第九章 連分式new

1、 但有理分式 卻能很好地反映函數(shù)在x附近無界，并且也保證了當(dāng)x時(shí)趨于某個(gè)定值A(chǔ)。而且，用有理分式逼近一個(gè)函數(shù)，或者用有理分式作為工具構(gòu)造算法，其效果（如精度與計(jì)算工作量）有時(shí)要比用多項(xiàng)式好。xBAx 在某些場合下，用多項(xiàng)式作為工具就不一定合適。例如，某個(gè)函數(shù)在x附近無界，或者當(dāng)x時(shí)趨于某個(gè)定值，此時(shí)如果用多項(xiàng)式來逼近這個(gè)函數(shù)，其效果不會(huì)很理想。這是因?yàn)槎囗?xiàng)式不可能反映函數(shù)的這些性質(zhì)。第9章 連分式及其新計(jì)算法 9.1 連分式 9.1.1 連分式的基本概念 現(xiàn)在，如果將式(9.1.1)的右端代入右端中的y，并且連續(xù)做下去，就可以得到如下的式子：由此可以看出，函數(shù) 不僅可以展開成冪級(jí)數(shù)，還可以展開

2、成如下連分式： x1在式(9.1.2)中，如果取x1，則有 由上面的例子可以看出，一個(gè)函數(shù)或常數(shù)除了可以用冪級(jí)數(shù)表示外，還可以用連分式表示。下面給連分式下一個(gè)一般的定義。 定義9.1 表達(dá)式 稱為連分式。其中 稱為連分式(9.1.3)的第k節(jié)，ak1與bk稱為連分式第k節(jié)的兩個(gè)項(xiàng)。a0，a1，a2，稱為連分式的部分分子；b0稱為連分式的常數(shù)項(xiàng)，b1，b2，稱為連分式的部分分母。k1kba 對于有限連分式來說，其值是通過對各項(xiàng)的有限次運(yùn)算而得到。如果有限連分式的部分分子和部分分母的各項(xiàng)（包括常數(shù)項(xiàng)b0）均為實(shí)數(shù)，則有限連分式的值也為實(shí)數(shù)；如果有限連分式中的各項(xiàng)為有理數(shù)，則其連分式值也為有理數(shù)。

3、對于無限連分式來說，與無窮級(jí)數(shù)的情形相似，在其收斂性未得到證實(shí)之前，不能隨意認(rèn)為它代表某個(gè)數(shù)值，它只是一種數(shù)學(xué)形式的記號(hào)而已。當(dāng)然，無限連分式的收斂性問題也是值得研究的，這里不作詳細(xì)的討論。9.1.2 連分式的主要性質(zhì) 定理9.1 （漸近分式關(guān)系）設(shè) P11，P0b0 PkbkPk1ak1Pk2，k1 Q10，Q01 QkbkQk1ak1Qk2，k1則 定理9.2 （相鄰漸近分式之間的關(guān)系）定理9.3 連分式(9.1.3)可以變換成等價(jià)的級(jí)數(shù)形式 其中 Q10，Q01 QkbkQk1ak1Qk2，k19.2 函數(shù)連分式 9.2.1 函數(shù)連分式的基本概念 與連分式的定義相似，函數(shù)連分式的定義如下

4、。定義9.2 設(shè)表達(dá)式(9.2.1) 如果表達(dá)式 中的各結(jié)點(diǎn)xk(k0，1，)與x均屬于區(qū)間a，b，則稱 為定義在區(qū)間a，b上的一維函數(shù)連分式。)x()x(其中 稱為函數(shù)連分式(9.2.1)的第k節(jié)，xxk1與bk稱為函數(shù)連分式第k節(jié)的兩個(gè)項(xiàng)。xx0，xx1，xx2，稱為函數(shù)連分式的部分分子，并且為變數(shù)；b0稱為連分式的常數(shù)項(xiàng)，b1，b2，稱為連分式的部分分母，通常為實(shí)常數(shù)。k1kbxx9.2.2 函數(shù)連分式的主要性質(zhì) 對于函數(shù)連分式，同樣有漸近分式關(guān)系以及相鄰兩漸近分式之間的關(guān)系。并且與一般連分式一樣，也可以將函數(shù)連分式變換成級(jí)數(shù)，以及將函數(shù)連分式變換成偶數(shù)節(jié)或奇數(shù)節(jié)漸近分式的級(jí)數(shù)。9.2.

5、3 函數(shù)連分式的計(jì)算9.3 變換級(jí)數(shù)為連分式 定理9.7 設(shè)冪級(jí)數(shù)為 P(x)a0a1xa2x2anxn (9.3.1)則可以將式(9.3.1)變換成等值的連分式，即 P(x)a0a1xa2x2anxn9.4 連分式插值法 9.4.1 連分式插值的基本概念 9.4.2 連分式插值函數(shù)的構(gòu)造 9.5 方程求根的連分式解法 一般來說，對于非線性方程 f(x)0 (9.5.1) 假設(shè)已經(jīng)得到了前n次迭代值x0，x1，xn1,并且計(jì)算出非線性方程(9.5.1)左端函數(shù)f(x)在這n個(gè)迭代值點(diǎn)上的函數(shù)值ykf(xk)(k0，1，n1)?，F(xiàn)在要求確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系，根據(jù)n個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(xk，yk)(k0，1

6、，n1)來確定第n次迭代值xn，即 xnF(y0，y1，yn1)并且使迭代次數(shù)盡量的少。這個(gè)函數(shù)F可以取連分式函數(shù)。 求解非線性方程(9.5.1)的步驟如下 取三個(gè)初值x0，x1和x2，并分別計(jì)算出 y0f(x0)，y1f(x1)，y2f(x2)然后根據(jù)三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(y0，x0)，(y1，x1)，(y2，x2)確定函數(shù)連分式中的參數(shù)b0，b1，b2。 對于k3，4，作如下迭代： (1) 計(jì)算新的迭代值，即(2) 計(jì)算非線性方程(9.5.1)左端函數(shù)f(x)在xk點(diǎn)的函數(shù)值，即 ykf(xk)此時(shí)，如果|yk|，則迭代結(jié)束，xk即為方程根的近似值。(3) 根據(jù)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)(yk，xk)，用遞推計(jì)算公

7、式 遞推計(jì)算出一個(gè)新的bk，使連分式插值函數(shù)再增加一節(jié)，即 然后轉(zhuǎn)(1)繼續(xù)迭代。上述過程一直做到|yk|為止。 9.6 一維積分的連分式解法 如果用通常的近似積分法（如變步長求積法），為了要得到較精確的積分值，就必須將積分區(qū)間a，b分得很細(xì)，步長h要足夠的小。但由此帶來的問題是項(xiàng)數(shù)增加，將導(dǎo)致嚴(yán)重的誤差積累。為了解決這個(gè)問題，在逐步分割積分區(qū)間的過程中，首先由式(9.6.2)（即變步長梯形求積法）算出積分近似值序列sk(k0，1，j)。然后根據(jù)這個(gè)積分近似值序列（它們對應(yīng)的步長序列為hk ，k0，1，j），確定出參數(shù)b0，b1，bj，構(gòu)造出函數(shù)連分式(9.6.3)。此后再由式(9.6.5)算出進(jìn)一步的積分近似值S(j)。k2ab 在以上過程中，可以將式(9.6.5)看成是對近似積分值序列sk(k0，1，j)的校正。利用變步長梯形法則計(jì)算得到的第j次近似值sj可能不滿足精度要求，而通過式(9.6.5)校正后得到的近似值S(j)將會(huì)比sj更接近積分的準(zhǔn)確值。這就避免了由于步長過小而引起的積累誤差的增加，同時(shí)，在保證精度要求的前提下，這種方法也減少了計(jì)算工作量，即它的收斂速度比通常的近似積分法要快得多。用連分式方法計(jì)算一維積分的基本步驟如下