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文檔簡介
1、Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程1B4 B4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程輸運公式輸運公式伯努利方程伯努利方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程動量方程動量方程能量方程能量方程動量矩方程動量矩方程固定控制體固定控制體運動控制體運動控制體固定控制體固定控制體勻速運動控制體勻速運動控制體固定控制體固定控制體旋轉控制體旋轉控制體系統(tǒng)導數(shù)系統(tǒng)導數(shù)固定控制體固定控制體Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程2系統(tǒng)系統(tǒng)-包含確定流體介質的集合包含確定流體介質的集合, ,無質量交換有能量
2、交換無質量交換有能量交換VVNVVM系統(tǒng)的質量系統(tǒng)的質量VVvKvVoVvrMvr系統(tǒng)的動量系統(tǒng)的動量系統(tǒng)的動量距系統(tǒng)的動量距是單位體積的物理量是單位體積的物理量VVV1系統(tǒng)的體積系統(tǒng)的體積控制體控制體-流體流過的流體流過的固定固定邊界邊界包含的體積包含的體積控制面控制面-固定固定邊界邊界構成的面構成的面,有質量交換有能量交換有質量交換有能量交換引言Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程3系統(tǒng)廣延量系統(tǒng)廣延量控制體廣延量控制體廣延量 dtNsys dtNCVCVB4.1 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導數(shù) 輸運公式輸運公
3、式CSCVsysdAdtDtDNnv 系統(tǒng)廣延量的導數(shù),稱為系統(tǒng)導數(shù)。系統(tǒng)廣延量的導數(shù),稱為系統(tǒng)導數(shù)??刂企w廣延量隨時間變化率控制體廣延量隨時間變化率, , 稱為當?shù)刈兓史Q為當?shù)刈兓?;當流場定常時為零。;當流場定常時為零。通過控制面凈流出的廣延量流量通過控制面凈流出的廣延量流量, , 稱為遷移變化率稱為遷移變化率 ;當流場均勻時為零。;當流場均勻時為零。 輸運公式計算取決于控制體輸運公式計算取決于控制體(面面)的選擇的選擇Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程4t t時刻界面時刻界面S S,體積,體積體積體積( (t+tt+t
4、) )tvnS S S S (t+t)1212)(ttVdtrtN),()(t+tt+t時刻界面時刻界面S S),(),(1lim)()(0ttttVdtrdttrtddtd),(),(),(1lim)(0dttrdtrttrtddtdttV21IIddtdV12Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程5dtrttrtIt),(),(1lim01tdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00212t t時刻界面時刻界面S S,體積,體積體積體積( (t+tt+t) )tvnS S S S (t
5、+t)12t+tt+t時刻界面時刻界面S SS1S2SSS1222),(),(SntdSvttrdttr11),(),(SntdSvttrdttr211212),(SSntdSvttrddd物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtdFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程6)V(uVtVdtdDtDIVVVVVVVV)u(VtV)uu(VtDtDIAVVdA)u(ndVtdVdtdAVdA)u(ndV)u(高斯公式高斯公式n替換為替換為輸運公式輸運公式)V(udtrd)V(dtVdV)u(VVVVuV)u()V(u)V(uBu
6、t)t , z , y, x(BB)ut(dtdB質量守恒rd)V(Vdrd)f(dfFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程7t t時刻界面時刻界面S S,體積,體積體積體積( (t+tt+t) )tvnS S S S (t+t)12t+tt+t時刻界面時刻界面S S)(01),(),(1limtttdtrttrtItdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00221IIddtdV物理量流量物理量流量 SdSnvdtddtdSndSvtrI),(212S1S2動坐標系的輸運公式動坐標系的輸運
7、公式Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程8輸運公式輸運公式VVM系統(tǒng)質量系統(tǒng)質量 的隨體的隨體導數(shù)導數(shù)VVvK系統(tǒng)動量系統(tǒng)動量 的隨體導數(shù)的隨體導數(shù)物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtd質量流量質量流量AVVdAnvdVtdVdtdAVVdA)nv(vdVtvdVvdtd動量流量動量流量系統(tǒng)體積系統(tǒng)體積 的隨體的隨體導數(shù)導數(shù)VVV體積流量體積流量AVdAnvdVdtdFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程9B4.2 B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連
8、續(xù)性方程CVCSddA0tv nB4.2.1 B4.2.1 固體的控制體固體的控制體上式表明:通過控制面凈流出的質量流量等于控制體內(nèi)流體質上式表明:通過控制面凈流出的質量流量等于控制體內(nèi)流體質量量 隨時間的減少率。隨時間的減少率。 輸運公式可用于任何分布函數(shù)輸運公式可用于任何分布函數(shù) ,如密度分布、動量分布、,如密度分布、動量分布、能量分布等。能量分布等。 令令 ,由系統(tǒng)的質量不變可得連續(xù)性方程,由系統(tǒng)的質量不變可得連續(xù)性方程 對固定的對固定的CVCV,積分形式的連續(xù)性方程可化為,積分形式的連續(xù)性方程可化為CSCV()dAdtv nFluid Mechanics and MachineryB4
9、 積分形式的基本方程積分形式的基本方程10VVM系統(tǒng)質量系統(tǒng)質量 的隨體的隨體導數(shù)導數(shù)質量流量質量流量AVVdAnvdVtdVdtd連續(xù)性方程連續(xù)性方程VAdV)v(dAvn0VVVVdV)vt(dVvdVtdVdtd高斯公式高斯公式n替換替換0vt質量流量質量流量Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程11111AAdAudAnu1u流進面流進面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1nAB流進面流進面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutQdAudAnuQ2221.1.沿流管的定
10、常流動沿流管的定常流動 0AdAnv0AVVdAnvdVtdVdtd021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程12111AAdAudAnu1u流進面流進面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1nAB流進面流進面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutmdAudAnum2221.1.沿流管的定常流動沿流管的定常流動 0AdAnv021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuminoutmvAvAm111222Fluid Mech
11、anics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程13設出入口截面上的質流量大小為設出入口截面上的質流量大小為 inVAoutVAQQ inout)()(1.1.沿流管的定常流動沿流管的定常流動 AVm 一般式一般式 nioutmm 有多個出入口有多個出入口 inoutVAVA)()(2.2.沿流管的不可壓縮流動沿流管的不可壓縮流動 設出入口截面上的體積流量大小為設出入口截面上的體積流量大小為 VAQ 一般式一般式 有多個出入口有多個出入口 Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程14 例例B4.2.1
12、B4.2.1 主動脈弓流動:多個一維出入口連續(xù)性方程主動脈弓流動:多個一維出入口連續(xù)性方程 已知已知: : 所有管截面均為圓形所有管截面均為圓形, ,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分別為平均流量分別為Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 求:求: Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度 解:解: 取圖中虛線所示控制體,有多個出入口。取圖中虛線所示控制體,有多個出入口。血液按不可壓縮流體處理血液按不可壓縮流體處理 可得可得Q1 = Q 2 + Q 3 + Q
13、4 + Q 5 Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5)= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min inoutQQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程15各管的平均速度為各管的平均速度為 例例B4.2.1 B4.2.1 主動脈弓流動:多個一維出入口連續(xù)性方程主動脈弓流動:多個一維出入口連續(xù)性方程 20.4cm/s602.5100064422111dQVcm/s8.0600.8100060.044422444dQV24.8cm/s602.0100060.784422555dQ
14、V18.2cm/s600.7100060.074422333dQV11.6cm/s601.110000.664422222dQVFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程16B4.2.2 B4.2.2 運動的控制體運動的控制體 將控制體隨物體一起運動時,連續(xù)性方程形式不變,只要將將控制體隨物體一起運動時,連續(xù)性方程形式不變,只要將速度改成相對速度速度改成相對速度vr對流體在具有多個出入口的控制體內(nèi)作定常流動時對流體在具有多個出入口的控制體內(nèi)作定常流動時 CVCS0dAdt)nvr(inoutAV(AV(rr)上式中上式中 ,vr 分別為
15、出入口截面上的平均相對密度和平均相對速度。分別為出入口截面上的平均相對密度和平均相對速度。 Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程17 例例B4.2.1b B4.2.1b 變水位孔口出流:隨時間變化的控制體變水位孔口出流:隨時間變化的控制體已知圓柱型水箱已知圓柱型水箱, ,D=1m, d=0.1m, 放水前水深放水前水深H=1m, 假假設孔口出流速度為設孔口出流速度為v2=2gh?, h(t)為任意時刻的水深。DdhvH求孔口打開至水放空所需時間求孔口打開至水放空所需時間T T0AVdAnvdtdtdhAhAtdtDDVdAvAdA
16、nv020ghAdtdhAvAdtdhAdDdDhHdDtdDghdhAAdttghdhAAdt220)(22hHAgAtdDsdgHDAgHATdD2 .45222222放空放空h=04/2dAd4/2DADFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程18 例例B4.2.2 B4.2.2 圓管入口段流動:速度廓線變化圓管入口段流動:速度廓線變化 已知已知: : 不可壓縮粘性流體以速度不可壓縮粘性流體以速度U流入半徑流入半徑R的圓管的圓管, ,圓截面上的速度廓圓截面上的速度廓 線線, 不斷發(fā)展至指數(shù)形式分布不斷發(fā)展至指數(shù)形式分布(湍流湍流
17、)并不再變化稱為充分發(fā)展流動。并不再變化稱為充分發(fā)展流動。求:求: 充分發(fā)展流動的速度廓線表達式充分發(fā)展流動的速度廓線表達式解:解: 設設充分發(fā)展流動的速度廓線為充分發(fā)展流動的速度廓線為 指數(shù)形式指數(shù)形式式中式中um為管軸上的最大速度,在定常流動中為常數(shù),通常取為管軸上的最大速度,在定常流動中為常數(shù),通常取 n=1/7-1/10. .由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程: : (b)式左端式左端=R 2U, (b)式右端式右端= = rRrrRunR0nnmd)(1)(2R0nmArr2)Rr(1uAUdd(b)(n21,n)Rr(1uum(a)URFluid Mechanics and Machiner
18、yB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程19 例例B4.2.2 B4.2.2 圓管入口段流動:速度廓線變化圓管入口段流動:速度廓線變化 由積分公式可得由積分公式可得取取 n=1/7時時R0R01nR01n1nR0nrRrRrr1n1Rrr1n1rRrrd)()()d(d)(2)1)(1)()(2)1)(1nnRRrnn2n2nR02n由由(b)式可得式可得 2)1)(1)(2nnRuUR222nm2UUUum1.22477215822)711)(71(或或 U = 0.8167 u m Unnum22)1)(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程
19、積分形式的基本方程20B4.3 B4.3 伯努利方程及其應用伯努利方程及其應用伯努利方程的推導:伯努利方程的推導: 由一維歐拉運動方程沿流線積分由一維歐拉運動方程沿流線積分伯努利方程的限制條件:伯努利方程的限制條件:(3) 定常流動定常流動伯努利(伯努利(D.BernouliD.Bernouli 1700 170017821782)方程的提出和意義)方程的提出和意義(2) 不可壓縮流體不可壓縮流體(1) 無粘性流體無粘性流體(4) 沿流線成立沿流線成立Cpgzu221Cpgzu221Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程21加速度的
20、變體 xuuxuuxuuxuuuuuzzyyxxzyx2222221;)()()( 22zuuyuuxuuxuuxuzuuyuxuuuuuuxzxyzzyyzxzxyyyzzyzyzyzyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu22122 uFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程22zyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu2212zyzyxxzxyxxxuuxutuxuuxuuxuutu2212uuuxuuxuuxuuzyx221uuuuu221uuutuuutu221Fluid Mechanics and Machiner
21、yB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程23歐拉方程可化為葛羅米柯方程(歐拉方程的另一種形式): pfuuutudtud221uuutuuutudtud221pfdtud葛羅米柯方程kzWjyWixWWfPpP壓力函數(shù)dprdpPW勢函數(shù)rdfWuu)PWu(tu221Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程24理想流體微分方程的積分 uu)PWu(tu221恒定流時 0ut葛羅米柯方程方程可化為葛羅米柯方程方程可化為: uu)PWu(221uus流線切線方向0212)uu(uu)PWu(s沿流線0212)PWu(s)n(CPWu
22、221伯努利方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程252 urd)u()PWu(rd2212uuu)PWu(2212Kuuudzdydxrd)u()PWu(dyyxzyx222212)k(CPWu221K=0,伯努力方程P壓力函數(shù)pP,const,dprdpPW勢函數(shù)gzW,kgf ,rdfW)k(Cpgzu221伯努力方程化為當質量力只有當質量力只有重重力力時,對時,對理想理想、不可壓縮不可壓縮流體有流體有伯努利方程伯努利方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程2
23、6行列式為零的情況 靜止流體: ,得到靜力學基本方程0 xyzuuupzCyyxzyxuuudzdydxK)k(Cpgzu2210 xyz 無旋流動:xyzdxdydzuuu 流 線:xyzdxdydz 渦線:yxzxyzuuu 螺旋運動?:Cpgzu221 無旋流動無旋流動伯努利方程伯努利方程 處處成立處處成立Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程27流線方向的速度壓強關系ssmaF svvtvdt)t , s(dvas切向加速度ssaAcossAA)sspp(Apszszcos幾何關系)svtv()svvtv(szsp221)n
24、(fdstvvzp221定常流動定常流動npvssppszxyGzs0212tvsvszp)n(fvzp221Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程28元流伯努利方程的應用畢托管測速儀 滯止點滯止點(駐點駐點)1 1:速度為零,壓力最大速度為零,壓力最大222221112121ugpzugpz0121uzzghu22 為經(jīng)實驗校正的流速系數(shù),為經(jīng)實驗校正的流速系數(shù),它與管的構造和加工情況有關,它與管的構造和加工情況有關,其值近似等于其值近似等于1 1。ghu2實際流速實際流速h11p2ph1p2p2u01u/01111phpphpa
25、a/02222phpphpaaghppgu2)(22122Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程29已知已知: : 設畢托管正前方的流速保持為設畢托管正前方的流速保持為v, ,靜壓強為靜壓強為p, ,流體密度為流體密度為, ,U 形管中形管中液體密度液體密度m . . 求:求: 用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 畢托測速管畢托測速管 220002212121BBBAvgpzugpzvgpzBAzzz0AOB線是一條流線線是一條流線(常稱為零流線常稱為零流線),2022121BBvgppvgpppv
26、vBB2021vpphgppm)(0k 稱為畢托管系數(shù)。稱為畢托管系數(shù)。hgkvm2) 1(hgkvppm)?(?2120Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程30hxpp0MhzxppmNhzppm0等壓面等壓面, pM= pN0BAzzzhppm0hhpp11mm0zxMNpMPNp0pFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程31npCvRnnppszxyznG流線主法線方向的速度壓強關系流線主法線方向的速度壓強關系Rvan2向心加速度向心加速度RvnAcosnAA)n
27、npp(Ap2nznzcos幾何關系Rvnznp2)s(fdngRpz2v漸變流動漸變流動)s(fzpp+z垂直于流線的斷面上不變垂直于流線的斷面上不變nnmaF Rnp2v忽略重力0v2nRpppOutinpoutpinOutinpp Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程32對于恒定不可壓縮且質量力只有重力的漸變流動,0,0 xyzuu uuxzyufpupfdtud22xuxp202yuypzugzp2)x(ffyfyp00)y, x(fzpzp)x(fzp)x(fzp 即在即在漸變流過流斷面漸變流過流斷面上,壓強分布可認為服
28、從于上,壓強分布可認為服從于流體流體靜力學規(guī)律靜力學規(guī)律。) x(Fzpp/+z在漸變流的過流斷面上不變在漸變流的過流斷面上不變過流過流 斷面斷面x流動方向流動方向Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程33恒定總流伯努利方程 漸變流漸變流及其性質及其性質 均勻流均勻流的流線是相互的流線是相互平行的直線平行的直線,過流斷面是,過流斷面是平面平面。許。許多流動情況雖然不是嚴格的均勻流,但多流動情況雖然不是嚴格的均勻流,但接近接近于均勻流,這種于均勻流,這種流動稱為流動稱為漸變流動漸變流動。漸變流的流線。漸變流的流線近乎近乎平行直線,流速
29、沿流平行直線,流速沿流向變化小,可忽略不計,過流斷面可向變化小,可忽略不計,過流斷面可認為認為是平面。是平面。Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程34總流伯努力方程總流伯努力方程總流伯努力方程可由元流伯努力方程積分得到總流伯努力方程可由元流伯努力方程積分得到12221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg式中包含三類積分式中包含三類積分:(a)勢能積分勢能積分 ApzdQAppzdQzQ取漸變流斷面取漸變流斷面,則則:dQdQ)hugpz()ugpz(l21222221112121B4.3.3 B4.3.3 伯努
30、利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程35B4.3.2 B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程1.1. 單位質量流體沿流線法線方向的機械能守恒單位質量流體沿流線法線方向的機械能守恒pgzdnRv2常數(shù)常數(shù)( (沿流線法線方向沿流線法線方向) ) 慣性離心力做功慣性離心力做功重力勢能重力勢能壓強勢能壓強勢能2. 2. 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程沿流線的伯努利方程在沿總流的緩變流截面上按質量流量積分,沿流線的伯努利方程在沿總流的緩變流截面上按質量流量積分,pgzV22常數(shù)常數(shù)
31、 ( (沿流束沿流束) ) 上式中上式中V V為總流截面上的平均速度,為總流截面上的平均速度, 為動能修正因子(通常取為動能修正因子(通常取 ) 1Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程36引入斷面平均流速及引入斷面平均流速及動能修正系數(shù)動能修正系數(shù)1 取決于斷面取決于斷面上流速的分布,上流速的分布, 通常取通常?。╟)損失積分損失積分 1 2lh 引入引入 來表示單位時間單位重量流體由來表示單位時間單位重量流體由1-11-1斷面斷面到到2-22-2斷面的斷面的平均平均機械能損失,稱為機械能損失,稱為總流水頭損失總流水頭損失1 21
32、 2llhdQhQAudAAQvAAdAuAv33(b)動能流量動能流量 AAAdAudQudQug322212121AvdAuQvdAuQvdQuQvdQuAAAgAg3333221221221221QvgdQugA22221B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程37)s(fpzhugpzugpzl2122222111212112221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg將上述三類積分帶入原積分式,則得到總流伯努力方程將上述三類積分帶入原積
33、分式,則得到總流伯努力方程:QhQgvQ)pz(QgvQ)pz(l2122222211112221222222111122lhgvpzgvpzB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程38總流伯努力方程的適用條件 恒定流; 不可壓縮流體; 質量力只有重力; 漸變流過流斷面; 無分流和合流; 無能量的輸入輸出。2211 1212121 222lppzzhggB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義Fluid Mechanics and
34、MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程39總流伯努力方程的意義總流伯努力方程的意義 總流伯努力方程的幾何意義和物理意義在總流伯努力方程的幾何意義和物理意義在“平均平均”的意義下的意義下同元流伯努力方程相同,即:同元流伯努力方程相同,即:22pzg、 、 各項分別代表總流過流斷面上某點各項分別代表總流過流斷面上某點單位重量單位重量流體的流體的勢能勢能、壓能壓能及及動能動能;1 2lh 代表代表單位重量單位重量流體由流體由 1-1 1-1 斷面到斷面到 2-2 2-2 斷面的斷面的平均平均機械損失機械損失,稱為,稱為總流水頭損失總流水頭損失。pzHp 代表流過流斷面上某點代表
35、流過流斷面上某點單位重量單位重量流體的流體的總平均勢能總平均勢能gvpzH22 代表流過流斷面上某點代表流過流斷面上某點單位重量單位重量流體的流體的總平均機械能總平均機械能;B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程40總流伯努力方程的幾何表示總流伯努力方程的幾何表示水力坡度定義水力坡度定義 0J 理想流體: ,總水頭線沿程不變;0J 實際流體: ,總水頭線沿程下降。lhlHHJl21平均平均dshddsdHJl測壓管水頭線測壓管水頭線H Hp p坡度dsdHJpp
36、Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程41pzHpgvpzH221pg221v11zpzg22v2p2zg222v21vv2v測壓管水頭線測壓管水頭線Hp總水頭線總水頭線H水流軸水流軸線線HHp水頭損失水頭損失hl總流伯努力方程的幾何表示總流伯努力方程的幾何表示水力坡度定義水力坡度定義 dshddsdHJl測壓管水頭線測壓管水頭線H Hp p坡度dsdHJppB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程42
37、 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流:托里拆里公式及縮頸效應小孔出流:托里拆里公式及縮頸效應 已知已知: : 圖示一敞口貯水箱圖示一敞口貯水箱, ,孔與液面的垂直距離為孔與液面的垂直距離為h( (淹深淹深).).設水位保持不變設水位保持不變. . 求:求: (1)(1)出流速度出流速度v(1)(1)設流動符合不可壓縮無粘性設流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件流體定常流動條件. .解:解:(2)(2)出流流量出流流量Q從自由液面上任選一點從自由液面上任選一點1 1畫一條畫一條流線到小孔流線到小孔2 2,并列伯努利方程,并列伯努利方程 2222112122pgzvpgzvFluid Me
38、chanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程43 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流:托里拆里公式及縮頸效應小孔出流:托里拆里公式及縮頸效應 討論討論1 1:(b)式稱為托里拆里式稱為托里拆里( (ETomcelli,1644)公式公式, ,形式上與初始速度為形式上與初始速度為零的自由落體運動一樣零的自由落體運動一樣. .(b)式也適用于水箱側壁平行于液面的狹式也適用于水箱側壁平行于液面的狹縫出流??p出流。 (2)(2)在小孔出口在小孔出口, ,發(fā)生縮頸效應發(fā)生縮頸效應. .設縮頸處的截面積為設縮頸處的截面積為A e, ,縮頸系數(shù)縮頸系數(shù) 小孔出流
39、量小孔出流量液面的速度可近似取為零液面的速度可近似取為零v1= 0,液面和孔口外均為大氣壓強,液面和孔口外均為大氣壓強p1= p2=pa = 0( (表壓表壓) ),由,由(a)式可得式可得ghzzgvv2)(2212AAeghAAvvAQe22222112122pgzvpgzvFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程44 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流:托里拆里公式及縮頸效應小孔出流:托里拆里公式及縮頸效應 討論討論2 2:上述各式均只適用于小孔情況上述各式均只適用于小孔情況( (孔直徑孔直徑d0.1h),),對大孔口對大
40、孔口( (d 0.1h) )應考慮速度不均勻分布的影響。應考慮速度不均勻分布的影響。 收縮系數(shù)收縮系數(shù)與孔口邊緣狀況有關:與孔口邊緣狀況有關:實際孔口出流應乘上一修正系數(shù)實際孔口出流應乘上一修正系數(shù) k 1 上式中上式中= k, ,稱為流量修正系數(shù),由實驗測定。稱為流量修正系數(shù),由實驗測定。 ghAghAkAkvkvAQe22內(nèi)伸管內(nèi)伸管= 0.5 0.5, ,流線型圓弧邊流線型圓弧邊=1.0.銳角邊銳角邊= 0.61, ,AAeghAAvvAQe2Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程45 例例B4.3.1-b B4.3.1-b
41、三角堰流量計三角堰流量計 hzbdz2)(2tgzhb微元bdz面上的速度gzvgzv2212微元條的寬度bdzzhgztgbdzgzvdAdQ)(2222通過微元條的流量dQhdzzhgztgQ0)(222流量Q)5232()(25232321zhzdzzhzhdzzhztggQ0)(2222525)(22158hfQhtggQzFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程46沿流束的水頭形式沿流束的水頭形式pgzvdstv22常數(shù)常數(shù)沿流線的不可壓縮流體不定常流歐拉運動方程沿流線的不可壓縮流體不定常流歐拉運動方程dltVggpz2gV
42、gpz2gV2222211211211( (沿流束沿流束) )B4.3.4 B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程沿流線從位置沿流線從位置1積分到位置積分到位置2212222112122dstvpgzvpgzv( (沿流束沿流束) )不定常慣性力作功不定常慣性力作功Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程47z2zz1z2Ol 例例B4.3.4 UB4.3.4 U形管振蕩形管振蕩 初始時刻,液位差初始時刻,液位差2h,2h,然后在重力作用下振然后在重力作用下振蕩,求振蕩方程蕩,求振蕩方程 212222112122dstvpgz
43、vpgzvv1=v2 =v(t)ldtdvdstv21p1=p2 =paz z1 1=-z;z=-z;z2 2 =z =z0202zlgdtdvgzldtdvdtdzv 0222zlgdtzd0;, 0vhzt)2cos(tlgAz)2sin(2tlglgAdtdzv0;hA)2sin(2tlglghdtdzvlgthtlghz2)cos()2cos(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程48【例【例4.3.24.3.2】 總流伯努力方程的應用總流伯努力方程的應用文丘里流量計文丘里流量計 由漸縮、喉管、由漸縮、喉管、漸擴三段組成漸擴
44、三段組成。進口直徑進口直徑 d1 =100mm,喉管直徑喉管直徑 d2 = 50mm,測壓管水頭差測壓管水頭差 h = 0.6m或或水銀差壓計液面差水銀差壓計液面差 hm= 4.76cm),),流量系數(shù)流量系數(shù)=0.98,試求輸水流量試求輸水流量。2211A?A?vvQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程49001122hhmz1z2mabxz =za-zbxhpp0axzpp0bzhppbabazzzh)pz()pz(bbaa11aapzpz22bbpzpzh)pz()pz(2211液柱式測壓計Fluid Mechanics a
45、nd MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程50bazzz11aapzpz22bbpzpzmmmh.h)()pz()pz(61212211maMhxppmmbNhzxppmmbahzpp等壓面等壓面, pM= pN水銀水銀m=13.6z =za-zbM001122hhmz1z2mabxNmmbbaa1 h)()pz()pz(U型管型管壓差計用于測量兩點的壓強差或測壓管水頭差壓差計用于測量兩點的壓強差或測壓管水頭差Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程511.1.取基準面取基準面0-00-0;2.2.取計算斷面取
46、計算斷面1-11-1,2-22-2;gpzgpz2222222111vv 伯努利方程伯努利方程001122hhmz1z21v1p2v2p2211AAvvQ)(g)pz()pz(h2122221121vv 連續(xù)性方程連續(xù)性方程)AA(A)AA(hg111222121212222QQFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程52mmmh.h)()pz()pz(61212211h)pz()pz(2211)dd(gd)AA(gAKhK)AA(hgA12412124212122112211Q)(g)pz()pz(h2122221121vv )AA
47、(A)AA(hg111222121212222QQK文丘里管系數(shù)hKhKh)(KhKmmQQ1hKhKh)(KhKmmQQ1考慮到水頭損失的影響,引入流量修正系數(shù)考慮到水頭損失的影響,引入流量修正系數(shù)K K 取決于流量計取決于流量計的的結構尺寸結構尺寸Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程53流體系統(tǒng)的動量方程流體系統(tǒng)的動量方程FdVvdtddtdKVdAnvdQAVVdA)nv(vdVtvdVvdtddtdKAnVAVdApdVfdA)nv(vdVtvFdApdVfdAnvvAnVA)(流過控制面流過控制面A A的動量的動量流量流
48、量= =合外力合外力FdQvdA)nv(vAA流體系統(tǒng)的動量輸送公式流體系統(tǒng)的動量輸送公式定常流定常流B4.4 B4.4 積分形式的動量方程及其應用積分形式的動量方程及其應用Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程5421AAAdA)nu(udA)nu(udA)nu(uK流進面流進面11111ununuu流出面流出面22222ununuu21222121AAdAnudAnuK121212AAAAAAAAdA)nu(udQudQudQuB00dAnvdQnvAonB1u流進面流進面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向
49、n1nABFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程5521222211AAdAundAunKAudAAQvA平均流速平均流速動量修正系數(shù)動量修正系數(shù)AAdAuA)udA(Av222AvdAuA22取決于斷面流速分布的不均勻性,一般取決于斷面流速分布的不均勻性,一般 =1. 051.02, 僅當?shù)人倭鲀H當?shù)人倭?=1;通常取通常取 = =1 1。 定義為定義為實際動量和按照平均流速計算的動量的比值實際動量和按照平均流速計算的動量的比值。AvdAuQvdAuQvudQAAA222Fluid Mechanics and MachineryB
50、4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程5621222211AAdAundAunK2222211211nAvnAvK動量流量動量流量AvdAuA22111nvv222nvvQvAAv1122考慮到)vv(QvvAvAvK1122111122221u流進面流進面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法線線方方向向n1nFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程57若總流兩斷面間有分流或合流,總流動量方程可為若總流兩斷面間有分流或合流,總流動量方程可為流過控制面流過控制面A A的動量的動量流量流量= =合外力合外力AnVdApdVfFv
51、vQK)(1122流入流出)vQ()vQ(F流入流出流入流出)Av()Av(QQ對對不可壓縮不可壓縮流體流體: Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程58動量方程的求解動量方程的求解 動量方程為動量方程為矢量矢量方程,求解時可寫成在直角坐標系中方程,求解時可寫成在直角坐標系中的的分量式分量式:221121AvAvQQcosvv)vv(QFxxxx1122cosvv)vv(QFyyyy1122cosvv)vv(QFzzzz112221222222111122lhggpzggpzvvFluid Mechanics and Machine
52、ryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程59有分流時動量方程的求解有分流時動量方程的求解cosvv)vQvQvQ(Fxxxxx113322cosvv)vQvQvQ(Fyyyyy113322ggpzggpz2222222111vv332211321AvAvAvQQQggpzggpz2223332111vv1123 有分流的動量方程有分流的動量方程1-2( 1-3 )1-2( 1-3 )斷面間的伯努利方程斷面間的伯努利方程 有分流的連續(xù)性方程有分流的連續(xù)性方程Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程60固定不變形的控制體固定不變形的
53、控制體CV, ,控制面為控制面為CS 設設=v,流體系統(tǒng)動量流體系統(tǒng)動量 B4.4 B4.4 積分形式的動量方程及其應用積分形式的動量方程及其應用由牛頓第二定律由牛頓第二定律F為作用在流體系統(tǒng)上的所有外力之合力為作用在流體系統(tǒng)上的所有外力之合力 syssysd v vI IsyssysddtddtdFvIB4.4.1 B4.4.1 固定的控制體固定的控制體由輸運公式可得由輸運公式可得 Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程61B4.4 B4.4 積分形式的動量方程及其應用積分形式的動量方程及其應用對固定控制體的流體動量方程為對固定控
54、制體的流體動量方程為 v為絕對速度。為絕對速度。定常流動時定常流動時上式表明上式表明: :作用在固定控制體上的合外力作用在固定控制體上的合外力從控制面上凈流出的動量流量從控制面上凈流出的動量流量CSdAFnvv)(CSCVVdAnvvdVtvdVvdtd)(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程621. 沿流管的定常流動沿流管的定常流動通常取通常取1=2=1 。由一維定常流動連續(xù)性方程。由一維定常流動連續(xù)性方程可得可得一維定常流動一維定常流動動量方程動量方程CS = 流管側面流管側面 + A1 + A2FVV12)(m mmm12
55、dACS)(nvvdAAA)()(12nvvmdAA)v12(12mm1212VVFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程632. 具有多個一維出入口的控制體具有多個一維出入口的控制體注意注意: : (1) (1) 控制體的選取控制體的選取FVViiinioutimm)()(2) (2) 或或 代表流出平均速度代表流出平均速度矢量矢量2VoutV 或或 代表流入平均速度代表流入平均速度矢量矢量1VinV(3) (3) 動量方程中的動量方程中的負號負號是方程本身具有的是方程本身具有的, , 和和 在坐標軸上投影式的正負與在坐標軸上投影式
56、的正負與坐標系選擇有關坐標系選擇有關outVinV(4) (4) 包含所有外力包含所有外力( (大氣壓強見例大氣壓強見例B4.4.1).B4.4.1).FFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程64【例例】水平水平輸水彎管輸水彎管。直徑由直徑由 D1 經(jīng)經(jīng)=轉角變?yōu)檗D角變?yōu)镈2 ;轉彎前斷轉彎前斷面的表壓強面的表壓強 p1,輸水流量輸水流量Q ,不計水頭損失,求水流對彎不計水頭損失,求水流對彎管的作用力。管的作用力。112221vvcosQRcosFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF D1D21122xoyp
57、1p2RyRx111ApF 222ApF 2A1v2v)vv(QFxxx1122)vv(QFyyy1122AbbAAAndApdApdApdAp2211AbbdApRFluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程65112221vvcosQRcosFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF 21114DQAQv22224DQAQvsin)QAp(Ry222v121cos)QAp(QApRx222111vvggpggp22222211vv2222112vv pp水流對彎管的作用力與彎管對水流的作用力大小相等方向相反水流對彎
58、管的作用力與彎管對水流的作用力大小相等方向相反Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程66【例例】水平方向的射流水平方向的射流。流量流量Q ,擊板流速擊板流速v;水流在大氣水流在大氣中沖擊光滑平板,射流軸線與平板夾角為中沖擊光滑平板,射流軸線與平板夾角為;求;求射流對平射流對平板的作用力;板的作用力;分流的流量分流的流量yx1v2v3v123123app 1app 2app 3ggpzggpz2222222111vvggpzggpz2223332111vvappppzzz321321vvvv321AbbAaaAndApdApdApAb
59、abAaRdA)pp(dAp0AbabRdA)pp(Fluid Mechanics and MachineryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程67 有分流的動量方程有分流的動量方程流入流出)vQ()vQ(F1vyx2v3v123123QQ 12Q3QRyRx)cosvQ()v(QvQRx113322sinQv)sinv(Q(QQRy11320032QQQcosQQQRx320QQvvvv1321)cos(QQ)cos(QQ121232射流對平板的作用力等于射流對平板的作用力等于平板對射流的作用力,方向相反平板對射流的作用力,方向相反Fluid Mechanics and Machin
60、eryB4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程68【例【例】 分岔管分岔管。干管直徑。干管直徑 D1 ,分岔角,分岔角,支管直徑,支管直徑D2 = D3 ,分岔前斷面的壓強,分岔前斷面的壓強 p1,總流量,總流量Q ; ;不計水頭不計水頭損失,求水流對分岔管的作用力。損失,求水流對分岔管的作用力。13232122vvvQcosQcosQRcosFcosFF12212vvcosQcosFFR21114DQAQv222222221DQAQAQvR1122xp1p2p333111ApF 222ApF 23232/QQQQQQ有分流的動量方程有分流的動量方程流入流出)vQ()vQ(Fcos)QAp(
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