幾何體內(nèi)切球與外接球

1、專題：與球有關(guān)的內(nèi)切與外接問(wèn)題1 該類問(wèn)題命題背景寬，常以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接形式考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題較容易切接問(wèn)題切接問(wèn)題 解析 如圖，設(shè)O為截面圓的圓心，設(shè)球的半徑為R，則OMR2，又OMO45，OO24R.在RtOOB中，OB2OO2OB2，R2R2874，R22，S球4R28.答案 8練習(xí):一個(gè)四面體的所有的棱都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法2 構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方體，如圖。則A1、C1、B、D是棱長(zhǎng)為 的正四面體的頂點(diǎn)。正方體的外接球也是正四面體的外接

2、球，此時(shí)球的直徑為 ，23選A8如圖1所示，正方體,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)， 為球的球心。常見(jiàn)組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，則.練習(xí)：有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比 .33:22:1ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O14例 1 棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）A B CD 長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)

3、方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線為.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑1. 已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是 、 、1 ，求長(zhǎng)方體，求長(zhǎng)方體的外接球的體積。的外接球的體積。35A1AC1CO變題：變題：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四點(diǎn)，且四點(diǎn)，且PA、PB、PC兩兩兩兩互相垂直，若互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求這個(gè)球的表面積和體積。，求這個(gè)球的表面積和體積。沿對(duì)角面截得：沿對(duì)角面截得：ACBPO O18( (2)(20142)(201

4、4銀川模擬銀川模擬) )長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別為為2,3,6,2,3,6,這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, ,則這個(gè)則這個(gè)球的表面積為球的表面積為( () )A.A. B.56 B.56 C.14 D.64C.14 D.6472(2)(2)選選C.C.設(shè)長(zhǎng)方體的過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為設(shè)長(zhǎng)方體的過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a a，b b，c c，則，則 得得 令球的半徑為令球的半徑為R R，則，則(2R)(2R)2 22 22 21 12 23 32 21414，所以所以 所以所以S S球球4R4R2 214.14.ab 2b

5、c 3ac 6，a2b 1c 3，27R2 ，例 2 在長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過(guò)的空間部分的體積為( ) A.3(10) B.4C.3(8)D.3(7)審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄【解析】由題設(shè)條件可知三棱柱是棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱,根據(jù)對(duì)稱性可知,外接球的球心為上、下兩底中心O1、O2連線的中點(diǎn)O,如圖所示:在RtAO1O中,AO1=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,15.正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為,此時(shí)四面體ABCD的外接球的體積為.、三棱柱各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，側(cè)棱與底面垂直，則這個(gè)球的表面積

6、為 64 在三棱錐中，,，則三棱錐外接球的表面積 . 3520205655, 2,9040111、則該球的表面積為，的側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱垂直于底面上的直三棱柱各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面DCBAACABCCBAABC例題:一個(gè)四面體的所有的棱都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：設(shè)四面體為ABCD， 為其外接球心。1O 球半徑為R，O為A在平面BCD上的射影，M為CD的中點(diǎn)。連結(jié)B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR

7、37OBDA1OMR因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時(shí)， 則有解得：這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路：正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法40 例例1四棱錐四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 ，點(diǎn)，點(diǎn)S，A，B，C，D都在同一個(gè)球

8、面上，則該球的體積為都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)解析如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性，只要在四棱錐的高線 SE 上找到一個(gè)點(diǎn)O 使得 OAOS， 則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上在 RtSEA 中，SA 2，AE1，故 SE1.設(shè)球的半徑為 r，則 OAOSr，OE1r.在 RtOAE 中，r2(1r)21，解得 r1，即點(diǎn) O 為球心，故這個(gè)球的體積是43.2則這個(gè)球的表面積，體積最大值為若四面體在同一個(gè)球面上，、點(diǎn)3,3ABCDCABCABDCBA2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問(wèn)題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體。常見(jiàn)兩種形式：二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補(bǔ)形為一