理論力學(xué)04彎曲內(nèi)力

1、1任課教師：黃夢(mèng)溪241 彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖42 剪力和彎矩剪力和彎矩43 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖44 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用45 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖46 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖 彎曲內(nèi)力習(xí)題課彎曲內(nèi)力習(xí)題課第四章第四章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 341 平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖一、彎曲的概念一、彎曲的概念1. 彎曲彎曲: : 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí),軸 線變成了曲線，這種變形稱(chēng)為彎曲。

2、2. 梁：梁：以彎曲變形為主的 構(gòu)件通常稱(chēng)為梁。43. 3. 工程實(shí)例工程實(shí)例5674. 4. 平面彎曲：平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一 平面內(nèi)。 對(duì)稱(chēng)彎曲（如下圖） 平面彎曲的特例?？v向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面MP1P2q8非對(duì)稱(chēng)彎曲 若梁不具有縱對(duì)稱(chēng)面，或者，梁雖具有縱 對(duì)稱(chēng)面但外力并不作用在對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，這種 彎曲則統(tǒng)稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)彎曲。下面幾章中，將以對(duì)稱(chēng)彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計(jì)算。9二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。1. 構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化 通常取梁的軸線來(lái)代替梁。2. 載荷簡(jiǎn)

3、化載荷簡(jiǎn)化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類(lèi)型：集中力、集中力偶和分布載荷。3. 支座簡(jiǎn)化支座簡(jiǎn)化10 固定鉸支座 2個(gè)約束，1個(gè)自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。 可動(dòng)鉸支座 1個(gè)約束，2個(gè)自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。11 固定端 3個(gè)約束，0個(gè)自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三種基本形式梁的三種基本形式 簡(jiǎn)支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力 懸臂梁12 外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 靜定梁與超靜定梁靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本 形式的靜定梁。超靜定梁

4、：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。13 例例1 貯液罐如圖示，罐長(zhǎng)L=5m，內(nèi)徑 D=1m，壁厚t =10mm，鋼的密度為：7.8g/cm，液體的密度為：1g/cm ,液面高為：0.8m，外伸端長(zhǎng)為： 1m，試求貯液罐的計(jì)算簡(jiǎn)圖。解：q 均布力均布力14LgLAgLALVgLmgq2211rad855131060.gRRgDt2221)sin(21gAgA22119(kN/m)9.81000)sin106.3(1.8550.521 0.53.148 . 9780001. 0114. 322q 均布力均布力1542 剪力和彎矩剪力和彎矩 一、彎曲內(nèi)力：一、彎曲內(nèi)力：舉例舉例 已

5、知：如圖，P，a，l。求：距A端x處截面上內(nèi)力。PaPlYAXARBAABB解解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 016ABPYAXARBmmx求內(nèi)力截面法xYMmlalPYQYACA , 0)( , 0AYAQMRBPMQ 彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1. 彎矩：彎矩：M 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。CC172. 剪力：剪力：Q 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。3. .內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定: :剪力Q: 繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負(fù)彎矩。Q(+)Q()Q()Q(

6、+)M(+)M(+)M()M()18 例例2：求圖（a）所示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求內(nèi)力。 1-1截面處截取的分離體 如圖（b）示。圖（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例題二、例題qqLab1122qLQ1AM1圖（b）x119L)axq Q22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面處截取的分離體如圖(c), )ax( qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2圖（c）201. 1. 內(nèi)力方程：內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2. 2.

7、 剪力圖和彎矩圖：剪力圖和彎矩圖：)(xQQ 剪力方程)(xMM 彎矩方程)(xQQ 剪力圖的圖線表示)(xMM 彎矩圖的圖線表示43 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖21 例例3 3 求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫(huà)出內(nèi)力圖。PY)x(QO解：求支反力)()(LxPMxYxMOO 寫(xiě)出內(nèi)力方程PL MPYOO ; PYOL根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖。Q(x)xPMOM(x)xQ(x)MOYO22解：寫(xiě)出內(nèi)力方程根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖qx)x(Q221qx)x(MLqM(x)xQ(x)Q(x)x qL23)3(6220 xLLq)x(Q解：求支反力內(nèi)力方程3 ; 600Lq RL

8、qRBAq0RA根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖。RBL)xL(LxqxM2206)(xL33Q(x)x620Lq320LqRAMxQ24一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對(duì)dx 段進(jìn)行平衡分析，有：0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd 44 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。 25q(x)M(x)+

9、d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。)(d)(d22xqxxM彎矩與荷載集度的關(guān)系是：彎矩與荷載集度的關(guān)系是：26二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力外力無(wú)外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜直線增函數(shù)xQxQ降函數(shù)xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突變xQC無(wú)變化斜直線曲線自左向右折角 自左向右突變與m反27簡(jiǎn)易作圖法簡(jiǎn)易作圖法: : 利

10、用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作 圖的方法。 例例44 用簡(jiǎn)易作圖法畫(huà)圖示梁的內(nèi)力圖。解解: : 利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及 特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作圖。特殊點(diǎn)特殊點(diǎn): :端點(diǎn)、分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)等。aaqaqA282230qaM;Q0 ; MqaQ2 ;qaMqaQ223; 0qaMQaaqaqA左端點(diǎn)：左端點(diǎn)：線形：線形：根據(jù))(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM； xqxxQdd；及集中載荷點(diǎn)的規(guī)律確定。分區(qū)點(diǎn)分區(qū)點(diǎn)A：M 的駐點(diǎn)：的駐點(diǎn)：右端點(diǎn)：右端點(diǎn)：Qxqa29 例例55 用簡(jiǎn)易作圖法畫(huà)下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力2 ; 2qaRqaRDA0;2MqaQ左端點(diǎn)A

11、：221;2qaMqaQB點(diǎn)左：221;2qaMqaQB點(diǎn)右：221;2qaMqaQC點(diǎn)左：M 的駐點(diǎn)：283; 0qaMQ221;2qaMqaQC點(diǎn)右：0 ; 21MqaQ右端點(diǎn)D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2+ABCD3045 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理一、疊加原理： 多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 適用條件適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿(mǎn) 足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿(mǎn)足

12、虎克定律。31二、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理二、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理 疊加方法疊加方法 步驟：步驟： 分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖； 將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可(注意：不是圖形的簡(jiǎn)單拼湊)。32 例例66按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點(diǎn)處）。qqPP=+AAABBB33 三、對(duì)稱(chēng)性與反對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用：三、對(duì)稱(chēng)性與反對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用： 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)載荷作用下，Q圖反對(duì)稱(chēng)，M圖對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)載荷作用下，Q圖對(duì)稱(chēng)，M圖反對(duì)稱(chēng)。34 例例7 作下列圖示梁的內(nèi)力圖。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1x

13、Q2x0.5P0.5P0.5P+P35PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP036 例例8 改內(nèi)力圖之錯(cuò)。a2aaqqa2ABQx+qa/4qa/43qa/47qa/447;4qaRqaRBA37 例例9 已知Q圖，求外載及M圖（梁上無(wú)集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+3846 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架一、平面剛架1. 平面剛架：平面剛架：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相 互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。 特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：Q、M、N。2. 內(nèi)力圖規(guī)定：內(nèi)力圖規(guī)定： 彎矩圖：彎矩圖：畫(huà)在各桿的受壓

14、一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。 剪力圖及軸力圖：剪力圖及軸力圖：可畫(huà)在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫(huà)在剛架的外側(cè)），但須注明正、負(fù)號(hào)。39 例例10 試作圖示剛架的內(nèi)力圖。P1P2alABCN 圖P2+Q 圖P1+P1P1aM 圖P1aP1a+ P2 l40 二、平面曲桿：二、平面曲桿： 軸線為一平面曲線的桿件。內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同。例例11 已知：如圖所示，P及R 。試?yán)L制Q、M、N 圖。OPRmmx解：解：建立極坐標(biāo)，O為極點(diǎn)，OB 極軸，表示截面mm的位置。)(0 )cos1 ()cos()(PRRRPPxM)(0 cos)(2PPN)(0 sin)(1PPQAB41OPRmmx)(0

15、 )cos1 ()cos()(PRRRPPxM)(0 cos)(2PPN)(0 sin)(1PPQABABOM-diagramOO+Q -diagramN-diagram2PRPP+42例例1 繪制下列圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)第四章習(xí)題課第四章習(xí)題課43(2)aaqqqq=+xM1=xM+xM23qa2/2qa2/2qa244(3)PL/2L/2PL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/245(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30

16、kNm20kNm46 例例2 試根據(jù)自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，列舉一些彎曲變形的構(gòu)件，并將它們簡(jiǎn)化為各種類(lèi)型的梁。 例例3 試用疊加法作梁的彎矩圖。 222222247 例例4 作圖示具有中間鉸的組合梁的Q、M圖。 qa2qa2 /248 例例5 圖示外伸梁AD，受力作用。試畫(huà)出該軸的剪力圖和彎矩圖，并求Qmax和Mmax。 解解：1外力分析：求支座約束反力。研究梁AD，受力分析如圖，列平衡方程： mkN6kN2kN/m4mPq，05 . 2132)(01qmPNFmqPNNFBABAykN1kN3BANN，49 2內(nèi)力分析：首先列出各段的剪力方程和彎矩方程， AC： m)(kN3(kN)30011111111xxNMNQxNMmQNYAAAACB： m)(kN636(kN)30022222222xxNMNQxNmMmQNYAAAABD： )3(2)3(22)3(40)3(2)3(0)3(3233332333333xxMxQxqMxPmxqQPY50 然后根據(jù)上面剪力方程和彎矩方程分區(qū)段繪制剪力圖和彎矩圖，如(a