第一章矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.

2、6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31. 1. 標量和矢量標量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標量標量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既

3、有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量單位矢量不一定是常矢量A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 自由矢量自由矢量 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版4zzyyxxAeAeAeA矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量

4、表示zlGc o s,uG lGG ll c o s, c o s, c o s,yzzxxySyzzxxySR Q d y d zP R d x d zQ P d x d yR Qn xP Rn yQ Pn zd S xy12uz1231 ,s i nhh r h r x y zeeexyz c o s (,)nR n RR n NoImage模的計算模的計算單位矢量單位矢量NoImageNoImage方向角與方向余弦方向角與方向余弦NoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 &

5、 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5位置矢量位置矢量(矢徑矢徑)xyzeeexyz ( ) ( ) ( ),xyzRexx eyy ezzRR 位矢位矢 的大小的大小( (模模) )為為34qErr G 起點在坐標原點，終點在點起點在坐標原點，終點在點M的矢量的矢量 為點為點M的位置矢量的位置矢量, ,簡稱簡稱位矢：位矢： 。 NoImage34qErr *NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage位矢位矢 的方向余弦的方向余弦34qErr NoI

6、mage直角坐標的表達式：直角坐標的表達式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版6（1）矢量的加減法）矢量的加減法()()fRfR 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的加法xyzeeexyz AB矢量的減法矢量的減法BA2 2 22

7、2 2a r c c o s (/)a r c ta n (/)r x y zz x y zyx ()d ffR Rd Rxyze e ex y z 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律(,)z31(1 ),(2),(3) ( )( )RRRf Rf RRRR 交換律交換律第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版7（2 2）標量乘矢量）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）xyzeeexyz

8、zzyyxxBABABAABBAcosxyzeeexyz 矢量的標積符合交換律矢量的標積符合交換律1zzyyxxeeeeeexyzeeexyzAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角xyze e ex y z x y zre xe ye zxyzeeexyz xyzeeexyzBA/221 313dd duShh u u e第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版8（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）(,)Fxyz、112323ddduShhuue2

9、22u x y z (, )Fxyz tsinAB0uy(,)u x y z 、22()xy zA x z e y z e x y e 矢量矢量 與與 的叉積的叉積x y ze e ex y z x y zre x e y e z用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為( , )uMt 、1321hhh若若 ，則，則( , )F M t,)(,)(,)(,)xxyyzzF x y ze F x y ze F x y ze F x y z （若若 ，則，則負交換率負交換率第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出

10、版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版9（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算CBCACBA)()FM222uxxxyz(,)xyz 分配律分配律 分配律分配律 標量三重積標量三重積 矢量三重積矢量三重積第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版101.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：三種常用的正交曲線坐標系為：

11、直角直角坐坐標系、圓柱坐標系和球坐標系標系、圓柱坐標系和球坐標系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱；描述坐標軸的量稱為為坐標變量坐標變量。 三維坐標系中一個坐標的等值曲面，稱為該坐標的三維坐標系中一個坐標的等值曲面，稱為該坐標的坐標曲面坐標曲面；三維坐標系中兩個坐標曲面的交集即為坐標曲線；三個坐標曲面三維坐標系中兩個坐標曲面的交集即為坐標曲線；三個坐標曲面的交點確定三維空間點的坐標。的交點確定三維空間點的坐標。第第1 1章章 矢

12、量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版111. 直角坐標系直角坐標系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面積元面積元線元矢量線元矢量()uM、Edd dzSx y體積元體積元1 2 3123dd d dVhhh u u uNoImage坐標變量坐標變量zyx,坐標單位矢量坐標單位矢量222uzzxyz 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 x y zeeexyz x

13、y zeeexyz yex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxdd dxSy zesD dSq123,hhh坐標曲面坐標曲面0limc o sc o sc o snyzzxxySR QP RQ PS 坐標曲線上坐標曲線上xyz增大方向增大方向兩兩正交，滿足右手螺兩兩正交，滿足右手螺旋法則旋法則均為常矢量均為常矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版12矢量在直角坐標系中表達及運算矢量在直角

14、坐標系中表達及運算sinc o ssinsinc o sc o sc o sc o ssinsinsinc o srxyzxyzxyeeeeeeeeeee l0uu 222u x y z 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版132. 圓柱坐標系圓柱坐標系123(,)u uu坐標變量坐標變量NoImage坐標單位矢量坐標單位矢量圓柱坐標系圓柱坐標系坐標曲面坐標曲面NoImage 分別指向各自坐標變量增大的方向分別指向各自坐標變量增大的方向 兩兩正

15、交，滿足右手螺旋法則兩兩正交，滿足右手螺旋法則 不是常矢量不是常矢量NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版14圓柱坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系圓柱坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系NoImageNoImageoxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系,ne1 1N Ne e i iiiqQ eNoImageNoImage坐標單位矢量之間的關(guān)系坐標單位矢量之間的關(guān)系l 和

16、和 是隨是隨 變化的變化的NoImageNoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版15NoImageNoImageNoImageNoImage矢量在圓柱坐標系中的表示及運算矢量在圓柱坐標系中的表示及運算第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版16xyze e ex y z ze

17、erz位置矢量位置矢量NoImage線元矢量線元矢量331212ddduSh huu e體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版173. 球坐標系球坐標系球坐標系球坐標系, r坐標變量坐標變量1231 , 1h h h 坐標單位矢量坐標單位矢量坐標曲面坐標曲面NoImage 分別指向各自坐標變量增大的方向分別指向各自坐標變量增大的方向 兩兩正交，滿足右手螺旋

18、法則兩兩正交，滿足右手螺旋法則 三個單位矢量均不是常矢量三個單位矢量均不是常矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版18球坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系球坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系NoImageNoImageNoImage球坐標系與直角坐標系的坐標單位矢量之間的關(guān)系球坐標系與直角坐標系的坐標單位矢量之間的關(guān)系NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出

19、版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1911N Nee iiiiqQ e0*S M M M 時，000A 1limd limnCS MS MQd Qv lSS d S FdSF S oz單位圓單位圓 柱坐標系與求坐標系之間柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系01 1N Ne e i iiiqQ 1c o sc o sc o s2u uuulxyz c o sc o sc o sxyz xyzu u u ueeeeeelxyz 圓柱坐標系與球坐標系的坐標單位矢量之間的關(guān)系圓柱坐標系與球坐標系的坐標單位矢量之間的關(guān)系第第1 1章章 矢量分析

20、矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版20(,)r2dsin d drSr dsin d dSrrdd dSr r球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元rerr位置矢量位置矢量xyzeeexyz線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2

21、1NoImageNoImageNoImageNoImage矢量在球坐標系中的表示及運算矢量在球坐標系中的表示及運算第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版224. 坐標單位矢量之間的關(guān)系坐標單位矢量之間的關(guān)系 ,ne0ne00(,)dCvxyz l Q ( ) ()A M frrA 122c o s ,c o s ,c o s333()frdSF S 直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系11N Nee iiiiqQ e0*S M M M 時，0

22、00A 1limd limnCS MS MQd Qv lSS d S FdSF S 圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系01c o sc o sc o s2u uuulxyz c o sc o sc o sxyz xyzu u u ueeeeeelxyz c o s c o s c o sxyzxyzu u uGe e ex y zl e e e lddF S F1limdlimnCS MS MI dIH lSS dS ,ne31RRRRRddFS122c o s ,c o s ,c o s333()fr第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與

23、電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版23 在正交曲線坐標系中，其坐標變量在正交曲線坐標系中，其坐標變量 不一定都不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù)梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、，就可正確寫出其線元、面元和體元。面元和體元。NoImageNoImage體元：NoImageNoImage線元：NoImageNoImageNoImage面元：正交曲線坐標系：正交曲線坐標系：第第1 1章

24、章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版24a. 在直角坐標系中，在直角坐標系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)均為均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：即：NoImageNoImageb. 在柱坐標系中，坐標變量為在柱坐標系中，坐標變量為 , 其中其中 為角度，其對為角度，其對應的線元應的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：，可見拉梅系數(shù)為：NoImageNoImageNoImage在球坐標系中，坐標變量為在球坐標系中，坐標變量為 ，其中，其中 均為均為 角度，其拉梅

25、系數(shù)為：角度，其拉梅系數(shù)為：NoImageNoImageNoImage注意：注意：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版25q 如果物理量是標量，稱該場為如果物理量是標量，稱該場為標量場標量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱

26、為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。定義：定義：確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個在該區(qū)域上定義了一個場場。p 什么是場？什么是場？p 場有哪些性質(zhì)？場有哪些性質(zhì)？p 產(chǎn)生場的源是什么？產(chǎn)生場的源是什么？p 場的分布和變化用什么來描述？場的分布和變化用什么來描述？第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版26時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量場和矢量場可分

27、別表示為： 1231 12 23 3d ddduuul hue hue hueNoImage從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)，即場是空間點從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)，即場是空間點M的的函數(shù)函數(shù)NoImageNoImage靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：直角坐標系下，直角坐標系下，NoImageNoImageNoImageNoImage矢量場的坐標分量表示矢量場的坐標分量表示NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等

28、教育電子音像出版社 出版出版271. 1. 標量場的等值面標量場的等值面等值面等值面: : 標量場取得標量場取得同一數(shù)值同一數(shù)值的點在空的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：由隱函數(shù)存在定理知：函數(shù)由隱函數(shù)存在定理知：函數(shù)u u為單值，且連續(xù)偏導數(shù)為單值，且連續(xù)偏導數(shù) 不全為零時，等值面一定存在；不全為零時，等值面一定存在；常數(shù)常數(shù)C C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；過空間任意一點有且僅有一個等值面

29、通過，即互不相交。過空間任意一點有且僅有一個等值面通過，即互不相交。 等值面的特點等值面的特點：xyze e ex y z ,xyzuuu1.3 標量場的梯度標量場的梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版28標量場的等值線標量場的等值線( (面面) )意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教

30、育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版29例：例：設(shè)在坐標原點置一電量為設(shè)在坐標原點置一電量為q q的電荷，在空間形成電位場，電位的電荷，在空間形成電位場，電位滿足標量函數(shù)滿足標量函數(shù) ，其中，其中r是空間點到電荷的距離，于是電位是空間點到電荷的距離，于是電位場的等值面就是電位相同的點所構(gòu)成的曲面，由方程場的等值面就是電位相同的點所構(gòu)成的曲面，由方程（C為常數(shù)不為零）為常數(shù)不為零）12,.C C4qur4quCr即是以原點為中心的球面，以不同常數(shù)值即是以原點為中心的球面，以不同常數(shù)值 就得到一就得到一族同心球面。族同心球面。第第1 1章章 矢

31、量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版302. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場在某點處沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場在某點處沿某方向的空間變化率。NoImage概念概念： lxyze e ex y z u(M)沿沿 方向增加；方向增加； lc o sc o sc o sx y zn eee u(M)沿沿 方向減小；方向減小； l n u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點特點：方向?qū)?shù)既與點：方向?qū)?shù)

32、既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31NoImage 的方向余弦。的方向余弦。 c o s c o s c o snR QP RQ Pyz zx xy 式中式中： xyzRQPRQPReeeyzzxxy方向?qū)?shù)的計算公式方向?qū)?shù)的計算公式(直角坐標系直角坐標系)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 &

33、高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版32例例1 1：求函數(shù)：求函數(shù) 在點在點 M(1,0,1) 處沿處沿的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。NoImageNoImage解解：NoImageNoImageNoImage在在M(1,0,1)處有處有NoImageNoImageNoImage的方向余弦的方向余弦NoImageNoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33問題問題：在空間某點處，沿哪個方向變化率最大、該最大的

34、變：在空間某點處，沿哪個方向變化率最大、該最大的變化率又是多少？化率又是多少？標量標量場中給定點對應場中給定點對應無窮無窮多個方向多個方向方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：函數(shù)：函數(shù)u(M) 在給定點處沿某個方向的變化率的問在給定點處沿某個方向的變化率的問題。題。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版34NoImage改寫為兩個矢量的點積形式改寫為兩個矢量的點積形式 NoImageNoImage令令 NoImagep矢量矢量 表示點表示點M處沿曲線處沿曲線l方向

35、的單位矢量，僅僅與方向的單位矢量，僅僅與l的方向的方向有關(guān)，與函數(shù)有關(guān)，與函數(shù)u(M)無關(guān)；無關(guān)；p矢量矢量 只與函數(shù)只與函數(shù)u(M)在點在點M處的三個偏導數(shù)有關(guān)，與曲線的處的三個偏導數(shù)有關(guān)，與曲線的方向無關(guān)，在給定點處為一固定矢量；方向無關(guān)，在給定點處為一固定矢量； NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版35NoImage表明：表明： G在在l方向上的投影等于函數(shù)方向上的投影等于函數(shù)u在該方向上的方向?qū)?shù)在該方向上的方向?qū)?shù) 則則

36、 當當 方向和方向和 方向相同時，即方向相同時，即 ，方向?qū)?shù)取得，方向?qū)?shù)取得最大值，該最大值為最大值，該最大值為 ； 其他方向上，其他方向上， 。NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage矢量矢量 的方向?qū)瘮?shù)的方向?qū)瘮?shù)u( (M) )變化率最大的方向！變化率最大的方向！矢量矢量 的模為這個最大變化率的值！的模為這個最大變化率的值！ NoImageNoImage這正是我們尋找的！這正是我們尋找的！ 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社

37、高等教育電子音像出版社 出版出版36梯度的表達式梯度的表達式：NoImage圓柱坐標系圓柱坐標系 11gradsinruuuueeerrr球坐標系球坐標系gradxyzuuuueeexyz直角坐標系直角坐標系 3. 標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）Ru意義意義：描述標量描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向maxgrad|luuelxyzR R RRe e ex y z 梯度的定義與坐標系的選擇無關(guān)，它是由標量場的梯度的定義與坐標系的選擇無關(guān)，它是由標量場的場分布所決定，但是它的表達形式與

38、坐標系有關(guān)場分布所決定，但是它的表達形式與坐標系有關(guān)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版37附：附：哈密頓算子哈密頓算子 （矢性微分算子）（矢性微分算子）l 算子本身并無意義，而是一種微分運算符號，同時又被算子本身并無意義，而是一種微分運算符號，同時又被看做矢量，它在運算中具有看做矢量，它在運算中具有矢量矢量和和微分微分雙重性質(zhì)；雙重性質(zhì)；l 算子不對位于它左邊的物理量產(chǎn)生作用，而算子不對位于它左邊的物理量產(chǎn)生作用，而必對必對它右邊它右邊的物理

39、量產(chǎn)生作用；的物理量產(chǎn)生作用；xyzeeexyz 直角坐標系下直角坐標系下 梯度的表示梯度的表示：xyzeeexyz 直角坐標系下直角坐標系下 u第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版38標量場的梯度是矢量，它在空間某點標量場的梯度是矢量，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標量場

40、在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面），且指標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面），且指向場值增加的方向向場值增加的方向NoImage梯度場梯度場：標量場中每一點的梯度與場中點一一對應所形成的矢量場：標量場中每一點的梯度與場中點一一對應所形成的矢量場第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版39梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：NoImag

41、e第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版40 解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為xyzeeexyzxyzeeexyz 例例1.2.1 設(shè)一標量函數(shù)設(shè)一標量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標量描述了空間標量場。試求：場。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量

42、沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結(jié)論。值作以比較，得出相應結(jié)論。xyzeeexyz第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版41表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式

43、可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導數(shù)為對于給定的對于給定的P P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為 Auu uu u u )212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版42而該點的梯度值為而該點的梯度值為 0u 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標量函數(shù)點處標量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成

44、立。0A xyzrexeyez 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版43例例：已知：已知證明：證明：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage其中：其中： 表示對表示對x,y,z的運算，的運算， 表示對表示對 的運算，的運算，解：解： NoImage(1)(1)NoImage(2)(2)NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版

45、社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版44p 在電磁場中，通常以在電磁場中，通常以 表示場點的坐標，以表示場點的坐標，以 表表示源點的坐標，因此以上運算結(jié)果在電磁場中非常有用。示源點的坐標，因此以上運算結(jié)果在電磁場中非常有用。NoImageNoImageNoImage(3)(3)NoImage同理同理NoImageNoImage則則NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版45 確定空間區(qū)域上的每一點都有

46、確定物理量與之對應，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。如果物理量為矢量，則該物理量所確。如果物理量為矢量，則該物理量所確定的場為定的場為矢量場矢量場。矢量場矢量場 矢量場中各點的場量是隨空間位置變化的矢量，矢量場為矢量場中各點的場量是隨空間位置變化的矢量，矢量場為空間坐標的函數(shù)?？臻g坐標的函數(shù)。矢量場的矢量函數(shù)表達矢量場的矢量函數(shù)表達NoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出

47、版社 出版出版46n 矢量場的描述方式矢量場的描述方式n 矢量場性質(zhì)矢量場性質(zhì)n 產(chǎn)生矢量場的源？產(chǎn)生矢量場的源？研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版471.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一

48、矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fxyzeeexyz x y zeeexyz x y ze e ex y z 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版48矢量線不僅存在，而且充滿了矢量場所在空間；矢量線不僅存在，而且充滿了矢量場所在空間；矢量場空間任意一點處，有且僅有一條矢量線通過；矢量場空間任意一點處，有且僅有一條矢量線通過；即矢量線互不相交。即矢量線互不相

49、交。 矢量線的特點矢量線的特點：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版49例例1 1：設(shè)在坐標原點置一電量為設(shè)在坐標原點置一電量為q q的電荷，則在其周圍空間的任一的電荷，則在其周圍空間的任一點處所產(chǎn)生的電場強度為點處所產(chǎn)生的電場強度為00dlim limCnSSFlSS NoImageNoImage其中其中 為為M點的矢徑；點的矢徑； ，求電場強度，求電場強度 的矢的矢量線。量線。NoImage例例2 2：求矢量場求矢量場 通過點通過點 的矢量

50、的矢量線方程。線方程。NoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版502. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題： 如何定量描述矢量場的大小？如何定量描述矢量場的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 幾個概念幾個概念：有向曲線、有向曲面有向曲線、有向曲面/ /面元面元( (正方向的選擇正方向的選擇) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社

51、& 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版51矢量場穿過面積元的通量矢量場穿過面積元的通量通量的概念通量的概念NoImageSdR矢量場通過曲面的通量矢量場通過曲面的通量NoImageNoImage222222xyzAeyz ezx exy 其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；0AA 面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；RddnF e S穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。例如：電通量、磁通量例如：電通量、磁通量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像

52、出版社高等教育電子音像出版社 出版出版52 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是NoImage矢量場穿過閉合曲面的通量矢量場穿過閉合曲面的通量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版53矢量場通過面積元的通量矢量場通過面積元的通量通量的物理意義通量的物理意義NoImageSdRNoImageSdR矢量場通過曲面的通量

53、矢量場通過曲面的通量NoImageF與與 相交成銳角相交成銳角(d0)NoImageNoImageF與與 相交成鈍角相交成鈍角(d0)NoImage穿向曲面穿向曲面S正側(cè)的正通量和穿向曲正側(cè)的正通量和穿向曲面的負通量的代數(shù)和！面的負通量的代數(shù)和！NoImageNoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版54NoImage通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出NoImage有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入No

54、Image進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量矢量場通過閉合曲面通量 矢量場通過閉合曲面的通量從矢量場通過閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了與曲面內(nèi)產(chǎn)生建立了與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。矢量場的源的關(guān)系。dsFS正源正源負源負源三種可能結(jié)果三種可能結(jié)果p 表示穿出閉合曲面的正通量和進入閉合曲面負通量的代數(shù)和表示穿出閉合曲面的正通量和進入閉合曲面負通量的代數(shù)和無源？無源？第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社

55、出版出版55例：例：位于原點的點電荷位于原點的點電荷q所產(chǎn)生的電場中，任何一點所產(chǎn)生的電場中，任何一點M處的電位移處的電位移矢量為矢量為24qDrr r其中其中r是點電荷是點電荷q到點到點M的距離，的距離， 是從點電荷是從點電荷q指向指向M的單位矢量。的單位矢量。設(shè)設(shè)S為以點電荷為中心，為以點電荷為中心，R為半徑的球面，求從內(nèi)穿出為半徑的球面，求從內(nèi)穿出S的電通量。的電通量。 球面球面S S內(nèi)產(chǎn)生電通量的源，正是球面內(nèi)的電荷；內(nèi)產(chǎn)生電通量的源，正是球面內(nèi)的電荷； 靜電場中的正電荷就是發(fā)出矢量線的正通量源；負電荷即為靜電場中的正電荷就是發(fā)出矢量線的正通量源；負電荷即為負通量源負通量源第第1 1章

56、章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版56通量源在閉合曲面內(nèi)的分布情況？通量源在閉合曲面內(nèi)的分布情況？通量源的強弱？通量源的強弱？ 矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內(nèi)每一點的通量特性；為了研究矢量場在空間某點附近的通量內(nèi)每一點的通量特性；為了研究矢量場在空間某點附近的通量特性特性(即源的特性即源的特性)，引入矢量場的散度！，引入矢量場的散度！第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁

57、場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版573. 矢量場的散度矢量場的散度定義：流出單位體積封閉面的通量定義：流出單位體積封閉面的通量00( , , ) d ( , , )limlimSVVF x y zSdiv F x y zVV l 矢量場的散度為一矢量場的散度為一標量標量; ;l 表示場中一點處通量對體積的變化率，即該點處單位體積表示場中一點處通量對體積的變化率，即該點處單位體積內(nèi)散發(fā)出的該矢量的通量，具有場的局部性質(zhì)內(nèi)散發(fā)出的該矢量的通量，具有場的局部性質(zhì); ; l 描述了矢量場中描述了矢

58、量場中某點處某點處通量源的通量源的密度密度( (強度強度) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版58散度的物理意義散度的物理意義l 散度恒為零的矢量場散度恒為零的矢量場 為為無源場無源場；l 如果把矢量場中每一點的散度與場中之點一一對應起來就如果把矢量場中每一點的散度與場中之點一一對應起來就得到一個標量場，稱為該矢量場產(chǎn)生的得到一個標量場，稱為該矢量場產(chǎn)生的散度場散度場。( 0)div A第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與

59、電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版59直角坐標系下散度表達式的推導直角坐標系下散度表達式的推導 000( ,)xF x y zNoImageNoImage即流出即流出 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的體積元點的體積元 V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算在直角坐標系中計算zzxyPA uuxyzeeexyz和和0 xx兩面元的通量為：兩面元的通量為：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編

60、寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版60于是根據(jù)定義求得散度為：于是根據(jù)定義求得散度為： 同理，可計算出應流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：同理，可計算出應流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：NoImagezyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSdNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版61圓柱坐標系圓柱坐標系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標系球坐標系zFyFxFFzyx直角坐標系直角坐標系散度的表達式散度的表達式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：c o s c o s c o sxyzxyzRQ PR QPeeey zz xx yeee 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版624. 散度定理散度定理NoImage體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S通量與散度的關(guān)系：