三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用第一課時最后更新

1、衡陽縣六中 劉碧華劉碧華第一課時第一課時例一：根據(jù)圖象建立解析式例一：根據(jù)圖象建立解析式 ( (研究溫度隨時間呈周期性變化的問題研究溫度隨時間呈周期性變化的問題) ); ;例二：根據(jù)解析式作出圖象例二：根據(jù)解析式作出圖象 ( (研究與正弦函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)研究與正弦函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)y=|sinx|的圖象及其周期的圖象及其周期) )；例三：將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型例三：將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型 ( (研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題) )； 目的：加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)。目的：加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻

2、畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)已知圖象求解析式；將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模根據(jù)已知圖象求解析式；將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型。型。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題備注：備注：三角函數(shù)模型三角函數(shù)模型三角函數(shù)關(guān)系三角函數(shù)關(guān)系簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用學(xué)以致用，解決生活中的實(shí)際問題學(xué)以致用，解決生活中的實(shí)際問題在我們現(xiàn)實(shí)生活中有很多現(xiàn)象在進(jìn)行周而復(fù)始地變在我們現(xiàn)實(shí)生活中有很多現(xiàn)象在進(jìn)行周而復(fù)始地變化，用數(shù)學(xué)語言

3、可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所化，用數(shù)學(xué)語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所學(xué)的三角函數(shù)就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如學(xué)的三角函數(shù)就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如下列現(xiàn)象就可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們下列現(xiàn)象就可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們就來探討三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用就來探討三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用. .函數(shù)模型的應(yīng)用示例 2、心理、生理現(xiàn)象、心理、生理現(xiàn)象 情緒的波動情緒的波動 智力變化狀況智力變化狀況 血壓變化狀況血壓變化狀況 3、地理情景、地理情景 氣溫變化規(guī)律氣溫變化規(guī)律 月圓與月缺月圓與月缺 4、日常生活現(xiàn)象、日常生活現(xiàn)象 漲潮與退潮漲潮與退潮 車輪

4、轉(zhuǎn)動車輪轉(zhuǎn)動 峰谷電峰谷電 )0, 0()sin(AxAy正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinxy=sinx余弦函數(shù)余弦函數(shù)y=cosxy=cosx1 1、物理情景、物理情景簡單和諧運(yùn)動簡單和諧運(yùn)動星體的環(huán)繞運(yùn)動星體的環(huán)繞運(yùn)動根據(jù)圖象建立三角函數(shù)關(guān)系：根據(jù)圖象建立三角函數(shù)關(guān)系：例例1.1.如圖，某地一天從如圖，某地一天從6 61414時時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù): :sin()yAxbT/102030ot/h6 10 14思考思考1 1：這一天這一天6 61414時的最大溫差是多少？時的最大溫差是多少？思考思考2 2：函數(shù)式中函數(shù)式中A A、b b的值分別是多少？的值分別是多

5、少？3030-10-10=20=20A=10,b=20.A=10,b=20.思考思考3 3：如何確定函數(shù)式中如何確定函數(shù)式中 和和 的值的值? ?12146 ,2.86,10.xy3將代入上式，解得 4思考思考4 4：這段曲線對應(yīng)的函數(shù)是什么？這段曲線對應(yīng)的函數(shù)是什么？思考思考5 5：這一天這一天1212時的溫度大概是多少（時的溫度大概是多少（）？）？ 27.07. 27.07. 310sin()20,6,1484yxx綜上，所求解析式為 一般的，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時刻一般的，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時刻的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍的溫度變化情

6、況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍. .方法小結(jié)：方法小結(jié)： maxmin1,2Af xf x maxmin12bf xf x2T利用求得，,利用最低點(diǎn)或最高點(diǎn)在圖象上 該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式可求得,注意通常根據(jù)解析式模型建立圖象模型根據(jù)解析式模型建立圖象模型例例2.2.畫出函數(shù)畫出函數(shù)y y|sin|sinx x| |的圖象并觀察其周期的圖象并觀察其周期. .y y|sinx|sinx|x xy y-2-2解：解：函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示從圖中可以看出，函數(shù)從圖中可以看出，函數(shù) 是以是以為周期的波浪形為周期的波浪形曲線曲線. .xysin由于由于,sinsin)sin(xxx所以

7、，函數(shù)所以，函數(shù) 是以是以為周期的函數(shù)為周期的函數(shù). .xysin我們也可以這樣進(jìn)行驗(yàn)證：我們也可以這樣進(jìn)行驗(yàn)證： 利用函數(shù)圖象的直觀性利用函數(shù)圖象的直觀性, ,通過觀察圖象而獲得對函數(shù)通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識性質(zhì)的認(rèn)識, ,這是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法這是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法. . 例例3.3.如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為 ， 為此時為此時太陽直射緯度，太陽直射緯度， 為該地的緯度值，那么這三個量之間的為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是關(guān)系是 9090| | |.|.當(dāng)?shù)叵陌肽戤?dāng)?shù)叵陌肽?取正值，冬半年取正值，冬半年 取負(fù)值取負(fù)值.

8、 . 太陽太陽光光課堂探究3將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型如圖，設(shè)地球表面某地如圖，設(shè)地球表面某地緯度值為緯度值為 ，正午太陽，正午太陽高度角為高度角為，此時太陽，此時太陽直射緯度為直射緯度為 ，那么，那么這三個量之間的關(guān)系這三個量之間的關(guān)系是是 。當(dāng)?shù)?。?dāng)?shù)叵陌肽晗陌肽耆≌?，冬半取正值，冬半年年取?fù)值。取負(fù)值。90| o太陽光太陽光90| 地心地心北半球北半球南半球南半球太陽高度角的定義太陽高度角的定義太陽光太陽光90 o90| o90| o地心地心太陽光直射南半球太陽光直射南半球分析：分析：根據(jù)地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為根據(jù)地理知

9、識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南，北回歸線之間的地帶南，北回歸線之間的地帶.畫出圖形如下，由畫圖易知畫出圖形如下，由畫圖易知A B CH如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40）的一幢高為）的一幢高為H的樓的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)應(yīng)不小于多少？不小于多少？解：解：如圖，如圖，A A、B B、C C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時，樓頂在地面上的投影點(diǎn)，要使新樓一層正午的太歸線時，樓頂在地面上的投影點(diǎn)，要使新

10、樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時的太陽直射緯度為況考慮，此時的太陽直射緯度為-23-232626，依題意兩樓的間，依題意兩樓的間距應(yīng)不小于距應(yīng)不小于MC.MC.根據(jù)太陽高度角的定義，有根據(jù)太陽高度角的定義，有C=90C=90-|40-|40-(-23-(-2326)|=2626)|=263434所以，所以，2.000tantan26 34HHMCHC 即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距樓高兩倍的間距. .練習(xí)練習(xí)4.一樹干被臺風(fēng)吹

11、斷，折成一樹干被臺風(fēng)吹斷，折成60角，角，樹干底部與樹尖著地處相距樹干底部與樹尖著地處相距20米，樹干米，樹干原來的高度為原來的高度為_米米將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚: :理解題意理解題意建立三角建立三角函數(shù)模型函數(shù)模型求解求解還原解答還原解答例例4.一半徑為一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中從水中浮現(xiàn)時開始計(jì)算時間。浮現(xiàn)時開始計(jì)算時間。（1）將點(diǎn)）將點(diǎn)P距離水面的高度距離水面的高度z(m)表示為時間表示為時間t

12、(s)的函數(shù)；的函數(shù)；（2）點(diǎn)）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？例題例題1xy解解(1)(1)不妨設(shè)水輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。不妨設(shè)水輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。 設(shè)角設(shè)角 。 由由OPOP在在t(s)t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為 ， 可知以可知以O(shè)xOx為始邊，為始邊，OPOP為終邊的角為為終邊的角為 ， 故點(diǎn)故點(diǎn)P P的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為 ，則，則(0)2P Ox 4 22()6015tt 215t 23sin()15t 23sin()215zt 當(dāng)當(dāng)t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 . .2sin3 因?yàn)?,

13、所以 . 02 0.73 故所求函數(shù)關(guān)系式為故所求函數(shù)關(guān)系式為 . .23sin(0.73)215zt (2)(2)令令 , ,得得 . .23sin(0.73)2515zt 2sin(0.73)115t 取取 , ,解得解得 . .20.73152t 5.5t 即點(diǎn)即點(diǎn)P P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要5.5S.5.5S.xy 1.1.單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置O O的距離的距離s cms cm和時間和時間t st s的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為:s=6sin(2t+ ),:s=6sin(2t+ ),那么單擺來回擺動一次所需的時間

14、為（那么單擺來回擺動一次所需的時間為（ ）(A)2 s (B) s(A)2 s (B) s(C)0.5 s (D)1 s(C)0.5 s (D)1 sD D62.2.已知某海濱浴場的海浪高度已知某海濱浴場的海浪高度y(y(米米) )是時間是時間t t（其中（其中0t 0t 2424，單位：小時）的函數(shù)，記作，單位：小時）的函數(shù)，記作y=f(t)y=f(t)，下表是某日各，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：時的浪高數(shù)據(jù)： 經(jīng)長期觀測經(jīng)長期觀測,y=f(t),y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acost+by=Acost+b，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù)的

15、解析式為_._.3.3.若函數(shù)若函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|f(x)=sinx+2|sinx|， xx0,20,2的圖象與的圖象與直線直線y=ky=k有且只有兩個不同的交點(diǎn)，則有且只有兩個不同的交點(diǎn)，則k k的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析】【解析】f(x)f(x)其圖象如圖所示，若有兩個交點(diǎn)，則其圖象如圖所示，若有兩個交點(diǎn)，則1 1k k3 3答案：答案：1 1k k3 31.1.根據(jù)三角函數(shù)圖象建立函數(shù)解析式，就是要抓住圖象的根據(jù)三角函數(shù)圖象建立函數(shù)解析式，就是要抓住圖象的數(shù)字特征確定相關(guān)的參數(shù)值，同時要注意函數(shù)的定義域數(shù)字特征確定相關(guān)的參數(shù)值，同時要注意函數(shù)的定義域. . 2.2.對于現(xiàn)實(shí)世界中具有周期現(xiàn)象的實(shí)際問題，可以利用三對于現(xiàn)實(shí)世界中具有周期現(xiàn)象的實(shí)際問題，可以利用三角函數(shù)模型描述其變化規(guī)律角函數(shù)模型描述其變化規(guī)律. .先根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，先根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，再進(jìn)行函數(shù)擬合，就可獲得具體的函數(shù)模型，有了這個函再進(jìn)行函數(shù)擬合，就可獲得具體的函數(shù)模型，有了這個函數(shù)模型就可以解決相應(yīng)的實(shí)際問題數(shù)模型就可以解決相應(yīng)的實(shí)際問題. .3.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象