初等函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、初等函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)法則 求導(dǎo)數(shù)的方法稱為微分法。用定義只能求出求導(dǎo)數(shù)的方法稱為微分法。用定義只能求出一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常函數(shù)、冪函數(shù)、一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常函數(shù)、冪函數(shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)），對(duì)于正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)），對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。本節(jié)我們就來(lái)比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。本節(jié)我們就來(lái)建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，借助于這建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見的函些公式和法則就能比較方便地求出常見的函數(shù)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而是初等函數(shù)的求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而是初等函數(shù)的求導(dǎo)問題系統(tǒng)化，簡(jiǎn)單

2、化。導(dǎo)問題系統(tǒng)化，簡(jiǎn)單化。一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu法則（法則（1）和（）和（2）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情況。例如數(shù)的情況。例如uuuuuu值得注意的是，在法則（值得注意的是，在法則（3

3、）中，若）中，若u (x) = 1，可得可得 21二、例題分析二、例題分析例例1 1 已知，已知， 求求 解解4523234xxxxyy 4523234xxxxy11061223xxx例例2 已知，已知， 求求解解3ln11cos)(3xxxxf)(xf 3ln11cos)(3xxxxf0131sin234xxxxxxxsin13123例例3 3.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例4 4.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(

4、tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例5 5yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)處可導(dǎo)，函數(shù)y = f (u)在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn) 處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在在 點(diǎn)點(diǎn)x處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且 )(xu)(xu xfydxdududy

5、dxdy上式也可寫成上式也可寫成 或或 。xuxuyy)()()(xufxy復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到含有多個(gè)中間變復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到含有多個(gè)中間變量函數(shù)的情況。量函數(shù)的情況。 例如，設(shè)例如，設(shè) ， , 都可導(dǎo)，則有都可導(dǎo)，則有 或或)(ufy )(u)(xdxdddududydxdy)()()(xufyx這一法則稱為復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法。這一法則稱為復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法。 注注 1.鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“由外向里，逐層求導(dǎo)由外向里，逐層求導(dǎo)” 2.注意中間變量注意中間變量例例6 設(shè)設(shè) ，求，求 。解解 設(shè)設(shè) 則則 。 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以)32sin(xyxyxu32uysinxuxuyy)32c

6、os(33cosxuyx 例例7 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 解解 設(shè)設(shè) ， 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以3xey uey 3xu xuxuyy23xeyux323xex例例8 8 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解解 設(shè)設(shè) ， ， 在比較熟練地掌握了對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解以后，在比較熟練地掌握了對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解以后，就不必寫出中間變量，只需直接由外向里，就不必寫出中間變量，只需直接由外向里，逐層求導(dǎo)即可。逐層求導(dǎo)即可。 )cos(lnxey uylncosuxexuxuyy xeusin1 xxxeeecossin xxee tan注注1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和上述求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和上述求導(dǎo)

7、法則是初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握是初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)和精神支柱，要深刻理解學(xué)的理論基礎(chǔ)和精神支柱，要深刻理解 ，熟，熟練應(yīng)用練應(yīng)用注意不要漏層注意不要漏層3.對(duì)于分段函數(shù)求導(dǎo)問題：在定義域的各個(gè)部對(duì)于分段函數(shù)求導(dǎo)問題：在定義域的各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)法則處理，分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)法則處理，在分界點(diǎn)處須用導(dǎo)數(shù)的定義仔細(xì)分析，即分別在分界點(diǎn)處須用導(dǎo)數(shù)的定義仔細(xì)分析，即分別求出在各分界點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)求出在各分界點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)是否存在

8、。數(shù)是否存在。三、高階導(dǎo)數(shù)三、高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 仍是仍是x的可導(dǎo)的可導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)，則稱 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為f (x)的二階導(dǎo)數(shù)。的二階導(dǎo)數(shù)。 記作記作 ， ， 或或)(xfy)(xf y )(xf 22dxyd22dxfd相應(yīng)地，把相應(yīng)地，把y =f (x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 稱為函數(shù)的一階稱為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。 )(xf 類似地，函數(shù)類似地，函數(shù)y = f (x)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)叫做的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)函數(shù)y = f (x)的三階導(dǎo)數(shù)，的三階導(dǎo)數(shù)，一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y = f (x)的的n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y = f

9、(x)的的n階階導(dǎo)數(shù)，分別記作導(dǎo)數(shù)，分別記作y 二階導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的意義：二階導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的意義：若變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為若變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為S = S (t)，由第，由第一節(jié)可知一節(jié)可知 ；而速度對(duì)時(shí)間的變化率為加速；而速度對(duì)時(shí)間的變化率為加速度，即度，即 ， 所以有所以有dtdSt )(dtdta)(22)(dtSddtdSdtddtdta求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)并不需引進(jìn)新的公式和法則，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)并不需引進(jìn)新的公式和法則，只需用一階導(dǎo)數(shù)的公式和法則，逐階求導(dǎo)即可。只需用一階導(dǎo)數(shù)的公式和法則，逐階求導(dǎo)即可。 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(33d

10、xydyxf 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), .,),(44)4()4(dxydyxf記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).例例1 設(shè)設(shè) ，求，求 解解 即即 ， Zxysinnndxyd2sincosxxdxdy22sin2cos22xxdxyd23sin22cos33xxdxyd2sinnxdxydnn 2sinsinnxxnn例例2 2.),()(nyRxy

11、求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( x)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 注意注意: : 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證數(shù)學(xué)歸納法證明明)逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式例例3 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn五、小結(jié)五、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件