué)中求極限的方法小結(jié)

1、高等數(shù)學(xué)中求極限的方法小結(jié)2.求極限的常用方法2.12.1 利用等價(jià)無窮小求極限這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)(1)有限個(gè)無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2).(2) 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .(3).(3)非零無窮小與無窮大互為倒數(shù).(4).(4)等價(jià)無 窮小代換( (當(dāng)求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無窮小代替).).設(shè)且lim一Jim一 ；貝卩：一：與是等價(jià)無窮小的充分必要條件aa為：-:0(:).常用等價(jià)無窮小：當(dāng)變量x 0時(shí)，sinxx,tanx x,arcsinx x,arctanx x,ex-1x,ln(1 x) x,1 -cosxgx2,1 X -x

2、x,(1 x)：-1 _：x.求limcosxx0 xarcta n x0時(shí),1 -cosx - x2,arctanx x212x故， 原式=lim壬- 尸x1(1 x2)3-1求limxj0cosx1_AA解7x；0時(shí),(1 x2)3Tx2,1-cosx x2, ,因此: :32原式求lim1 3TXTtanxx 0時(shí)，31 x T 1 x, tan x x3x: :原式= =lim xT x0 x彳2fe-1 例 4 4 求limT 2xln(1 +x)解x. 0時(shí),ex-1 x,ln(1 x) x,故:2 2原式Jim芝Jx 02x220試確定常數(shù)a與n，使得當(dāng)X-. 0時(shí)，axn與In

3、 (1-x3)x3為等價(jià)無窮小.1 0 -0 _ (0 0)(0 -0) _0-00 03x23、333xln(1x)x=1而左邊liml-x3n-1=5即n=6 lim3=1 T 6a 6anax.-3x5呵荷，=t a=.2naxn J2.22.2 利用洛必達(dá)法則求極限利用這一法則的前提是：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在；為 0 0 比 0 0 型或者二型等未定式類型. .QO洛必達(dá)法則分為 3 3 種情況：(1 1) 0 0 比 0 0，無窮比無窮的時(shí)候直接用(2(2)0 0 乘以無窮，無窮減去無窮(無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系時(shí))通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式, ,通項(xiàng)之后，就能變成(1 1)中形式了

4、 . .( 3 3)0 0 的 0 0 次方，1 1 的無窮次方，無窮的 0 0 次方，對(duì)于(指數(shù), ,幕函數(shù))形式的方法主要是取指數(shù)的方法，這樣就能把幕函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來了，就是寫成0 0 與無窮的形式了 . .洛必達(dá)法則中還有一個(gè)定理：當(dāng)Xra時(shí)，函數(shù)f (x)及F (x)都趨于 0 0；在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi),f(x)、F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于 0 0；limF (x)f(X)存在，那么lim 3=訕匸兇a F (x)T F(X)1求極限有很多種方法如洛必達(dá)法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強(qiáng)行代入,先定型后定法.32求1 COS x求-).分析秘訣強(qiáng)行代入，先定型后定

5、法0。30(此為強(qiáng)行代入以定型)040-0可能是比0 0高階的無窮小，倘若不這樣，或(0 0)(0一0) 0一0 0 004=0FQF(0 0)(0 -0)040 00-000Tlim( 12_x-0sin x2cos X丁）嘰22 2x -sin xcos x.2sin x(x -sin xcosx)(x sin xcosx)x sin xcosxx3x sin xcosx=2limxx s inxcosx例 7 72,有：上式=2 21 - cos x +sin x =2lim2x刃3x由洛必達(dá)法則的Xx34 4 - - 3 3- -X X2 2 2 2InXInX si siXe -1-

6、2x - x解求lim -X1X2x1Xe -1-2XXX3-3X2-x2- x 1原式二典13x -36x3x2-2x -1=limxw 6x -2（二次使用洛必達(dá)法則）X-Xee 2x求limXTx sin xx. X原式二lim -xT 1 - cosx1010 求limX2-4x 3x 1x2-2x 1X-Xe elimsin xxJOX-X=2.cosx原式=lim = lim _：lim _ =0原式 二二X12x-2x -1x1x11111 求limtanxxx 30 xsin xarcsin xtan x -x原式二lim xTXXX1212 求limcotXx0In xAco

7、s X3x221 -cos X=limX J03x2cos2x(1 cos)?x2=lim22x )03x cos x.2 sin x原式二lim2t sin x2-cos Xx limx 102sin xcosx=oO2cos x)2). .x2 . 2x-sin原式=limx_00: ”型:1414 求lim x( -arctan x). .x_n2原式 二limx J-：:11x2arcta nx2lim1型:+1.x1515 求lim secx - tan x. .x彳1 sin xsecx - tanx =cosx cosx1 -s inxcosx 故原式=血匕沁伽一孕7cosxsi

8、nx00”型:1616 求lim xx. .X0 In xxxln x原式二lim e lim ex 0 x)0 lim二ex0 xln x=1.例 1717 求lim M -. .X并l x )解原式=lim 1ex丿“：0”型:例 1818 求lim)tanxXT0屮x1tanx解原式二lim en(;)10十而lim(-tanxlnx) 奇xxTim-xlnx)=0,=lim exTlim丄e -tanxlnxx60tanxln x因此：原式=1.=1.2xcos x22sin xx(x - sin xcosx)(x sin xcosx)2.32.3 泰勒公式（含有e的x次方的時(shí)候，尤其

9、是含有正、余弦的加減的時(shí)候要特別注意）泰勒中值定理定理：如果函數(shù)f（x）在含有n的某個(gè)幵區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到(n 1)解 由于公式的分母sin3xx3（x；0），我們只需將分子中的33sinx*話0(x3)代入計(jì)算,331于是sinxxcosx二x-x0(x3)xx0(x3) = -x30(x3)，對(duì)上式做運(yùn)算時(shí),3!2!3把兩個(gè)x3高階的無窮小的代數(shù)和還是記作o（x3）.2.42.4 無窮小與有界函數(shù)的處理方法面對(duì)復(fù)雜函數(shù)，尤其是正、余弦的復(fù)雜函數(shù)與其它函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任x (a,b)，有f (x) = f(x0)+f (x0)(x-Xo)+導(dǎo)（x-x0）2+皿5宀)

10、n!其中R.(x)=：（n4）-R n1，這里是x與冷之間的某個(gè)值.1例 1919 利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限limx 0sin x - xcosxsin x143 + + 3例 2020limx4limx xFx3+2x2+x+13 +_2 +丄12x x2 +1Alim - -2二limxf：(n _1)XT”二3x3x24I3，3xlim上=limx.；(2)n. .3n 1X2廠1，2n”13(2 T_23注意這個(gè)方法.x sin x例 2121 求lim. .F xsinx、)=lim(1xx；：2.52.5 夾逼定理主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，這個(gè)主要是看見極限

11、中的通項(xiàng)是方式和的形式，對(duì)之放縮或擴(kuò)大.sin i二nlim 一nT：y n 1.i二nsin 根據(jù)夾逼定理lim n7 ni2.62.6 等比等差數(shù)列公式(的絕對(duì)值要小于i尺ilnznln 6 -ln|6|解原式=lim(1sinx) =1.x例 2222求limn_g:兀2兀sin sin - nn_n1n2si n兀+-1n +-nn解、i 4.i二.i二.i二sinnsinnsinnnn，n1 vn1 ynoisin i二nlim 一nF：i生n 0i二= lim丄、丄nT：ny n12 sin二x dx二一0例 2323 設(shè)|：1，證等比數(shù)列、 ：2,的極限為 0.0.證任取0 c1

12、，為使人-a ，而Xn- aI I 即，使IlnE1Jn當(dāng)N =，當(dāng)n N時(shí)，即ln*Jn 6ln6n N 1 =nln 13| ln 即卩xn a c名，由定義知lim V(冋0解lim f x = lim x-1 = -1，lim f x=叫.x 1 = 1，因?yàn)閘im f x lim f x，所以，當(dāng)x0時(shí)，f (x)的極限不存在X0 0 xWx例 2626lim一(GA(GA0 0) ). .G(_ )lim - - = lim (- x -= 0，XT - x X 0 2.2.7 7各項(xiàng)以3a,、 因?yàn)閘im亙上幻二lim 1=0 x-0.x所以, ,原式=0.=0.2.92.9 應(yīng)

13、用兩個(gè)重要極限x彳例 2727 求limT x解記x =1 n 1 tex1 =t，則28求lim IV nT n +1丿2929 求lim 1丄. .Fl n -1丿2.102.10 根據(jù)增長(zhǎng)速度In x : xn: ex（x：）n3030 求lim二n為正整數(shù)， ：0. .xYe原式=lim竺;=lim叫學(xué)二=lim = 0.exx.；：,2e-xx_，冷以ln x3131 求!嘰晉no. .凹_哼pm x - xx. . nxx八.nx同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，x的x次方快于x!（x的階乘）快于指數(shù)函數(shù)，快于冪函數(shù)，快于對(duì)數(shù)函數(shù)sin xlimx 0 x1，lim M -j、x原

14、式= =limtliT1+tf 1In 11- t二1i因?yàn)閘im 1 xx=e .t.原式1的n 1二= =e. .原式=nim1右= =e. .所以增長(zhǎng)速度：ln x：xn：ex（x：）. .故以后上述結(jié)論可直接在極限計(jì)算中運(yùn)用 2.112.11 換元法1例 3232lim (1)x. .J 產(chǎn)x解令Xt，則原式= =lim 1lim -_1lim1 1-= =et-楓lt.丿t_網(wǎng)i t.丿j 和lt1丿V t-1.丿2.122.12 利用極限的運(yùn)算法則 利用如下的極限運(yùn)算法則來求極限：(1)(1)如果lim f x = A,lim g x =B,那么lim f (x)二g(x) = l

15、im f (x)二lim g(x) = A二B例 3333 已知f x - 1-x2, ,在區(qū)間0,1上求密送f(px(其中將b,1】分為個(gè)小區(qū)間Xj 1,Xii沁，為厶Xi中的最大值). .1解由已知得：lim0：fjJ Xdx若又有B=0，則血衛(wèi)勾=皿他=g(x) lim g(x) B(2(2) 如果lim f (x)存在，而c為常數(shù)，則lim cf (x) = clim f (x)(3(3) 如果lim f (x)存在，而n為正整數(shù)，則lim f(x)二lim f (x)n(4(4) 如果 、(x) _ (x)，而lim、(x)二a, lim(x) = b，則(5(5)設(shè)有數(shù)列：x/和

16、m，如果lim xnyn= A B;那么，(Xn + % )= A +B；nimXnyn= AB當(dāng)yn= 0n -1,2,.且b = 0時(shí)，lim -=nY yByn2.132.13 求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分121JI4（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分，求函數(shù)f x在區(qū)間0,1 上的面積）. .在有的極限的計(jì)算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：（1 1） 定積分中值定理：如果函數(shù)f x在積分區(qū)間l.a,b上連續(xù)，則在l.a,b 1上至少有一個(gè)點(diǎn)，使下列公式成立：gbf xdxdx= =：逬x b-a a - b；（2 2） 設(shè)函數(shù)f x在區(qū)間a,I I 上連續(xù)，取t a，如果極限lim_七f x dx存L a在，則稱此極限為函數(shù)f x在無窮區(qū)間a上的反常積分，記作o：f（x）dx，即tJ f （x）