成考專升本高等數(shù)學(xué)一真題及答案

1、成考專升本高等數(shù)學(xué)一真題及答案一、選擇題1函數(shù)的定義域?yàn)椤?D 】A B C D 解：z的定義域?yàn)椋海识xD。2設(shè)在處間斷，則有【 D 】A在處一定沒有意義；B; (即)；C不存在，或；D若在處有定義，則時(shí)，不是無窮小3極限【 B 】A B C1 D 0解：有題意，設(shè)通項(xiàng)為：原極限等價(jià)于：4設(shè)，則【 A 】A BC D解：對(duì)原式關(guān)于x求導(dǎo)，并用導(dǎo)數(shù)乘以dx項(xiàng)即可，注意三角函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則。所以，即5函數(shù)在區(qū)間上極小值是【 D 】A-1 B1 C2 D0解：對(duì)y關(guān)于x求一階導(dǎo)，并令其為0，得到；解得x有駐點(diǎn)：x=2，代入原方程驗(yàn)證0為其極小值點(diǎn)。6對(duì)于函數(shù)的每一個(gè)駐點(diǎn)，令，若，則函數(shù)【C】A有極大

2、值 B有極小值 C沒有極值 D不定7多元函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)【C】A BC D8向量與向量平行，則條件：其向量積是【B】A充分非必要條件 B充分且必要條件C必要非充分條件 D既非充分又非必要條件9向量、垂直，則條件：向量、的數(shù)量積是【B】A充分非必要條件 B充分且必要條件C必要非充分條件 D既非充分又非必要條件10已知向量、兩兩相互垂直，且，求【C】A1 B2 C4 D8解：因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，故而有：11下列函數(shù)中，不是基本初等函數(shù)的是【B】A BC D解：因?yàn)槭怯?，?fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù)。12二重極限【D】A等于0 B等于1 C等于 D不存在解：與k相關(guān)，因此該極限不存在。

3、13無窮大量減去無窮小量是【D】A無窮小量 B零 C常量 D未定式解：所謂的無窮大量，或者無窮小量只是指的是相對(duì)而言，變量的一種變化趨勢，而非具體的值。所以，相對(duì)的無窮大量減去相對(duì)的無窮小量沒有實(shí)際意義，是個(gè)未定式。14【C】A1 B CD解：根據(jù)原式有：15設(shè)，則【D】ABCD解：對(duì)原式直接求導(dǎo)，注意乘積項(xiàng)的求導(dǎo)即可。16直線上的一個(gè)方向向量，直線上的一個(gè)方向向量，若與平行，則【B】A BC D17平面上的一個(gè)方向向量，平面上的一個(gè)方向向量，若與垂直，則【C】A BC D18若無窮級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，則稱稱無窮級(jí)數(shù)【C】A發(fā)散 B收斂 C條件收斂 D絕對(duì)收斂19下面哪個(gè)是二次曲面中拋物柱面的表

4、達(dá)式【A】A BC D20設(shè)是矩形：，則【 A 】A. B. C. D. 解：關(guān)于單位1對(duì)于一個(gè)矩形區(qū)域進(jìn)行二重積分就是計(jì)算矩形區(qū)域的面積。由題意知：，則：21設(shè)，則【 D 】A B C D解：由于，得 將代入，得=22利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程【 A 】A    B    C    D解：z是x，y的函數(shù)，從，可得，故z是u，v的函數(shù)，又因?yàn)椋?。所以z是x,y的復(fù)合函數(shù)，故，從而左邊=因此方程變?yōu)椋?23曲線在點(diǎn)處的切線斜率是【A】A B C2 D解：。所以，在點(diǎn)(0,1)處，切線的斜率是

5、：24【 A 】A0 B C D解：因?yàn)?，所?5【 C 】A B C0 D1解：因?yàn)?有界，所以 26已知向量，求向量在軸上的投影及在軸上的分量【A】A27，51 B25，27 C25，51 D27，25解：A因此 ，27向量與軸與軸構(gòu)成等角，與軸夾角是前者的2倍，下面哪一個(gè)代表的是的方向【C】A， B，C， D，解：C設(shè)的方向角為、，按題意有=，=2由于 即 化簡得到解得 或因?yàn)?、都?到的范圍里，因此可以通過解反三角函數(shù)得到：，或者，28已知向量垂直于向量和，且滿足于，求【B】A BC D解：B因?yàn)榇怪庇谙蛄亢?，故而必定與平行，因此又因?yàn)榧矗航獾?，所以 29若無窮級(jí)數(shù)收斂，且收斂，則稱

6、稱無窮級(jí)數(shù)【D】A發(fā)散 B收斂 C條件收斂 D絕對(duì)收斂 30設(shè)D是方形域：，【 D 】A. 1 B. C. D. 解：D31若，為無窮間斷點(diǎn)，為可去間斷點(diǎn)，則【 C 】A B C D解：由于為無窮間斷點(diǎn)，所以，故。若，則也是無窮間斷點(diǎn)。由為可去間斷點(diǎn)得，故選C。32設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，有【 A 】A BC D解：考慮輔助函數(shù)33函數(shù)函數(shù)可能存在極值的點(diǎn)是【 B 】A B C D不存在解：由作圖知道，函數(shù)在第二象限是減函數(shù)，在第一象限是增函數(shù)。當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值y=5。34，則【 D 】A BC D解：35設(shè)，則【 C 】A BC D解：對(duì)y關(guān)于x求一階導(dǎo)有：所以，36

7、設(shè)直線與平面平行，則等于【 A 】A. 2 B. 6 C. 8 D. 10解：直線的方向向量為，平面的法向量為。因?yàn)橹本€和平面平行，所以兩個(gè)向量的內(nèi)積為0。即：得到：37若，則【 A 】A. 4 B. 0 C. 2 D. 解：因?yàn)樗?8和在點(diǎn)連續(xù)是在點(diǎn)可微分的【A 】A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.無關(guān)條件解：由定理直接得到：如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)的全微分存在。39在面上求一個(gè)垂直于向量，且與等長的向量【D】A BC D解：由題意設(shè)向量，因?yàn)榇怪庇谇?，所以有：，即：由以上方程解得，同?hào)故而所求向量或者40微分方程的通解是【 B 】A. B. C. D. 解：令，

8、由一階線性非齊次微分方程的公式有：二、判斷題1是齊次線性方程的解，則也是。（ ）2（不顯含有），令，則。（ ）解：根據(jù)微分方程解的性質(zhì)得到。3對(duì)于無窮積分，有。（ ）4在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，若：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。則為極小值點(diǎn)。（ ）解：根據(jù)極值判定定理第一充分條件，為極大值點(diǎn)。5在上連續(xù)，在上有一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，若對(duì)于,則在上的圖形是凸的。（ ）6二元函數(shù)的極大值點(diǎn)是。（ ）解：原式中，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取到極小值0 ；同樣，當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取到極小值0 。所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)位于（0，0）7設(shè)，其中，則1。（ ）解：直接求微計(jì)算：8設(shè)由，所確定，則1。（ ）解：由題意得到積分區(qū)域?yàn)楦飨虺叨葹?/p>

9、1的立方體，其體積即為1。9函數(shù)的定義域是。（ ）解：由對(duì)數(shù)定義得到。10設(shè)，則。（ ）11是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，則是方程的通解。()12齊次型微分方程，設(shè)，則。()13對(duì)于瑕積分，有，其中為瑕點(diǎn)。()14在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，若：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。則為極大值點(diǎn)。()解：根據(jù)極值判定定理第一充分條件，為極小值點(diǎn)。15設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。()16設(shè)是矩形區(qū)域，則1 （ ）解：顯然該積分表示長為3，寬為1的矩形面積，值應(yīng)為3。17若積分區(qū)域是，則。（ ）解：是一個(gè)外環(huán)半徑為2，內(nèi)環(huán)半徑為1的圓環(huán)，積分式是在圓環(huán)上單位1的二重積分，

10、所以求的是圓環(huán)的面積。原式=18設(shè)是由，所確定，函數(shù)在上連續(xù)，那么。（ ）解：。19設(shè)不全為0的實(shí)數(shù)，使，則三個(gè)向量共面。（ ）20二元函數(shù)的極大值點(diǎn)是極大值。（ ）21若為非齊次方程的通解，其中為對(duì)應(yīng)齊次方程的解，為非齊次方程的特解。()解：根據(jù)齊次線性方程解的性質(zhì)，與必須是線性無關(guān)的解，是其特解。22若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則，使得。()23函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。()24在處二階可導(dǎo)，且，。若，則為極大值點(diǎn)。()25若，則為一條水平漸近線。()解：根據(jù)函數(shù)漸近線的定義和概念可以得到，為一條鉛直漸近線。26設(shè)表示域：，則1。（ ）解：由定義得知表示以原點(diǎn)為中心，半徑為1的正球體，故而z軸方向關(guān)于球體的積

11、分值為0。27微分方程的通解為。（ ）解：對(duì)應(yīng)的線性一階齊次方程是：結(jié)合原方程，等式右邊項(xiàng)含x，所以通項(xiàng)公式為：將通項(xiàng)公式帶入原式，得到：代入，得到：最后得到：28設(shè)，且滿足，則6。（ ）解：經(jīng)計(jì)算向量積得到模值為36。29,則。（ ）30設(shè)為，與為頂點(diǎn)三角形區(qū)域，。（ ）31若為非齊次方程的通解，其中為對(duì)應(yīng)齊次方程的解，為非齊次方程的解。（ ）解：根據(jù)齊次線性方程解的性質(zhì)，與必須是線性無關(guān)的解，是其特解。32若為的一個(gè)原函數(shù)，則。（ ）33函數(shù)可微可導(dǎo)，且。（ ）34在處二階可導(dǎo)，且，。若，則為極小值點(diǎn)。（ ）解：根據(jù)極值判定定理第二充分條件可以直接得到。35若，則為一條鉛直漸近線。（ ）解

12、：根據(jù)函數(shù)漸近線的定義和概念可以得到，為一條水平漸近線。36二元函數(shù)的最小值點(diǎn)是。（ ）解：因?yàn)樵街校?dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取到極小值0 ；同樣，當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取到極小值0 。所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)位于（0，0）37微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式是。（ ）解：原微分方程的特征函數(shù)是：，。得到兩個(gè)無理根：。即是特征根。因此，特解的形式為：38設(shè)，則（ ）解：經(jīng)計(jì)算得到微分表達(dá)式。39微分方程的通解為。（ ）解：由微分方程通解求解準(zhǔn)則直接得到。40設(shè)由，所確定，且，則。（ ）解：變換積分方程即可求得。三、填空題1若，則。解：，因此。2求的導(dǎo)數(shù)。解：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：3設(shè)，則。解：所以，4設(shè)求

13、。解：由5將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)是。解：因?yàn)椋憾遥核裕?極限。解：07求。解：8。解：原式：原式分子有界，分母有界，其余項(xiàng)均隨著趨于無窮而趨于無窮。這樣，原式的極限取決于分子、分母高階項(xiàng)的同階系數(shù)之比。9設(shè)的頂點(diǎn)為,，求三角形的面積是。解：由向量的模的幾何意義知的面積.因?yàn)榈茫?。于?0無窮級(jí)數(shù)的和是。解：先將級(jí)數(shù)分解：第二個(gè)級(jí)數(shù)是幾何級(jí)數(shù)，它的和已知求第一個(gè)級(jí)數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)求和，考察因此原級(jí)數(shù)的和 11已知，則_，_。解：，由所給極限存在知, , 得, 又由, 知。12已知，求。解：先兩邊取對(duì)數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)樗?3。解：直接積分就可以得到：14求平行于軸，且過點(diǎn)和的平面方程是。解

14、：由于平面平行于軸，因此可設(shè)這平面的方程為：因?yàn)槠矫孢^、兩點(diǎn)，所以有解得，以此代入所設(shè)方程并約去，便得到所求的平面方程：15無窮級(jí)數(shù)的收斂發(fā)散性是。解：收斂因?yàn)椋核裕簾o窮級(jí)數(shù)收斂16。解：17計(jì)算廣義積分。解：18設(shè)，則。解：19冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是。 解：此級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)令因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為20冪級(jí)數(shù)的收斂域是。解：由于該冪級(jí)數(shù)缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，則直接用比值判別法求之。設(shè)當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間是四、解答題1 圓柱形罐頭，高度與半徑應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最?。?解：由題意可知：為一常

15、數(shù)，面積故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。故：時(shí)，用料最省。 2求，其中是由平面，及所圍成的區(qū)域。 解：把化為先對(duì)z積分，再對(duì)y和x積分的累次積分，那末應(yīng)把投影到平面上，求出投影域.它就是平面與平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區(qū)域。  我們?yōu)榱舜_定出對(duì)z積分限，在固定點(diǎn)，通過此點(diǎn)作一條平行于z的直線，它與上下邊界的交  點(diǎn)的豎坐標(biāo)：與，這就是對(duì)z積分的下限與上限，于是由積分公式得：  其中為平面區(qū)域：，如下圖紅色陰影部分所示：  再把域上的二重積分化成先對(duì)y后對(duì)x的累次積分，得： 3求，其中是圓環(huán)。 解：由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，

16、顯然，這個(gè)二重積分化為極坐標(biāo)計(jì)算比較方便。  把，代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的積分形式。如下：       在對(duì)其進(jìn)行累次積分計(jì)算：     4求二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域。解：因?yàn)槭钦?guī)區(qū)域，所以我們可先對(duì)y后對(duì)x積分，也可先對(duì)x后對(duì)y積分。這里我們采用前者  先對(duì)y后對(duì)x積分：  5求的極值。 解：設(shè)，則，。解：方程組，得駐點(diǎn)(1，1)，(0，0)。對(duì)于駐點(diǎn)(1，1)有，故，因此，在點(diǎn)(1，1)取得極小值f(1，1)=-1。對(duì)于駐點(diǎn)(0，0)有，故因此，在點(diǎn)(0，0)不取得極值。 五、證明題1 求證：當(dāng)&g