第三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽復賽試題

1、第三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽復賽試題2某年的10月里有5個星期六，4個星期日。問：這年的10月1日是星期幾？3電子跳蚤每跳一步，可從一個圓圈跳到相鄰的圓圈?，F(xiàn)在，一只紅跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈按順時針方向跳了1991步，落在一個圓圈里。一只黑跳蚤也從標有數(shù)字“0”的圓圈起跳，但它是沿著逆時針方向跳了1949步，落在另一個圓圈里。問：這兩個圓圈里數(shù)字的乘積是多少？4173是個四位數(shù)字。數(shù)學老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除。”問：數(shù)學老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？5我們知道：9=33，1644，這里，9、16叫做“完全平方數(shù)”，在前300個

2、自然數(shù)中，去掉所有的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的和是多少？6如圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2厘米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器。這個容器的體積是多少立方厘米？7在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶），或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙的總環(huán)數(shù)。8下圖中有6個點，9條線段。一只甲蟲從A點出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點。行進中，同一個點或同一條線段只能經(jīng)過1次。這只甲蟲最多有多少種不同的走法？9下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（

3、共同的頂點算一個），以其中不在一條直線上的3個點為頂點，可以構成三角形。在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？求：S的整數(shù)部分。11今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將是小明的年齡的5倍。又過幾年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍。求：祖父今年是多少歲？12某個班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：求這個班的學生數(shù)。13恰好能被6，7，8，9整除的五位數(shù)有多少個？14計算：1-3+5-7+9-11+-1999+200115五環(huán)圖由內(nèi)圓直

4、徑為4，外圈直徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等。已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率取3.14）。16下圖中8個頂點處標注的數(shù)字： a、 b、c、d、e、 f、g、h，1計算：分析 分數(shù)、小數(shù)合在一起的四則運算，是小學數(shù)學的重要訓練內(nèi)容，要求算得準、算得快。這個題目，是用繁分的形式給出了加、減、乘、除的混合運算，它的另一個形式是算這個題時，要注意兩點：（1）在乘、除運算中，代分數(shù)要化為假分數(shù)，及時約分；（2）在加、減運算中，如果分數(shù)、小數(shù)同時出現(xiàn)，要么都化為分數(shù)，要么都化為小數(shù)。解法1 解法2 注 兩種方法的共同之處是在

5、前兩步中，都將乘、除運算中的帶分數(shù)化種方法的不同之處是解法1運用了乘法對加法的分配律，解法2則是采用了化簡繁分式的通常方法分子、分母乘以同一個不為零的數(shù)。這里，還要0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具體計算時，可以節(jié)省時間。2某年的10月里有5個星期六，4個星期日。問：這年的10月1日是星期幾？分析 這個題目，主要考查邏輯推理能力。解決這個題的關鍵是要判定：10月里的第一個星期六或者第一個星期日是10月幾日？這個問題一解決，10月1日是星期幾就很容易推算出來。當然，解這個題，還應當知道：10月是大月，有31天。我們知道，一年中的大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12

6、月。人們會發(fā)現(xiàn)其中的不協(xié)調(diào)：到7月為止，都是單月為大月，但后面卻突然改雙月為大月了。為什么這么改呢？這里還有一段故事呢！原來，現(xiàn)在的歷法，開始制定于古羅馬時代。當時，有一個羅馬皇帝，叫奧古斯特，他出生于8月，為了顯示他的不平凡和尊貴，下令將8月改成大月，于是后面的雙月都是大月了，這個劃分一直沿用至今，在英語中，8月是August，讀出來就是“奧古斯特”。解法1 10月有31天，而31=473，所以，這個月有4個星期零3天。要判定10月1日是星期幾，可以先推算這個月的第一個星期六是幾日：如果10月1日是星期六，那么10月2日、 9日、16日、23日、30日都是星期日，出現(xiàn)了5個星期日，與題設的“

7、10月里有4個星期日”不符，所以10月1日不是星期六。用同樣的方法，可以推算出10月2日也不是星期六。如果10月3日是星期六，那么，10月4日、11日、18日、25日是星期日，恰好有4個星期日，符合題目條件。倒推回去，可以知道10月1日是星期四。解法2 可以先判定10月里的第一個星期日是10月幾日。請少年朋友們自己去完成。注 從解法1，我們可以清楚地看出來，問題的解決是以判定10月里第一個星期六是10月幾日為突破口的，所使用的方法，叫做反證法，這是很重要的數(shù)學方法。少年朋友們盡可能及早熟悉這個方法。此外，還應該指出：除了判定10月里的第一個星期六或星期日是10月幾日之外，也可判定第一個星期五、

8、星期四星期一是10月幾日。3電子跳蚤每跳一步，可從一個圓圈跳到相鄰的圓圈。現(xiàn)在，一只紅跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈按順時針方向跳了1991步，落在一個圓圈里。一只黑跳蚤也從標有數(shù)字“0”的圓圈起跳，但它是沿著逆時針方向跳了1949步，落在另一個圓圈里。問：這兩個圓圈里數(shù)字的乘積是多少？分析 認真讀兩遍題，仔細研究一下右邊的圖，便不難發(fā)現(xiàn)：不管是紅跳蚤、還是黑跳蚤，不管它們是從哪一個圓圈起跳，只要是沿著一個方向跳，每一步都跳到相鄰的圓圈中，那么，一共12個圓圈，跳12步就回到開始起跳位置，又重復進行前面的過程，這樣，不管它跳的步數(shù)有多么大，只要算出跳了多少圈（這個圈是指大圓圈）又多少步，就知道它落

9、在標有數(shù)字多少的圓圈中了。當然，要注意它跳的方向。解 電子跳蚤每跳12步就回到了原來位置。 1991=1651211紅跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈出發(fā)，按順時針方向跳了1991步時，是跳了165個12步后跳到了標有數(shù)字“11”的圓圈。同理，由1949=16512+5知道黑跳蚤從標有數(shù)字“0”的圓圈按順時針方向跳了162個12步后跳到了標有數(shù)字“7”的圓圈。所求的乘積是117=77。答：乘積是77。思考 電子跳蚤“每跳12步回到原來位置”，這是一種周期變化。在日常生活中有周期現(xiàn)象的事物還有許多，如：一周是7天，一天是24小時，一年是12個月，又如：鐘擺的運動，日、月的運動等，研究周期現(xiàn)象，也是數(shù)學

10、的一個重要任務呢！這個題目，還可以變得更復雜一些，如：電子跳蚤跳步時有這樣的周期性：第一步跳1個小圓圈（即到相鄰圈），第二步跳2個小圓圈（即到隔1個圈的小圓圈處），第三步跳3個小圓圈（即到隔2個圈的小圓圈處），如此重復下去，其它條件同原題一樣，那么，怎么解呢？相信少年讀者們能自己解決。4173是個四位數(shù)字數(shù)學老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除?！眴枺簲?shù)學老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？分析解這個題的關鍵是：怎樣的自然數(shù)，才能被9整除？被11整除？被6整除？這里，要注意：被6整除，就是被2和3整除一定是被3整除的偶數(shù)。解能被9整除的四位數(shù)的各位數(shù)

11、字的和是9的倍數(shù)，并且四位數(shù)173的數(shù)字的和是173+=11+，內(nèi)的數(shù)字最大不超過9，內(nèi)只能填7能被11整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得到的差是11的倍數(shù)。（7+）（13）3應是11的倍數(shù)。內(nèi)的數(shù)字最大不超過9，內(nèi)只能填8。能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù)，并且數(shù)字和是3的倍數(shù)，而173+=11+內(nèi)只能填4。7+84=19答：所求的和是19。注這個題目中，考查了能被9，11，6整除的三類自然數(shù)的特征。下面給出能被2、4、5、7、8整除的自然數(shù)的特征：如果自然數(shù)A能被自然數(shù)a整除，我們就寫作aA下面就用這個符號來說明問題 當A的個位數(shù)字是0、2、4、6、8這五個數(shù)中的一個時，2

12、A；當A的最后兩位數(shù)是4的倍數(shù)時，4A；當A的個位數(shù)字是0或5時，則5A；當去掉A的個位數(shù)字后得到的新數(shù)與A的個位數(shù)字的2倍的差是7的倍數(shù)時，7A；當A的最后三位數(shù)是8的倍數(shù)時，8A。上面這些結論，少年朋友們要盡可能記住。5我們知道：9=33，16=44，這里，9、16叫做“完全平方數(shù)”，在前300個自然數(shù)中，去掉所有的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的和是多少？分析這個題目并不難，只要仔細地找出不超過300的自然數(shù)中的“完全平方數(shù)”，求出它們的和，再從前300個自然數(shù)的總和中減去這個和，就得到結果了。解不超過300的完全平方數(shù)，有：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，

13、144，169，196，225，256，289它們的和是1785。前300個自然數(shù)的和是45150-1785=43365答：剩下的自然數(shù)的和是43365。思考上面的解法中，求前300個自然數(shù)的和，用的是少年朋友們十分熟悉的少年時代的高斯的算法。即：如果n是自然數(shù)，那么，用這個公式去算123298299300， 當然比逐個累加要快得多了！由此，少年朋友們很容易會想到：求122232152162172 有沒有公式呢？答案是：有！這就是用這個公式算不超過300的完全平方數(shù)的和是很容易的：這個公式的推導，只要用一個公式（x1）3=x33x23x1就可以了：在這個公式中，我們依次用1，2，3，n-2，n

14、-1，n去替換x，得到n個等式23=13+3123 1133=233223214333332331（n1）3=（n2）33（n-2）23（n2）1n3=（n-1）33（n-1）23（n-1）1（n1）3=n33n23n1將這n個等式加起來，那么等式的左邊=13+23+33n3（n1）3，等式的右邊包含四部分：第一列的和是13+2333+（n1）3n3； 第二列的和是3（122233n2），讀者已經(jīng)看到，括號里正是要推導的公式的左邊；第三列的和是3（123+n），這就是第四列的和是n個1相加，當然得n根據(jù)加、減法的概念，可以得到也就是從這個等式中，可以得到12+2232+n2以上的推導過程中，用

15、到初中代數(shù)的一些知識，少年朋友可能有不懂之處，那么，可以去請教自己的數(shù)學老師6如圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2厘米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器。這個容器的體積是多少立方厘米？分析這是一個極其簡單的體積計算題，相信每位少年朋友都能正確地求出結果。解容器的底面積是（13-4）（9-4）=45（平方厘米），高為2厘米，所以容器的體積是452=90（立方厘米）答：容器的體積是90立方厘米。7在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶），或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲

16、、乙的總環(huán)數(shù)。分析這個題目，有一定的難度，難在題目的已知條件與要求的結果之間的關系不那么明顯。遇到這種情況，心里要平靜，要集中精力仔細地分析題目中的條件。題目告訴我們：每射一箭的環(huán)數(shù)，只能是下列11個數(shù)中的一個0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。而甲、乙5箭總環(huán)數(shù)數(shù)的積17640，這說明在甲、乙5箭得到的環(huán)數(shù)里沒有“0”和“10”，由5箭的環(huán)數(shù)乘出來的，于是推知每有兩箭中的環(huán)數(shù)都是“7”，從而可知另外3箭的環(huán)數(shù)是5個數(shù)1，2，2，3，3經(jīng)過適當?shù)姆纸M之后相乘而得到的，讀者不難分析出可能的情形有5種：（1）1，4，9；（2）1，6，6；（3）2，2，9；（4）

17、2，3，6；（5）3，3，4。下面、只要根據(jù)甲、乙的總環(huán)數(shù)之差是4這一條件即可求出結果了。解每人的環(huán)數(shù)的積=17640，兩人每箭射中的環(huán)數(shù)里沒有“0”和“10”每箭射中的環(huán)數(shù)都是1764的因子，而1764=1223377，并且環(huán)數(shù)是不超過10的自然數(shù)必有兩箭是7環(huán)，其它3箭的環(huán)數(shù)是12233因子。如果最小的因子是1，那么，另外兩個因子是4、9或者是6、6；如果最小的因子是2，那么，另外兩個因子是2，9或者是3、6；如果最小的因子是3，那么，另外兩個因子是3、4。因此，兩人5箭的環(huán)數(shù)有5種可能：7，7，1，4，9，和=28；7，7，1，6，6，和=27；7，7，2，2，9，和=27；7，7，2，

18、3，6，和=25；7，7，3，3，4，和=24；甲、乙的總環(huán)數(shù)相差4，甲的總環(huán)數(shù)少，甲的總環(huán)數(shù)是24，乙的總環(huán)數(shù)是28。答：甲、乙的總環(huán)數(shù)分別是24、28。注1990年，第十一屆亞運會在我國首都北京舉行，我們中國人民為此感到驕傲，全國的少年朋友們當然更是歡欣鼓舞。為了紀念這件事，第三屆華杯賽主試委員會立意要編幾個與體育比賽有關的題目，復賽部分的第七、八、十五題正是在這樣的目的下編出來的。8下圖中有6個點，9條線段一只甲蟲從A點出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點。行進中，同一個點或同一條線段只能經(jīng)過1次。這只甲蟲最多有多少種不同的走法？分析可以用分類的思想解這個題：甲蟲由A出發(fā)只有3種走法，即先走A

19、B；先走AE；先走AD。往下，再作類似的分析，即可求解。解從A點出發(fā)，經(jīng)過的第一條線段，有3種可能（1）AB；（2）AE；（3）AD。在每一種可能情形下，各有3種走法。所以，一共有339種走法答：共有9種走法。注這個題目已經(jīng)簡化了，原來出的題要復雜一些：仍是6個點，但是多了兩條線段（如圖）。請少年朋友自己做吧。9下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（共同的頂點算一個），以其中不在一條直線上的3個點為頂點，可以構成三角形。在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？分析解決這個問題，主要是運用兩個結論：（1）同底等高的兩個三角形的面積相等。（2）平行的兩條直線間

20、的距離處處相等。解設原正方形的邊長是3，則小正方形的邊長是1，陰影三角形的面積是所求的三角形可分兩種情形：（1）三角形的一邊長2，這邊上的高是3。這時，長為2的邊只能在原正方形的邊上，這樣的三角形有244=32（個）；（2）三角形的一邊長3，這邊上的高是2，這時，長為3的邊是原正方形的一邊或平行于一邊的分割線。其中，與（1）重復的三角形不再算入，這樣的三角形有82=16（個）答：所求的三角形共48個（包括圖中開始給出的三角形）注解這個題目，容易出現(xiàn)兩種錯誤，一是“少”：如忽略了底是3、高是2的三角形，這樣就少了16個；二是“多”：在計算底是3、高是2的三角形時，沒有考慮其中有16個在情形（1）

21、中已經(jīng)計算了，于是得出錯誤結果：5410已知：求：S的整數(shù)部分。分析這個題目看起來是不好下手的，顯然不能對分母中的12個分數(shù)進行通分求和，那實在是太繁了。由于題目只要求S的整數(shù)部分，所以只要知道S在哪兩個整數(shù)之間就可以了。困難在于S的分母含有12個分數(shù)，太多了！必須設法減少分數(shù)的個數(shù)！我們發(fā)現(xiàn)：之間，于是，達到了目的！解根據(jù)“一個分數(shù)，當分子不變而分母變大時，分數(shù)值變?。蝗绻肿硬蛔兌帜缸冃r，分數(shù)值變大?！边@個原理，可以知道 S的整數(shù)部分是165。思考上面的解法中，主要是運用了“放”、“縮”的思想，這個思想很有用。本題中是用來進行數(shù)值估計。下面是兩個類似的題，讀者自己練習：（2）請在下面等

22、式的方框中填上相同的一個自然數(shù)，使等式成立：11今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將是小明的年齡的5倍。又過幾年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍。求：祖父今年是多少歲？分析當小明剛一出生、祖父與他就有了年齡差，隨著祖孫兩人年齡的增長，祖父與小明的年齡的比值逐漸變小，但年齡差始終保持不變，這是一。說“祖父的年齡是小明的年齡的a倍”，實際就是說“祖父與小明的年齡差是小明年齡的（a-1）倍”，因為小明的年齡是自然數(shù)，所以也就是說“祖父的年齡是a-1的倍數(shù)”，這是二只要把握住以上這兩點，這個題目就可以迎刃而解了解祖父的年齡比小明的年齡大，這個年齡差是不變的今年，祖父的年齡是小明

23、的年齡的6倍，年齡差是小明年齡的5倍，一定是5的倍數(shù)，同理，由“幾年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍”，“又過幾年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍”，知道年齡差是4，3的倍數(shù)，所以，一定是543=60的倍數(shù)而60的倍數(shù)是：60，120，合理的選擇是60于是，今年小明的年齡是605=12（歲）祖父的年齡是126=72（歲）答：祖父今年是72歲。思考會代數(shù)的少年朋友，可以用列方程或方程組的方法解這個題目：設今年小明x歲，那么今年祖父6x歲。y年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍，所以5（xy）=6xy即x=4y 又過z年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍，所以4（xyz）=6xyz 即 2x=3y

24、3z祖父今年6x歲， 6x100（想一想：這個100是怎么來的？）又x=4yx4（想一想：為什么？） 12某個班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：求這個班的學生數(shù)分析這是一個與集合概念有關的問題，但是完全可以用小學數(shù)學知識來解決，其中，主要是包含與排除的方法例如短跑達到優(yōu)秀的人數(shù)中，包含了4部分人：短跑、游泳、籃球都達到優(yōu)秀的人，短跑、游泳達到優(yōu)秀但籃球沒達到優(yōu)秀的人，短跑、籃球達到優(yōu)秀但游泳沒達到優(yōu)秀的人，短跑達到優(yōu)秀但游泳、籃球沒達到優(yōu)秀的人。如果要求其中一部分人，就

25、要排除另外幾部分人。明白了上面的道理，題目就不難求解。在具體求解時，可以運用圖形，使題目中的數(shù)量關系變得直觀，一目了然解先求至少有一個項目達到優(yōu)秀的學生人數(shù)，看下面這個圖：圖中時三個圓圈分別代表短跑、游泳、籃球達到優(yōu)秀的學生人數(shù)，其中的“1”表示三個項目都優(yōu)秀的人數(shù)，是：2；“2”表示籃球、游泳達到優(yōu)秀，但短跑沒有達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：6-2=4；“3”表示籃球、短跑達到優(yōu)秀，但游泳沒有達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：5-23；“4”表示游泳、短跑達到優(yōu)秀，但籃球沒有達到優(yōu)秀的學生數(shù)，是：6-2=4；“5”表示只有短跑一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：17-（234）=8；“6”表示只有游泳一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：1

26、8-（244）=8；“7”表示只有籃球一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：15-（243）=6，只有一個項目達到優(yōu)秀的人數(shù)是2434886=35還有4個人在三個項目上未達到優(yōu)秀，所以全班學生數(shù)是35+4=39答：這個班有39名學生。注集合，是很有用的數(shù)學概念。它的一個用途就是分類。在上面的解法中，我們正是運用分類的思想將“至少有一個項目達到優(yōu)秀”學生人數(shù)分為7類，從而求出了正確結果在作分類時，應注意使任意兩類沒有相同的部分。13恰好能被6、7、8、9整除的五位數(shù)有多少個？分析能被6、7、8、9整除，只須能被它們的最小公倍數(shù)整除，求出這個最小公倍數(shù)之后，在五位數(shù)中，即從10000到99999的自然數(shù)中，推算

27、那個最小公倍數(shù)的倍數(shù)有多少個，即是問題的答案了。解6、 7、 8、 9的最小公倍數(shù)是504；五位數(shù)中，最小的是10000，最大的是99999；能被504整除的最小的五位數(shù)是50420=10080；能被504整除的最大的五位數(shù)是504198=99792；五位數(shù)中，能被504整除的有（99792-10080）5041=179（個）答：有179個注解這個題目時，容易出現(xiàn)的錯誤是：以為“能被6、7、8、9整除”就必須“能被6789=3024整除”，這樣求得的結果只是正確結果的一部分。14計算：1-3+5-79-11+-1999+2001分析對于這個題目，可以有3種基本思路：（1）將題中各數(shù)的順序變動一下，即：從第二個數(shù)開始，相鄰兩數(shù)交換位置，得到15-3+9-7+1311+2001-1999可以看出在1這個數(shù)的后面是500個2