2020年高考文數(shù)(人教版)教學(xué)案第33講平面向量的應(yīng)用

1、第 33 講平面向量的應(yīng)用1. 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力、速度的分解與合成問題.2. 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.3. 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單與平面解析幾何有關(guān)的問題.課_知識(shí)梳理1 .用向量法處理垂直問題對(duì)非零向量 a a 與 b b, a a丄b b? a a b b= 0 .若非零向量 a a= (xi, yi), b b=(X2, y2), a a丄b b? xix2+ yiy2= 02.用向量法處理平行問題(1)向量 a a 與非零向量 b b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入使得 a a =血設(shè) a a= (xi, yi), b b= (X2, y2)是平面向量，則向

2、量 a a 與非零向量 b b 共線的充要條件是X2yi xiy2= 0.3. 用向量法求角(1) 設(shè) a a, b b 是兩個(gè)非零向量，夾角記為a,則 COSa=(2) 若 a a= (xi,yi), b b= (X2,y2)是平面向量，則 cosa=4. 用向量法處理距離(長(zhǎng)度)問題(1) 設(shè) a a= (X, y)，則 a a2 2=|a|a|2 2= x2+ y2，即 |a|a|=x2+ y2.(2) 若 A(xi, yi), B(X2, y2),且a a= AB，則 |AB|= |AB|=寸(xi X2(+(yi y2).5. 向量在物理中的應(yīng)用(1) 向量在力的分解與合成中的應(yīng)用.

3、(2) 向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用.熱身練習(xí)i .已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4), B(5,2), C( i , 4)，則這個(gè)三角形是(B)A .銳角三角形 B .直角三角形C .鈍角三角形 D .等腰三角形因?yàn)?AC = ( 4, 8), AB = (2, 2), BC = ( 6, 6),a a b b |a|b|a|b| .xiX2+ yiy2r2 2 r2 2xi+ yi X2+ y2而 AB BC=2X(6)+(2)X(6)=0,所以 AB 丄 BC,故ABC 為直角三角形.2 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F Fi, F F2, F F3(單位：牛頓)的作用而處于平

4、衡狀態(tài)已知F Fi, F F2成 120120角，且 F Fi，F(xiàn) F2的大小分別為 1 和 2，則有(A)A . F Fi，F(xiàn) F3成 9090角 B. F Fi，F(xiàn) F3成 150150角C . F F2, F F3成 9090角 D. F F2, F F3成 6060角如圖，因?yàn)? AOB = 120,所以/ OAC= 60在OAC 中，由余弦定理得 OC = .3,所以 OA2+ OC2= AC2,所以/AOC = 90；故 F Fi與 F F3成 90 角 3 平面上有三個(gè)點(diǎn) A(-2, y), B(0,少，C(x,y),若AB丄 BC,則動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡方程為y2= 8x(xM0)

5、鯽因?yàn)锳B=(2, - y), BC = (x, 2), 又 AB 丄 BC,所以AB BC=0,2所以(2, - y)(X, ;)=0，即 2xy=0,2所以 y =8X(XM0).a a= (1, cos0), b b= (1,3sinB),若 a a 與 b b 共線，則 tan 2B的值為1由條件得 3sin0cos0=0，所以 tan0=3,32tan03tan 20=71tan011195 .已知直角梯形 ABCD 中，AD / BC,/ ADC = 90 , AD = 2, CD = BC = 1, P 是腰DC 上的動(dòng)點(diǎn)，U |PA+ 3PB|的最小值為 5.以 D 為原點(diǎn)，D

6、A , DC 所在直線分別為 x, y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系,4.已知平面向量34.則 PA + 3PB = (5,3 4y),所以|PA+3 鬲|=- 25+ 3 4y2, 即當(dāng) y= 4 時(shí)，所求模長(zhǎng)取得最小值 5.則 A(2,0), B(1,1).設(shè)點(diǎn) P(0, y), 咼頻考點(diǎn)_ 蘭廠向量在物理中的應(yīng)用OUOU質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F F1, F F2, F F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知 F F1, F F2成 60角，且 F F1, F F2的大小分別為 2 和 4,則 F F3的大小為A 6 B 2C. 2 5 D 2 7易知 F F3的大小，即平行四邊形對(duì)角線 O

7、D 的長(zhǎng)度,根據(jù)余弦定理，可得OD2= 22+ 42- 2X2X4COS 120 = 28,故 OD= 2 羽. 闔 D傲&用向量法解決物理問題的步驟：1將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來(lái)；2將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;3最后將數(shù)學(xué)問題還原為物理問題.1一條河寬為400 m, 船從 A 出發(fā)航行垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B 處，船速為 20km/h，水速為 12 km/h，則船到達(dá) B 處所需時(shí)間為1.5 min.B倔船速度與水流速度的合速度是船的實(shí)際航行速度如圖,| |V1| |= 2020, | |v2| |= 12.12.根據(jù)勾股定理結(jié)合向量的平行四邊形法則（如| |v| |

8、= 16(km/h) =800(m/min),故 t= 400 響=1.5(min).巴匚向量在平面幾何中的應(yīng)用ABC 中，AC = BC, D 是 BC 的中點(diǎn)，E 是線段 AB 上的點(diǎn)，且（方法一：基向量法）設(shè) CA= a a, CB = b b,貝 V |a|a|= |b|b|,且 a a b b= 0 0,T T T T1T T1T T貝 U CE= CB + BE= CB + BA= CB + (CA CB)1 2 2=3a+3 3bT T T1T T1AD = CD CA = 2CB CA= 2 b b a a.AD CE = gbgb a a) gaga+ 3b3b) = 3a

9、a2 2+ fbfb = 0,所以 AD 丄 CE,即卩 AD 丄 CE.（方法二：坐標(biāo)法）以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA, CB 所在直線分別為 x 軸，y 軸建立直角坐標(biāo)系,在等腰直角三角形AE2BE，求證：AD 丄 CE.|FA|=/( tf+(12t2 2t + 1,- 2 4所以 AD = ( 2,1), CE = (3, 3),- -44所以 AD CE= 3+ 3 = 所以 AD 丄 CE,即卩 AD 丄 CE.瞰愆用向量法解決幾何問題的步驟：1建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題 轉(zhuǎn)化為向量問題；2通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；3把運(yùn)算結(jié)果

10、“翻譯”成幾何關(guān)系.4*2.如圖所示，四邊形 ABCD 是正方形，P 是對(duì)角線 DB 上的一點(diǎn)，四邊形 PECF 是矩 形證明：以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 DC , DA 所在的直線分別為 x 軸，y 軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 1,設(shè) F(t, t)(wtw1)，則 F(t,), E(1 , t), A(,1),(1)FA =EF;(2)FA 丄EF.所以 FA = (1,1 t), EF = (t 1, t),|EF|=- t12+ -t2h2t22t+1,所以 |PA|= |EF|,即即PA= EF.(2)PA EF = t(t 1) + (1 1)( t)2 2=t + t

11、t + t = 0.所以 PA 丄 EF，即 PA 丄 EF.蘭廠向量的綜合應(yīng)用麵已知點(diǎn) P( 3,0)，點(diǎn) A 在 y 軸上，點(diǎn) Q 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) M 在直線 AQ 上,滿足PA AM= o,AM= |MQ，當(dāng)點(diǎn)A在 y 軸上 移動(dòng)時(shí)， 動(dòng)點(diǎn)M的軌 跡方程為鋰 3 設(shè) M(x, y)為軌跡上的任一點(diǎn)，設(shè)A(0, b), Q(a,0)(a0),3 3因?yàn)?AM = 2MQ，所以(x, y b)= (a x, y),1yy x所以 a= x, b = 2，即 A(0, Q), Q(, 0),TyT3PA= (3, J, AM = (x,尹),T -32因?yàn)?PA AM = 0,所以

12、3x 4y = 0,o即所求軌跡的方程為 y = 4x(x0).y2= 4x( x0)瞰愆在處理解析幾何問題時(shí)，需要將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用向量的有關(guān)法則、性質(zhì)列出方程.則 AM = (x,y b), MQ = (a x,y),變式採(cǎi)究3.(2017 北京卷)已知點(diǎn) P 在圓 x2+ y2= 1 上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(一 2,0), O 為原點(diǎn)，則AO AP 的最大值為 6(方法一)根據(jù)題意作出圖象，如圖所示,A( 2,0), P(x, y).由點(diǎn) P 向 x 軸作垂線交 x 軸于點(diǎn) Q,則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(x,0).AO AP=|AO|AP|COS0,|AO|= 2, |AP x所以 AO

13、 AP= 2(x+ 2) = 2x+ 4.又點(diǎn) P 在圓 x2+ y2= 1 上，所以 x 1,1.所以AOAP 的最大值為 2 + 4= 6.2 2(方法二)因?yàn)辄c(diǎn) P 在圓 x + y = 1 上,所以可設(shè)P(COSa,sina(0w aV2n,所以 AO= (2,0), AP =(COSa+2, sina),AO AP=2COSa+4w2+4=6,當(dāng)且僅當(dāng) COSa=1，即a=0, P(1,0)時(shí)，上式取到 “=.|課 0 0 刑_,1.向量的平行、垂直關(guān)系是向量最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長(zhǎng)度是 向量的數(shù)量特征，是數(shù)形結(jié)合的重要工具，這些知識(shí)是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，因此，對(duì) 這些基本知識(shí)必須在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握.AQCOS0=APx+2x+22+ /2.向量法解決幾何問題的“三步曲”，即:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題 化為向量問題(2)通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾