2020春浙教版九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)測(cè)試：6.21圓與函數(shù)的綜合問(wèn)題

1、第21講 圓與函數(shù)的綜合問(wèn)題學(xué)生用書(shū) P137.大師導(dǎo)航”人體的數(shù)學(xué)化血壓：120/80 mmHg膽固醇：180 mg/dL低密度脂蛋白/高密度脂蛋白：179/47 mg/dL葡萄糖：80 mg/dL體溫：37E在我們的身體里，我們的心血管系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)、被我們的身體用來(lái)引發(fā)動(dòng)作的電 脈沖、細(xì)胞相互聯(lián)絡(luò)的方式、我們骨骼的設(shè)計(jì)、基因的實(shí)際分子構(gòu)造一一這一切 都具有數(shù)學(xué)原理.DNA 中雙螺旋線的發(fā)現(xiàn)是另一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象.等角螺線存在于許多關(guān)于生物生 長(zhǎng)的領(lǐng)域一一可能因?yàn)樗男螤畈浑S生長(zhǎng)而改變你可以在你的頭發(fā)、骨頭、內(nèi) 耳的耳蝸、臍帶，甚至你的指紋印跡的生長(zhǎng)模式中找尋等角螺線.身體是對(duì)稱(chēng)的，這有助于它獲得平衡

2、脊柱的三條曲線除了實(shí)現(xiàn)平衡外，在 健康方面和使身體獲得體力以抬起自己的體重及應(yīng)對(duì)其他負(fù)載方面都很重要.混沌理論在人體中也有它的位置.例如，在心律不齊的領(lǐng)域，正在研究混沌 理論腦和腦波的功能以及腦失調(diào)的治療也與混沌理論有關(guān).在分子層次上研究人體，我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的跡象.在侵入人體的各種病毒的 形狀和形式中，存在著幾何形狀，例如各種多面體和網(wǎng)格球頂結(jié)構(gòu).在艾滋病病 毒(HIV)中，發(fā)現(xiàn)了二十面體對(duì)稱(chēng)和一個(gè)網(wǎng)格球頂結(jié)構(gòu).科學(xué)研究與數(shù)學(xué)的結(jié)合，對(duì)于發(fā)現(xiàn)人體奧秘和分析人體功能來(lái)說(shuō)是必要的.直歸類(lèi)探究類(lèi)型之一圓與坐標(biāo)系例 1 2018 濱州中考如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為 P(x, y)的動(dòng)圓 經(jīng)過(guò)

3、點(diǎn)A(1, 2)且與 x 軸相切于點(diǎn) B.(1) 當(dāng) x= 2 時(shí)，求OP 的半徑；(2) 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)判斷此函數(shù)圖象的形狀，并在圖2 中畫(huà)出此函數(shù)的圖象；(3) 請(qǐng)類(lèi)比圓的定義(圓可以看成是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合)，給中所得函數(shù)圖象進(jìn)行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到點(diǎn) A(1, 2)的距離等于到_x 軸的距離的所有點(diǎn)的集合；(4) 當(dāng)。P 的半徑為 1 時(shí)，若。P 與以上中所得函數(shù)圖象相交于點(diǎn) C，D， 其中交點(diǎn) D(m, n)在點(diǎn) C 的右側(cè)請(qǐng)利用圖 2,求 cos/APD 的大小.【思路生成】本題是涉及新定義的二次函數(shù)綜合題，解答關(guān)鍵是抓住P 到 A點(diǎn)和 P

4、 到 x 軸距離相等，先作垂直，“化斜為直”，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)及勾股定 理解題.(1) 通過(guò)作垂線構(gòu)造 RtAAHP，根據(jù)勾股定理構(gòu)造關(guān)于 r 的方程，通過(guò)解方程 求出半徑；(2) 類(lèi)比(1)構(gòu)造 RtAAHP,結(jié)合勾股定理得出 y 與 x 的等式，再整理為關(guān)于 y 的函數(shù)的形式，進(jìn)而判斷函數(shù)圖形的形狀;(3) 根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合集合定義的特征，得出結(jié)論;(4) 利用。P 的半徑為 1,得出 P 點(diǎn)坐標(biāo)，而 P 點(diǎn)恰好為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn) D作 DH 丄 AP 于 H，構(gòu)造 RtAPDH，然后將 D 點(diǎn)縱坐標(biāo)用 m 來(lái)表示，進(jìn)而表 示出 DH，HP，利用勾股定理得出關(guān)于 m 的方程，整體求

5、出(m 1)2的值，再利 用銳角三角函數(shù)的定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為(m1)2的值即可.答圖解：如答圖，過(guò) A 作 AM 丄 x 軸于M，過(guò) P 作 PH1AM 于 H，連結(jié) PA，PB,貝 U PB 丄 x 軸于點(diǎn) B，F(xiàn)A= PB= MH = y， A(1，2)，/ OM = 1，AM = 2， P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2, OB= 2， PH = OB OM = 2 1 = 1，AH = AM PB= 2y，亠人亠222在 Rt AHP 中，vAH + PH = AP，5(2 y) +1= y，y=4.5oP的半徑等于 5；(2)由(1)得 PA= PB= MH = y，vA(1，2)，AM=2

6、，OM=1，vP(x，y)，OB=x, PH=x1，AH=2y，v在 Rt AHP 中，AH2+ HP2= AP2，- (2 y)2+ (x 1)2= y2， 4-4y+ y2+ x2 2x+ 1 = y2,y=條21x+4；此函數(shù)圖象的形狀為拋物線，畫(huà)出此函數(shù)的圖象如答圖;如答圖，半徑為 1，即 y= 1，1215代入 y= 4X 2x+4，解得 x= 1，即圓心 P（1，1），將 D 的橫坐標(biāo) m 代入得，121 丄 5D（m,4m 2m+4），令(m 1)2= t,則上式可替換為 t + *2= 12,解得 t=4 5-8,121PH 4(m1)4t11/Acos/ APD = pD=1

7、1 4t=4(4 58)=52.0 指點(diǎn)迷津1. 平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素，是聯(lián)系圖形與坐標(biāo)的紐帶.通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)把數(shù)與 形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，由坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)，是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的基本 形式.2. 數(shù)形結(jié)合思想圓置于直角坐標(biāo)系中，通過(guò)圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)表示，賦予圖形以數(shù)的特 征，使數(shù)形結(jié)合，引入運(yùn)動(dòng)觀念，分析轉(zhuǎn)化，分類(lèi)討論等.g 指點(diǎn)迷津坐標(biāo)變化是圖形運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)反映，這種變化常通過(guò)“代數(shù)式”、“方程”或“函數(shù)”體現(xiàn)出來(lái)，我們常借助于代數(shù)運(yùn)算，運(yùn)用方程、函數(shù)等工具，利用程 序化的運(yùn)算，探討圖形的相關(guān)性質(zhì).變式1.如圖，已知。M 與 x 軸交于 A，D 兩點(diǎn)

8、，與 y 軸正半軸交于 B 點(diǎn)，C 點(diǎn)是OM 上一點(diǎn)，且 A( 2，0)，B(0, 4)，AB= BC.(1) 求圓心 M 的坐標(biāo)；(2) 求四邊形 ABCD 的面積；(3)如圖 2,過(guò) C 點(diǎn)作弦 CF 交 BD 于 E 點(diǎn)，當(dāng) BC= BE 時(shí)，求 CF 的長(zhǎng).解：如答圖，連結(jié) BD,vAD 是直徑，/ ABD = 90vZABO+/DBO=90 /DBO+ ZBDO=90c忒沁一答圖ZABO=ZBDO,vZAOB=ZDOB=90OA_ OB OB = OD，vA(-2,0),B(0,4),- OA_2,OB_4,OD_8, AD_ 10, OM_3,二 M(3, 0);如答圖，連結(jié) AC

9、, BM 交于 K.vAB_BC, AB_BC, MB 丄 AC,vZBOM_ZAKM_90 ZBMO_ ZAMK,MA_MB, OM _ MK _ 3, KB_ 2, AK_ BO_ CK_ 4,vAD 是直徑，ACD_ 90 CD _ AD2-AC2_;102 82_ 6,1 1 S四邊形 ABCD_SAABC+SAACD_? AC BK+ ? AC CD _ ?刈 2+ 28 6_ 32;如答圖，連結(jié) DF, AC,作 CH 丄 BD 于點(diǎn) H. CF_CE+ EF_2 2+ 5 2_7 2.g 指點(diǎn)迷津圓與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要表現(xiàn)在：(1) 圓與一次函數(shù)的綜合；(2) 圓與二次函數(shù)的綜合

10、；(3) 圓與反比例函數(shù)的綜合.vZCBH=/CAD, /CHB=/ACD=90BC _ BH _ CHAD_AC_CD，唾_ BH_ CH CH_鉅BH_也 10 _ 8 _ 6，CH_ 5，BH_ 5，vBC_BE_2 5，HE_BEBH_等，在 Rt CHE 中，EC_ CH2+ HE2_2 2,vZCBE_ZF，ZBCE_ ZEDF，CBEsDFE，器_H，又 BD_4 礪，BE_2 廳， DE_BD BE_2 屆 2 迄 _ 252；5_ EF，EF_ 5 2,答圖g 指點(diǎn)迷津圓與一次函數(shù)綜合的方法規(guī)律一次函數(shù)與圓的綜合題，通常需要轉(zhuǎn)化為幾何中的直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題, 把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)

11、化為幾何問(wèn)題，充分運(yùn)用垂徑定理、切線的性質(zhì)及判定、切線長(zhǎng)定 理等知識(shí).類(lèi)型之二圓與一次函數(shù)的綜合3例 2 荊州中考如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y= 3X+ 3 與 x 軸、y 軸分 別交于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P, Q 同時(shí)從點(diǎn) A 出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s.其中點(diǎn) P 沿射線 AB 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 4 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) Q 沿射線 AO 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 5 個(gè)單 位長(zhǎng)度以點(diǎn) Q為圓心，PQ 長(zhǎng)為半徑作。Q.(1) 求證：直線 AB 是。Q 的切線；過(guò)點(diǎn) A 左側(cè) x 軸上的任意一點(diǎn) C(m, 0)，作直線 AB 的垂線 CM，垂足為M， 若 CM與。Q 相切于點(diǎn) D，求 m 與 t 的函

12、數(shù)關(guān)系式(不需寫(xiě)出自變量的取值范圍);(3) 在的條件下，是否存在點(diǎn) C，使得直線 AB, CM , y 軸與。Q 同時(shí)相切？ 若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出 此時(shí)點(diǎn) C 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路生成】 只要證明FAQSAOAB，即可推出/ APQ=/AOB = 90 則QP 丄 AB,即卩 AB 是OO 的切線；(2) 分兩種情形求解即可：I.如答圖，當(dāng)直線 CM 在。O 的左側(cè)與OQ 相切 于點(diǎn) D 時(shí)，貝U四邊形 PQDM 是正方形.II .如答圖中，當(dāng)直線 CM 在OO 的右 側(cè)與OQ 相切于點(diǎn) D 時(shí)，則四邊形 PQDM 是正方形.分別列出方程即可解決問(wèn) 題.備用圖(3) 分兩種情形

13、討論即可，一共有四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件.3解：證明：如答圖，連結(jié) QP.由直線 y= 4X+ 3 與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) A, B.分別令 y= 0, x= 0,可得 A(4, 0), B(0, 3),在 Rt AOB 中，0A=4, 0B = 3, AB= OB2+ 0A2= 5,TAP=4t,AQ=5t,.AP OA 4AQ AB 5,vZPAQ=ZOAB, PAQsOAB,/APQ=ZAOB=90 QP 丄 AB,二 AB 是OO 的切線；(2)I.如答圖，當(dāng)直線 CM 在OQ 的左側(cè)與OQ 相切于點(diǎn) D 時(shí)，則四邊形PQDM 是正方形.易知 PQ= DQ = 3t, CQ = 4 3t=

14、 t,-0C+CQ + AQ = 4, m+15t+ 5t= 4, m= 4-貪4n如答圖，當(dāng)直線 CM 在。Q 的右側(cè)與。Q 相切于點(diǎn)D 時(shí)，則四邊形 PQDM是正方形.m-4-4t；存在.理由如下:-OC + AQ CQ 4,1如答圖，當(dāng)。Q 在 y 軸的右側(cè)與 y 軸相切時(shí)，3t + 5t= 4, t=2.如答圖，當(dāng)。Q 在 y 軸的左側(cè)與 y 軸相切時(shí)，5t 3t= 4, t= 2,亠 27 亠 3由可知，m=或 2.綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C 的坐標(biāo)為42.常州中考如圖，已知函數(shù) y= x+ 4 的圖象是直線 I，設(shè)直線 I 分別與 y 軸、x 軸相交于點(diǎn) A, B.求線段 AB 的

15、長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)M在射線 AB 上,將點(diǎn)M繞點(diǎn) A 逆時(shí)針?lè)?向旋轉(zhuǎn) 90到點(diǎn) N,以點(diǎn) N 為圓心，NA 為半徑作。N.1當(dāng)。N 與 x 軸相切時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；2在的條件下，設(shè)直線 AN 與 x 軸交于點(diǎn) C，與。N 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D， 連結(jié)MD 交 x 軸于點(diǎn) E.直線 m 過(guò)點(diǎn) N 分別與 y 軸、 直線 I 交于點(diǎn) P， Q， 當(dāng)厶 APQ 與厶 CDE相似時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).變式跟進(jìn)3 - 0027284解：對(duì)于 y= 3x+ 4,令 x= 0,貝 U y= 4;令 y= 0,貝 U x= 3. A(0, 4), B(3, 0), OA=4, OB = 3, 線段 AB 的長(zhǎng)度為

16、 5.(2)如答圖，以點(diǎn) N 為圓心，NA 為半徑的。N 與 x 軸相切于點(diǎn) F，易知ON 與直線 I 相切，作 AH 丄 NF，貝 U BA= BF= 5, AH = OF = 3+ 5= 8. AN= 10. AM = AN= 10,二 BM = 5,二 MG = A0 = 4, GB = 0B = 3,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(6, 4);旦AN-由中結(jié)論知，N(8, 10), D(16, 16),又 M(6, 4), 直線 DM 的表達(dá)式為 y= 2x 16.I ./ACB=/BAO,當(dāng)/ APQ=ZD 時(shí)， APQsACDE,作 NP/ DM , /APQ =/NED =/D=/ANP, /

17、 AN = AP= 10, P(0, 6);U當(dāng)/ NPiA=/ DEC 時(shí)，APiQsCED,由四邊形內(nèi)角和知直線 NPi垂直于直線 DM ,1設(shè)直線 NPi表達(dá)式為 y= ix+ b,由直線過(guò) N(8, 10),1直線 NP1表達(dá)式為 y= 2x+ 14, P1(0, 14).綜上，符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0,- 6)或(0, 14).3.奉化自主招生如圖，在直角坐標(biāo)系中，OM 外接于矩形 OABC, AB= 12, BC= 16,點(diǎn) A在 x 軸上，點(diǎn) C 在 y 軸上.(1) 寫(xiě)出點(diǎn) A, B, C 及 M 的坐標(biāo).過(guò)點(diǎn) C 作。M 的切線交 x 軸于點(diǎn) P,求直線 PC 的表達(dá)式

18、；(3)如果 E 為線段 PC 上一動(dòng)點(diǎn)(運(yùn)動(dòng)時(shí)不與 P、C 重合),過(guò)點(diǎn) E 作直線 EF 交 PA于點(diǎn) F.1直線 EF 將四邊形 PABC 的周長(zhǎng)平分，設(shè) E 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 t， PEF 的面積 為S,求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量 t 的取值范圍；2是否存在直線 EF 將四邊形 PABC 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，請(qǐng)求 出直線 EF 的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路生成】(1)矩形在坐標(biāo)軸上，A，B，C 三點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫(xiě)出，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以寫(xiě)出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 連結(jié) CM.直線 PC 與圓相切，CM 與 PC 垂直，兩直線斜率之積為1,求出 PC 的斜率，

19、進(jìn)而求出直線 PC 的表達(dá)式；(3) 作 EN 丄 x 軸于 N.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出 PE、EN 的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分表示 PF 的長(zhǎng)，從而表示三角形的面積；只需求得四邊形的面積，令 中的表達(dá)式等于四邊形的面積的一半進(jìn)行分析求解.解：A(16, 0)，B(16，12)，C(0，12)，M(8，6).(2) 如答圖，連結(jié) CM.vCM 是OM 的半徑，PC 是切線，二 PC 丄 CM，直線 PC 及 CM 的斜率 kpc34與 kCM滿(mǎn)足 kPCkCM= 1,顯然 kCM= 4,解得 kpc=3,直線 PC 的表達(dá)式為 y4=3X+ 12.(3) 如答圖，作 EN 丄

20、 x 軸于 N.根據(jù)中的直線表達(dá)式求得 P(-9, 0)則 PC= 15.從而四邊形 ABCP 的周長(zhǎng)是 15+ 9+ 16+ 16+ 12= 68.PE pc5又點(diǎn) E 的縱坐標(biāo)是 t,由 RtAPNEsRtAPOC, 有EN=OC，貝 PE=韋，直線 EF 將四邊形 PABC 的周長(zhǎng)平分，51 f 552二 PF = 34-4，從而 S= 234才=-孑2+ 17t.點(diǎn) E 為 PC 上一動(dòng)點(diǎn)(運(yùn)動(dòng)時(shí)不與 P，C 重合)， 0t12，點(diǎn) F 在 PA 上,二 0PF*P,vOP = 9, OA= 16,二 AP = 25,二 0PF2555vPF = 34- 4t,二 034- 4t 25

21、/7.2 隹 27.2/ 0t12, 7.2 12即 S= 2xt 34-5 =-|t2+ 17t(7.2 0）上，以 P 為圓心的。P 與兩坐標(biāo)軸都相切，點(diǎn) E 為 y 軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) P 作 PF 丄 PE 交 x 軸于點(diǎn) F,若 OF OE = 6,則 k 的值是 9.【解析】如答圖，過(guò) P 點(diǎn)分別作 x 軸，y 軸的垂線,垂足為 A, B.答圖RtABPERtAAPF, BE=AF,VOFOE=6, A(OA+AF)(BEOB)=6,即2OA= 6,解得OA= 3,Ak= OAXPA= 3X3 = 9.45.黃石中考如圖，直線 I: y= kx+ b(k0)的圖象相交于 A,

22、入C 兩點(diǎn)，與 x 軸相交于 T 點(diǎn)，過(guò) A, C 兩點(diǎn)作 x 軸的垂線，垂足分別為 B、D，過(guò) A, C兩點(diǎn)作 y 軸的垂線，垂足分別為 E, F;直線 AE 與 CD 相交于點(diǎn) P,連結(jié) DE.設(shè) A, C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 a,彳,c,4，其中 ac0.圖I圖2圖3(1) 如圖 1,求證：/ EDP =ZACP;(2) 如圖 2,若 A, D, E, C 四點(diǎn)在同一圓上，求 k 的值；(3) 如圖 3,已知 c= 1,且點(diǎn) P 在直線 BF 上，試問(wèn)：在線段 AT 上是否存在 點(diǎn) M，使得 OM 丄 AM ?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：證明：依題意 P c,

23、, E 0,4, D(c, 0),.EP_DP_ EP_DPPA_aC PC_ ac， PA_PC， EPDsAPC,AZEDP_ZACP;如答圖，連結(jié) AD, EC,由(1)知/ EDP _ZACP, DE / CA, /DEC +ZECA_ 180,又TA, D , E, C 四點(diǎn)共圓，DEC +ZDAC_ 180,ZECA_Z DAC，又Z CDA_Z AEC, AC 為公共邊, AECACDA, CD_AE,4a_c? ac_4,又 A , C 在直線 I 上,w如答圖，假設(shè)在線段 AT 上存在點(diǎn) M ,使得 OM 丄 AM ,連結(jié) OM , OA ,a-c4a-cac1;4 4PA=

24、4- c= 1,二 C(1, 4), F(0, 4), P(1, a), B(a, 0),kia+ 4= 0,設(shè)直線 BF 為 y= kix+ 4,貝 U4 得 a = 2.屮+4=a, A(2, 2),TAP DCT 的中位線，二 T(3, 0),又 MT = -.OT2-OM2=作 MN 丄 x 軸于 N 點(diǎn),顯然 253,在線段 AT 上存在點(diǎn)M12,g 指點(diǎn)迷津例 4 涉及的知識(shí)點(diǎn)：(1) 待定系數(shù)法求表達(dá)式；(2) 解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)；(3) 直線與圓相切的判定；(4) 相似三角形的判定與性質(zhì).答圖 OT AB=SAOAT=AT OM,OT AB 6OM = AT弋同理 MNOM M

25、T _ 6OT _ 5,ON_：OM2-MN2_ 乍2|_ 爭(zhēng),使得 OM 丄 AM.類(lèi)型之四圓與二次函數(shù)的綜合例 4綿陽(yáng)中考如圖，已知拋物線 y =ax12+ bx + c(aM0)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是1(2, 1)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 2),直線 y= 2X+1 與拋物線交于 B, D 兩點(diǎn)，以 BD 為直徑 作圓，圓心為點(diǎn) C,OC 與直線 m 交于對(duì) 稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)M(t, 1)，直線 m 上每一點(diǎn) 的縱坐標(biāo)都等于 1.(1) 求拋物線的表達(dá)式;(2) 證明：。C 與 x 軸相切;1212/拋物線的表達(dá)式是 y= (x 2)2+1= ”x2x+ 2；過(guò)點(diǎn) B 作 BE 丄 m,垂足為 E,再

26、過(guò)點(diǎn)BED 作 DF 丄 m,垂足為 F.求 MF 的值【思路生成】(1)由拋物線的頂點(diǎn)和其它任意一點(diǎn)，可設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式;(2)由拋物線與直線交于 B, D，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn) B 點(diǎn) D 坐標(biāo)，得出直徑BD 的長(zhǎng)度，從而求出半徑；(3) 連結(jié) BM 和 DM ,TBD 為直徑，二/ BMD = 90/-ZBME +ZDMF = 90又 BE 丄 m 于點(diǎn) E, DF 丄 m 于點(diǎn) F,易證 BMEMDF ,再由對(duì)應(yīng)線段成比例 列出方程即可得解.解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y= a(x h)2+ k,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2, 1),2/y= a(x2) + 1；又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 2),21

27、 2 = a(4 2)2+ 1,解得 a= 4，12y= 4X - x+ 2,聯(lián)立1消去 y,整理得 x2-6x+ 4 = 0,y= 2X+ 1,解得 xi= 3 5, X2= 3+ 5,代入直線方程，解得 yi= | 今,y2=|+2I,八B-也,2-爭(zhēng),DI3+/I,號(hào) +爭(zhēng)由勾股定理，可得 BD = (xi x2)2+( yi y2)2= I,I2,答圖/BME+ ZDMF=90又IBE 丄 m 于點(diǎn) E, DF 丄 m 于點(diǎn) F,ZBME=Z MDF,.ZBMESAMDF,3_逅BE EMyi 1 t xi2 2 t -(3- 5) -MF=DM，即=，代入得-MF DFX2 t y2

28、 1(3+ 5) t 3 ,t52 十 2化簡(jiǎn)得(t 3)2= 4,解得 t = 5 或 t= 1,因此OC 的半徑 R點(diǎn)C是BD的中點(diǎn),點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為yi+ y2|2 = 2,圓心 C 到 x 軸的距離等于半徑 R,OC 與 x 軸相切;如答圖，連結(jié) BM 和 DM，設(shè) M(t, i),TBD 為直徑,ZBMD = 90m0點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，二 t= 5,.BEV5+1MF=2*變式6. 2018 長(zhǎng)沙中考我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.(1) 在“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有_菱形，正方形_;在凸四邊形ABCD中， AB = AD且CB

29、 CD， 則該四邊形不是“十字 形”(選填“是”或“不是”)；(2) 如圖 1, A，B，C，D 是半徑為 1 的。O 上按逆時(shí)針?lè)较蚺帕械乃膫€(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與 BD 交于點(diǎn) E，/ ADBZCDB = /ABD ZCBD，當(dāng) 6 AC2+ BD20, c0)與 x 軸交于 A, C 兩點(diǎn)(點(diǎn) A 在點(diǎn) C 的左側(cè)),B 是拋物線與 y 軸的交點(diǎn)， 點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(0, ac).記“十字形” ABCD 的面積為 5,記厶 AOB、ACOD、 AOD、 BOC 的面積分別為 S1, S2, S3,求同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的拋物線的表達(dá)式：.S= $+ S2:S3+. S4；“十字形” ABCD 的周長(zhǎng)

30、 為 12 10.解：(2)vZADB+ ZCBD= /ABD+ ZCDB, /CBD=/CAD, /CDB= /CAB,ZADB+ ZCAD = Z ABD+ ZCAB, 180 ZAED=180 ZAEB,ZAED = Z AEB = 90 AC 丄 BD,如答圖，過(guò)點(diǎn) O 作 OM 丄 AC 于 M, ON 丄 BD 于 N，連結(jié) OA, OD ,2222221 1 OA= OD = 1, OM3 4= OA2 AM2, ON2= OD2 DN2, AMpAC, DN =尹。,四邊形 OMEN 是矩形， ON = ME, OE2= OM2+ ME2= OM2+ ON2= 2；(AC2+

31、BD2),22723v6*C+BD7 24OEW22,321 14OE0, 2, cOC =c( Ab)4a,S=Si+S2,S= . S3+S4,寸-C(VA+b)- -c($A-b);4ac (A-b), 4a= 2, a= 1, s= c/A, Si =c( . A+b)c( . Ab)4,S= , Si +, S2, S=Si+S2+2 冷 S1S2,-cA=寧 +2I 他他,于二c： c, 4c, b= 0,B(, c), C,D(0,ac),A( . c, 0), B(0, c), C( c, 0), D(0, c),四邊形 ABCD 是菱形, 4AD= 12 10,二 AD =

32、3 10,即 AD2= 90,2 2 2TAD=cc, cc=90, c= 9 或 c= 10（舍）,y= x 9.7濟(jì)寧中考已知函數(shù) y= mx2 (2m 5)x+ m 2 的圖象與 x 軸有兩個(gè)公共 占八、(1) 求 m 的取值范圍，寫(xiě)出當(dāng) m 取范圍內(nèi)最大整數(shù)時(shí)函數(shù)的表達(dá)式；(2) 題(1)中求得的函數(shù)記為 C1.1當(dāng) nWx 1 時(shí)，y 的取值范圍是 Ky 3n,求 n 的值；2函數(shù) C2：y= 2(x h)2+ k 的圖象由函數(shù) C1的圖象平移得到，其頂點(diǎn) P 落在 以原點(diǎn)為圓心，半徑為.5 的圓內(nèi)或圓上設(shè)函數(shù) C1的圖象頂點(diǎn)為 M，求點(diǎn) P 與 點(diǎn) M 距離最大時(shí)函數(shù) C2的表達(dá)式

33、.m0,25解：(1)由題意可得2解得 m0.12當(dāng) m= 2 時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為 y=2x2+ x.21 1函數(shù) y= 2x + x 圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為 x= 4, 當(dāng) x 4 時(shí)，y 隨 x的增大而減小.當(dāng) n$- 1 時(shí)，y 的取值范圍是 1WyW3n,2 2n + n= 3n,解得 n= 2 或 n= 0（舍去）.A.0）V-5丿答圖5 若。P 與直線 EG 相切，求。P 的面積；如答圖，Ty= 2x1 6+x= 2 x+1 2-g,函數(shù) Ci的圖象頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為一 4，- 8,由圖形可知當(dāng) P 為射線 M0 與圓的交點(diǎn)時(shí)，距離最大.點(diǎn) P(h, k)在直線 0M 上，由 0(0,

34、0), M 4，-8 可求得直線表達(dá)式：y1=2x, - - h = 2k,根據(jù)勾股定理，可得 PO2= (2k)2+ k2= ( 5)2,二 h = 2, k= 1. PM 最大時(shí)的函數(shù)表達(dá)式為 y= 2(x-2)2+ 1.6 以 CD 為邊作等邊三角形 CDQ，若。P 內(nèi)存在 Q 點(diǎn)，求 t 的取值范圍.【思路生成】(1)欲求。P 的面積，只需求得該圓的半徑即可.OP 與直線 EG巾主採(cǎi)生交流平臺(tái)例 5 江陰自主招生如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y= , 3x+ 3.3 的圖3象與 x 軸、y 軸分別交于 A, B, ?ABCD 中，D(6, 0),函數(shù) y= 4X+ m 圖象過(guò)點(diǎn)E(4

35、,0),與 y 軸交于 G,動(dòng)點(diǎn) P 從 O 點(diǎn)沿 y 軸正方向以每秒 2 個(gè)單位的速度出發(fā)， 同時(shí)，以 P 為圓心的圓，半徑從 6 個(gè)單位起以每秒 1 個(gè)單位的速度縮小，設(shè)運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為 t.相切，作 PH 丄 EG 于 H，貝UPH= 6-1, P(0, 2t),由 RtAPHGsRtAEOG 及相 似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得 t 的值，進(jìn)而得到該圓的半徑；由 尸，3x+ 3 3 可以求得 A(- 3, 0), B(0, 3.3)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì) 得到C(9, 3 .3),根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值推知 / A= 60.利用等邊三角形的性質(zhì) 易得：Qi(3,3.3), Q2(12, 0),顯

36、然 Q2(12, 0)不可能在。P 內(nèi)，若 Qi(3, 3 3) 在。P 內(nèi)，則 PQi小于。P 的半徑，由此求得 t 的取值范圍.3解：(1)函數(shù)尸 4X+ m 圖象過(guò)點(diǎn) E(4, 0),m= 3, G(0, - 3),OP 與直線 EG 相切，作 PH 丄 EG 于 H，如答圖,則 PH = 6-1, P(0, 2t),6-1 2t + 318即T_丁，解得t_ 13,O P 半徑為 6-闊_ 10,OP 面積為n_600n；如答圖， 由 y_ 3x+ 3 3 圖象與 x 軸、 y 軸分別交于 A, B,得 A(-3, 0), B(0, 3.3),C(9, 3.3),由 Rt PHGsRt

37、 EOG 可得PH _ PGOE = GE，OBTtanA= OA=3, -ZA= 60以 CD 為邊作等邊三角形 CDQ,ZD = ZA=60 CD = AB= 6, Qi(3, 3.3), Q2(12, 0),顯然 Q2(12, 0)不可能在。P 內(nèi)，若 Qi(3, 3 .3)在。P 內(nèi)，設(shè)。P 半徑為 r，則可得 PQir,- P(0, 2t), r 二 6-1, 9+ (2t- 3.3)2(6 -1)2, t2- (4,3-4)t0,二 t (4 .3-4)0,解得 t4( .3- 1), t 的取值范圍為 00 拋物線的開(kāi)口向上，故選 D.2如圖，OO 是以原點(diǎn)為圓心，.2 為半徑的

38、圓，點(diǎn) P 是直線 y= x+ 6 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作OO 的一條切 線 PQ, Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng) PQ 的最小值為（B ）A. 3B. 4C. 6 2D . 3 2 1【解析】vP 在直線 y= x+ 6 上,設(shè) P 的坐標(biāo)為(m, 6 m),BCABD答圖連結(jié) OQ, OP,由 PQ 為圓 O 的切線，得到 PQ 丄 OQ,在 Rt OPQ 中，根據(jù)勾股定理得 OP2= PQ2+ OQ2,2 2 2 2 2二 PQ = m + (6 m) 2= 2m 12m+ 34= 2(m 3) + 16,則當(dāng) m= 3 時(shí)，切線長(zhǎng) PQ 最小，最小值為 4.13. 2018 貴港中考如圖，拋物線

39、 y = 4(x+ 2)(x 8)與 x 軸交于 A, B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為 M，以 AB 為直徑作。D，下列結(jié)論：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x= 3;。D 的面積是 16n;拋物線上存在點(diǎn) E,行四邊形；直線 CM 與。D 相切其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是B(8, 0),二 D(3, 0),二拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x= 3,故正確;vOD 的半徑為 5,二它的面積為 25n故不正確；過(guò) C 作 CF / AD 交拋物線于另一點(diǎn) F,貝 U F(6, 0),此時(shí) CF = 65= AD,因此在拋物線上不可能存在點(diǎn) E,使四邊形 ACED 為平行四邊形，故錯(cuò)誤;當(dāng) x= 0 時(shí)，y= 4,

40、二 C 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 4),二 DC = 42+ 32= 5, 即卩 C使四邊形 ACED 為平可知 A( 2, 0),【解B 兩點(diǎn),在OD 上，又 M3,25，二 DM =孚，CM =22521523 +4+4=匸，二 DC,2 AC 丄 DF,AD丄 DF,直線 I 的表達(dá)式為 y= x 2,圖象與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 0),與 y 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 2),OE = OF，/OFE=/OEF= 45 AC = CE= 1, DE = AD = 1 , CD= 2,這兩個(gè)切點(diǎn)之間的距離是 2.5如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線 y= ax2上,OP 恒過(guò)點(diǎn)

41、F(0, n).且與直線 y=n 始終保持相切，則 n= 4a(用含 a 的代數(shù)式表示).-【解析】 如答圖，連結(jié) PF.設(shè)OP 與直線 y= n相切于點(diǎn) E,連結(jié) PE.則 PE 丄 AE.綜上，有兩項(xiàng)正確，故選 B.動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線 y= ax2上，設(shè) P(m, am2).vP 恒過(guò)點(diǎn) F(0, n). PF = PE,即 m2+(am2 n)2= am2+ n.6.如圖，點(diǎn) P 在函數(shù) y=2X3(x0)的圖象上運(yùn)動(dòng)，0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 為入PO 的中點(diǎn)，以點(diǎn) P 為圓心，PA 為半徑作 P,當(dāng) P 與坐標(biāo)軸相切時(shí)，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(kāi)(J6,返)或(V2，V6).【解析】 設(shè)點(diǎn) P

42、(a，b)，當(dāng) P 與 x 軸相切時(shí)，切點(diǎn)為 E,v點(diǎn) A 為 P0 的中點(diǎn)，/ PEO = 902 2 2 OP = 2PE, a2+ b2= 4b2.v點(diǎn) P 在函數(shù) y=23(x0)的圖象上， ab= 2 3,解得 a= 6, b=此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 C.6,.2).當(dāng)P 與 y 軸相切時(shí)，同理可得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,.6).綜上所述，滿(mǎn)足條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(.6,.2)或(.2,6).37. 2017 綏化中考在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y= 4X+ 1 交 y 軸于點(diǎn) B,123交 x 軸于點(diǎn) A.拋物線 y= 2x7 8+ bx+ c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,與直線 y= 4X+ 1 交于點(diǎn)

43、C(4,2).72把點(diǎn) B(0, 1)與點(diǎn) C(4, 2)的坐標(biāo)代入 y= 2x + bx+ c,得(1) 求拋物線的表達(dá)式；(2) 如圖，橫坐標(biāo)為 m 的點(diǎn) M 在直線 BC 上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn) M 作 ME / y 軸交直線 BC 于點(diǎn) E,以 ME 為直徑的圓交直線 BC 于另一點(diǎn) D ,當(dāng)點(diǎn) E 在 x 軸上 時(shí)，求 DEM 的周長(zhǎng)；(3) 將厶 AOB 繞坐標(biāo)平面內(nèi)的某一點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90得到 A1O1B1, 點(diǎn)A, O, B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) A1, 01, B1,若厶 A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋 物線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) A1的坐標(biāo).3解：直線 y= 4x+1 交 y

44、軸于點(diǎn) B, 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(0, 1),1o5故拋物線的表達(dá)式為 y= 2x2+ x+1 ；T點(diǎn) E 在 x 軸上，且在直線 y= 3x+ 1 上, 點(diǎn) E 與點(diǎn) A 重合，坐標(biāo)為c= 1,卜 16+ 4b + c 一 2,b 二5,解得4 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 i|,16，故 ME =16，45在厶AOB 中，OB= 1, AO=3， AB = 3,DE = DM = ME，即 DE = DM = i6, DE = !|, DM64i6 i6 64 64DEM的周長(zhǎng)為+亦+64 二 i5；由順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90知, OiBi/ x 軸，OiAi/ y 軸，由 OB= 1,所以設(shè)點(diǎn) Ai的橫坐標(biāo)為

45、x,則點(diǎn) Bi的橫坐標(biāo)為 x+ i顯然 Oi, Ai不可能同時(shí)在拋物線上.若點(diǎn) Oi, Bi同在拋物線上，如答圖 ,根據(jù) Oi, Bi兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，4E4,又在 Rt AOB 和 RtMDE 中,ME / OB,MDEsAOB,OB OA AB i點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為3 3i4，96或_7 29)i2， 288 .得一 2x2+；x+ i = *x+ i）2+ 4（x+ i）+ i,解得 x=4,【解析】 PQ/ x 軸，點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（一 1, 2）,1, 2），則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是（A. (-4,2)C. (5, 2)D . (- 5.5, 2)此時(shí)點(diǎn) Ai的坐標(biāo)為 96.點(diǎn) Ai, Bi同

46、在拋物線上，如答圖 ,【思維拓展】8.蕪湖自主招生如圖，在平面直角坐標(biāo)系中 M 與 y 軸相切于原點(diǎn) 0,平行于 x 軸的直線交。M 于 P, Q 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 的右方，若點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（一點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)是 2,1254125所以一 qx + 4X+1+ 4=- 2(x+1) + 4(x+1)+1,解得 x=12,此時(shí)點(diǎn) Ai的坐標(biāo)為因此，點(diǎn) A1的坐標(biāo)為 4, 96 或根據(jù)點(diǎn) Bi的縱坐標(biāo)比點(diǎn)712,_712,AB. (-4.5, 2)設(shè) PQ = 2x,作 MA 丄 PQ,利用垂徑定理可知 QA=PA=x,連結(jié) MPMP = MO = x+ 1,2 2 2在 Rt AMP 中

47、，MA + AP = MP ,3- 2 + x = (x+ 1) , x=, PQ = 3, Q 的橫坐標(biāo)=1-3= 4, Q( 4, 2).9涪城自主招生已知四個(gè)半圓彼此相外切，它們的圓心都在 x 軸的正半軸 上并且都與直線 y= 3x 相切，設(shè)半圓 Ci, C2, C3, C4的半徑分別是1,2, g, r4,則當(dāng) r1= 1 時(shí)，4= ( C )Jir-I7 01 刁r(GXTtan/COCy,:丄COCi= 30又三半圓彼此相外切，OCi= 2CiA= 2r1, OC2= 2C2B = 2r2= OCi+ ri+ r2= 3ri+ r2,OC3= 2C3C= OC2+ r2+ r3=

48、3ri+ 2r2+ r3= 2r3,二 2 匕=3ri+ r2, 3ri+ 2r2+ r3= 2r3,2=3ri, 3=3ri+2r2,0 1 2Tri=1=3, 2=3=3, r3=9=3,按此規(guī)律歸納得 rn= 3n-1,3 f4=3 .10.如圖，A, B, C, D 依次為一直線上四個(gè)點(diǎn)，BC= 2, BCE 為等邊三角形，。O 過(guò) A, D , E 三點(diǎn)，且/ AOD =4120設(shè) AB = x, CD = y,則 x 與 y 的函數(shù)關(guān)系式為 y=-入(x0)一.【解析】連結(jié) AE, DE,T/AOD = 120, AMD 為 240, / AED = 120, BCE 為等邊三角形

49、， / BEC = 60 ,ZPAF= ZPBE= ZAPB=90vPF 丄 PE，/ FPA=ZEPB=90ZAPE，又vPA=PB，PAFPBE(ASA)， AF = BE， OF OE= (OA+ AF) (BE OB) = 2R，v點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(R, R)， R= R,解得 Ri6 或 6(舍去), OF OE= 2 6.12.聊城中考如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 I 的函數(shù)表達(dá)式為 y=x,:丄AEB+ZCED=60又/EAB+ZAEB=ZEBC=60 /EAB=ZCED.vZABE=ZECD=120,:.ABEsECD, AB BE 蘭_2EC=CD，即2=y，4 y= x(

50、x0)11.泉州永春中學(xué)自主招生如圖，點(diǎn) P 在雙曲線 y=6上，以 P 為圓心的。P 與兩坐標(biāo)軸都相切，E x為 y 軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，PF 丄 PE 交 x 軸于點(diǎn) F，則OF OE 的值是 _2V6【解析】 設(shè)。P 與 x 和 y 軸分別相切于點(diǎn) A 和點(diǎn) B,連結(jié) FA，PB.則 FAXx 軸，PB 丄 y 軸.并設(shè)。P 的半徑為 R，答圖X【解析】由題意知 P命2所對(duì)的圓心角度數(shù)為 90半徑為 1, P102的長(zhǎng)90nX1n1802；P20 所對(duì)的圓心角度數(shù)為 90半徑為 2, P203的長(zhǎng)為90nX2心缶180 n;P3O4所90nX4對(duì)的圓心角度數(shù)為 90半徑為 4,二 P3O4

51、的長(zhǎng)為飛廠2n卩4。5所對(duì)的圓心90nx8度數(shù)為 90半徑為 8, P4O5的長(zhǎng)為 T2 0172180 4n P2 017O2 018的長(zhǎng)為 2-n=22 015n.xf313.汕頭校級(jí)自主招生如圖，直線 y=x3與 x 軸、y 軸分別交于 A, B 兩點(diǎn)點(diǎn) M 為x 軸上一點(diǎn)，以 M 為圓心，2 為半徑作圓 M恰好與直線 yfx-3相切，切點(diǎn)為 c.設(shè)oM與 x 軸、y 軸分別交于 D, E, G, F, H 為。M點(diǎn) 01的坐標(biāo)為(1, 0),以 01為圓心，010 為半徑畫(huà)圓，交直線 I 于點(diǎn) P1,交 x 軸正半軸于點(diǎn) 02，以 02為圓心，020 為半徑畫(huà)圓，交直線 I 于點(diǎn) P2

52、，交 x 軸正 半軸于點(diǎn) 03,以 03為圓心，030 為半徑畫(huà)圓，交直線 I 于點(diǎn) P3，交 x 軸的正半軸于點(diǎn) 04，按此做法進(jìn)行下去，其中弧P2 01702 018的長(zhǎng)為 22 015nFEI)上一點(diǎn)，連結(jié) HC 交 x 軸于點(diǎn) I 給出下列結(jié)論：0A= 5;/ BAO = 30點(diǎn)EI 33M 的坐標(biāo)為(1 , 0):CD = 2;若|C = 2，貝 U cos/ HCD = 5.其中正確的有 .【解析】 如答圖，連結(jié) CD , HD , EH , MC ,Jr11/XAfi答圖直線丫=孚-詈與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) A, B 兩點(diǎn),令 x= 0,則 y=倉(cāng)3,令 y= 0 則 x=

53、 5, A(5, 0), B0,穿, OA= 5, OB = 5-33,故正確; / BAO = 30故正確；vM 與 AB 相切于點(diǎn) C, CM 丄 AB, /ACM=90 v/CAM=30AM = 2CM = 4, OM = OA AM = 1,點(diǎn) M 坐標(biāo)(1, 0),故正確,v/AMC=90/CAM=60,MC=DM,/ tan/BAO=OB_也OA= 3 , MCD 是等邊三角形， CD = CM = 2,故正確;vZHEI=/DCI, /EIH= /CID,.EH_3,vED 是直徑，.ZEHD _ 90EH3.cosZHCD _cosZHED _ED_4,故錯(cuò)誤.14.武漢黃陂中

54、學(xué)自主招生如圖，已知二次函數(shù) y_ (x+ m)2+ k m2的圖象與 x 軸交于兩不同點(diǎn) A(xi, 0),B(X2, 0),與 y 軸的交點(diǎn)為。設(shè)厶 ABC 的外接圓的圓心 為點(diǎn)卩， 則厶 ABC 的外接圓與 y 軸的另一個(gè)交點(diǎn) D 的坐 標(biāo)是 (0,1)_【解析】 易求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0, k),由題設(shè)可知 X1, X2是方程(x+ m)2+ k m2_ 0 即 X + 2mx+ k_0 的兩根,.X1+ X2_ 2m, X1X2_ k,如答圖，連結(jié) DB,vP 與 y 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 D，由于 AB, CD 是。P 的兩條相交弦,AOCsA DOB，貝UOA OCOD = OB，

55、ODOA OBOC|X1X2|k|1,由題意知點(diǎn) C 在 y 軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D 在 y 軸的正半軸上,點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(0, 1).Q 為。H 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 4AQ+ EQ 的最小值.解：(1)由題意 AC 3, 0), B( 3 3, 0), C(0, 3),設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y= a(x+ 3 3)(x 3),1把 C(0, 3)代入得到 a= 3，拋物線的表達(dá)式為 y= 3x2+ 3 ” 3x 3;OC(2) 在 RtAAOC 中，tan/ OAC= OA = 3, / OAC = 60 AD 平分/ OAC, / OAD = 30 OD = OA tan 30=1 , D(

56、0, 1),直線 AD 的表達(dá)式為 y= 3_x 1,由題意 P m, 3m2+ m 3 ,m 1 , F(m, 0), FH = PH ,15. 2018 柳州中考如圖，拋物線 y= ax2+ bx+ c 與 x 軸交于A( 3, 0), B 兩點(diǎn)(點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的左側(cè))，與 y 軸交于點(diǎn) C,且 OB = 3OA =3OC,ZOAC 的平分線 AD 交y 軸于點(diǎn) D, 過(guò)點(diǎn) A 且垂直于 AD 的直線 I 交 y 軸于點(diǎn) E, 點(diǎn)P 是 x 軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PF 丄 x 軸垂足為 F，交直線 AD 于點(diǎn) H.(1) 求拋物線的表達(dá)式；設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m,當(dāng)

57、 FH = HP 時(shí)，求 m 的值；(3)當(dāng)直線 PF 為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，以點(diǎn)11H 為圓心，7HC 為半徑作。H，點(diǎn)心並(1 2 23J1 ym= 3 m 1- 3m + 丁 m 3 ,解得 m= . 3 或. 3(舍棄),當(dāng) FH = HP 時(shí)，m 的值為一.3;(3)如答圖，：PF 是對(duì)稱(chēng)軸， F( 3, 0)，H( .3， 2), AH 丄 AE, EAO= 609(0,3)，HC = 仁 3)2+12=2，AH=2FH=4，QH1在 HA 上取一點(diǎn) K，使得 HK = 4,.HQ HKAH HQ，CH= 1,2 HQ2= HK HA, EO= 3OA= 3,158，HA = 1, ZQHK=/AHQ, QHKAHQ,.KQ HQ 1AQ = AH = 4, KQ =4AQ, 九AQ+ QE= KQ + EQ,當(dāng) E,Q,K 共線時(shí),JAQ+QE 的值最小，最小值為、/17/3f +償了【思維升華】16. 長(zhǎng)沙一中自主招生已知。O 過(guò)點(diǎn) D(3, 4),點(diǎn) H 與點(diǎn) D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng),過(guò) H 作。O 的切線交 x 軸于點(diǎn) A.(1)