最新將軍飲馬問(wèn)題講義名師資料合集

1、5如圖，點(diǎn)A是/MON外的一點(diǎn)， 在射線ON上作點(diǎn)P, 使PA與點(diǎn)P到射線0M的距離之和最小將軍飲馬問(wèn)題唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)古從軍行開(kāi)頭兩句 說(shuō):白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題如圖所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下 的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為”將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳將軍飲馬問(wèn)

2、題=軸對(duì)稱問(wèn)題=最短距離問(wèn)題（軸對(duì)稱是工具，最短距離是題眼）。所謂軸對(duì)稱是工具，即這類問(wèn)題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。而最短距離是題眼， 也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)線段a+b這樣的條件或者問(wèn)題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問(wèn)題，然后利用軸對(duì)稱解題。一六大模型1如圖，在直線直線I和I I上求作一點(diǎn)常見(jiàn)問(wèn)題首先明白幾個(gè)概念，動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一般就是題目中的所求點(diǎn)， 即那個(gè)不定的點(diǎn)。定點(diǎn)即為題目中固定的點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)，作圖所得的點(diǎn)，需要連 線的點(diǎn)。1.怎么對(duì)稱，作誰(shuí)的對(duì)稱？。簡(jiǎn)單說(shuō)所有題目需要作對(duì)稱的點(diǎn)，都是題目的定點(diǎn)。或 者說(shuō)只有定點(diǎn)才可以去作對(duì)稱的。(不確定的點(diǎn)作對(duì)稱式

3、沒(méi)有意義的)那么作誰(shuí)的對(duì)稱點(diǎn)首先要明確關(guān)于對(duì)稱的對(duì)象肯定是一條線，而不是一個(gè)點(diǎn)。那么是哪一條線？ 一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直線。2.對(duì)稱完以后和誰(shuí)連接？一句話：和另外一個(gè)定點(diǎn)相連。絕對(duì)不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連。明確一個(gè)概念：定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn)。例如模型二和模型三。3.所求點(diǎn)怎么確定？首先一定要明白，所求點(diǎn)最后反應(yīng)在圖上一定是個(gè)交點(diǎn)。實(shí)際就是我們所畫(huà)直線和已知直線的交點(diǎn)。下面我們來(lái)看看將軍飲馬與二次函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題：1.如圖，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC勺周長(zhǎng)最小？若存在

4、，ON上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線OM的6.如圖，點(diǎn)A距離之和最小3215物線解析式為y= 一訊;(2)先確定拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，,連結(jié)BC交直線x=于點(diǎn)P,如圖，利用對(duì)稱性2 2得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到PC+PA最短，于是可判斷此時(shí)四邊形PAOC勺周長(zhǎng)最小，然后計(jì)算出BC=5,再計(jì)算OC+OA+B即可.a=，于是得到拋4求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1) (x-4),把C(0,3)代入得a?(-1)?(-4)=3,解得a=2,4所以拋物線解析式為y=3(x-1) (x-4

5、),即y=x2- x+3;444(2)存在.因?yàn)锳(1,0)、B(4,0),所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x-,2連結(jié)BC交直線x=于點(diǎn)P,如圖，貝U PA=PB PA+PC=PC+PB=BQt匕時(shí)PC+PA最短,2所以此時(shí)四邊形PAOC勺周長(zhǎng)最小，因?yàn)锽C=. 一！=5,時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)， 常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解也考查了最短路徑問(wèn)題.2.(2015?上城區(qū)一模)設(shè)拋物線y

6、=(x+1) (x-2)與x軸交于A、C兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊)，與y軸交于點(diǎn)B.(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，ABD是頂角為120的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P、Q位于拋物線的對(duì)稱軸上，且PQ=：,求四邊形ABQF周長(zhǎng)的最小值.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式3+1+5=9.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.四邊形ABQ啲周長(zhǎng)最小值是+2.【分析】(1)令x=0,求出與y軸的坐標(biāo)；令y=0,求出與x軸的坐標(biāo)；(2) 分三種情況討論：當(dāng)AB為底時(shí)，若點(diǎn)D在AB上方；若點(diǎn)D在AB下方；當(dāng)AB為 腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)AB為

7、腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)；仔細(xì)解答即可.(3) 當(dāng)AP+BQ最小時(shí)，四邊形ABQP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題解答.【解答】解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=-胰;當(dāng)y=0時(shí)，x=-1或x=2；則A(-1,0),B(0，-勺怎)，C(2,0)；(2)如圖，RtABO中，OA=1OBV5, AB=2/ABO=30，/BAO=60,ABD是頂角為120的等腰三角形.1當(dāng)AB為底時(shí)，若點(diǎn)D在AB上方，由/ABOMBAD=30,AB=2,得D(0，-辺)，若點(diǎn)D在AB下方，由/BADMDBA=30,AB=2得D2(-1,-旦2),32當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，/DAB=120, MOAB=60,AD=AB=2點(diǎn)

8、D在y軸或x軸上，若D在y軸上，得D3(0,7),若D在x軸上，得D4(-3,0)；3當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)D在第三象限，/DBO=150,BD=2得D5(-1, -2)；若點(diǎn)D在第四象限時(shí)，DB/x軸，BD=2,得D6(2, -7),符合要求的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0, -；), (-1, - ；),(0,二)，(-3,0),(-1,-332衍)，(2, - V3)；(3)當(dāng)AP+BQ最小時(shí)，四邊形ABQP的周長(zhǎng)最小，把點(diǎn)B向上平移丄二個(gè)單位后得到B1(0,-；),33/BB1/PQ且BB=PQ四邊形BBPQ是平行四邊形，BQ=BP,AP+BQ=A+B1P,要在直線x=上找一點(diǎn)P,使得AP+BP最