2022年人教版《正方形的性質(zhì)》公開課教案

1、18.2.3正方形正方形第第 1 課時(shí)課時(shí)正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)1掌握正方形的概念、性質(zhì)，并會用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算；(重點(diǎn))2理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入做一做：用一張長方形的紙片(如以下圖)折出一個(gè)正方形學(xué)生在動手中對正方形產(chǎn)生感性認(rèn)識， 并感知正方形與矩形的關(guān)系問題：什么樣的四邊形是正方形？二、合作探究探究點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)【類型一】 特殊平行四邊形的性質(zhì)的綜合菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是()A對角線相等且互相平分B對角線相等且互相垂直平分C對角線互相平分D四條邊相等，四個(gè)角相等解析： 選項(xiàng) A 不正確， 菱形的對角線不相等； 選項(xiàng) B 不

2、正確， 菱形的對角線不相等，矩形的對角線不互相垂直；選項(xiàng) C 正確，三者均具有此性質(zhì)； 選項(xiàng) D 不正確， 矩形的四條邊不相等，菱形的四個(gè)角不相等應(yīng)選C.方法總結(jié)：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)【類型二】 利用正方形的性質(zhì)解決線段的計(jì)算或證明問題如以下圖，正方形 ABCD 的邊長為 1， AC 是對角線， AE 平分BAC， EFAC于點(diǎn) F.(1)求證：BECF；(2)求 BE 的長解析：(1)由角平分線的性質(zhì)可得到 BEEF，再證明CEF 為等腰直角三角形，即可證 BECF；(2)設(shè) BEx，在CEF 中可表示出 CE.由 BC1，可列出方程，即可求得 BE.(1)證明

3、：四邊形 ABCD 為正方形，B 90.EFAC ， EFA 90.AE 平分BAC， BEEF.又AC 是正方形 ABCD 的對角線， AC 平分BCD，ACB45，F(xiàn)ECFCE45，EFFC，BECF；(2)解：設(shè) BEx，那么 EFCFx，CE1x.在 RtCEF 中，由勾股定理可得CE 2x. 2x1x，解得 x 21，即BE 的長為 21.方法總結(jié)： 正方形被每條對角線分成兩個(gè)直角三角形， 被兩條對角線分成四個(gè)等腰直角三角形， 因此正方形的計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰直角三角形中去解決【類型三】 利用正方形的性質(zhì)解決角的計(jì)算或證明問題在正方形 ABCD 中， 點(diǎn) F 是邊 AB

4、上一點(diǎn)，連接 DF，點(diǎn) E 為 DF 的中點(diǎn)連接 BE、CE、AE.(1)求證：AEBDEC；(2)當(dāng) EBBC 時(shí)，求AFD 的度數(shù)解析： (1)根據(jù)“正方形的四條邊都相等可得 ABCD，根據(jù)“正方形每一個(gè)角都是直角可得BADADC90，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 AEEFDE12DF，根據(jù)“等邊對等角可得EADEDA，再得出BAECDE，然后利用“SAS證明即可； (2)根據(jù)“全等三角形對應(yīng)邊相等可得EBEC，再得出BCE 是等邊三角形根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得EBC60，然后求出ABE30.再根據(jù)“等腰三角形兩底角相等求出BAE，然后根據(jù)“等邊對等角可得AFDBAE.

5、(1)證明： 在正方形 ABCD 中， ABCD，BADADC90.點(diǎn) E 為 DF 中點(diǎn)，AE EF DE 12DF ， EAD EDA.BAEBADEAD，CDEADCEDA，BAECDE.在AEB 和DEC 中，ABCD，BAECDE，AEDE，AEBDEC(SAS)；(2) 解 ： AEBDEC ， EB EC.EBBC，EBBCEC，BCE是等邊三角形，EBC60，ABE906030.EBBCAB， BAE12(180 30) 75. 又 AE EF ，AFDBAE75.方法總結(jié)： 正方形是最特殊的平行四邊形，在正方形中進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意計(jì)算出相關(guān)的角的度數(shù)， 要注意分析圖形中有哪些

6、相等的線段等探究點(diǎn)二：正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用【類型一】 利用正方形的性質(zhì)解決線段的倍、分、和、差關(guān)系如圖，AE 是正方形 ABCD 中BAC 的平分線，AE 分別交 BD、BC 于 F、E，AC、BD 相交于 O.求證：(1)BEBF；(2)OF12CE.解析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可求得ABEAOF90.由于 AE 是正方形ABCD 中BAC 的平分線， 根據(jù)“等角的余角相等即可求得AFOAEB.根據(jù)“對頂角相等即可求得BFEAEB，BEBF；(2)連接 O 和 AE 的中點(diǎn) G.根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可證得 OGBC，OG12CE.根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得OGF FEB ， 從 而 證

7、得 OGF AFO，OGOF，進(jìn)而證得 OF12CE.證明：(1)四邊形 ABCD 是正方形，ACBD ， ABE AOF 90 ，BAE AEB CAE AFO 90.AE 是BAC 的平分線，CAEBAE，AFOAEB.又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)連接 O 和 AE 的中點(diǎn) G.AOCO，AGEG， OGBC， OG12CE， OGFFEB.AFOAEB，OGFAFO，OGOF，OF12CE.方法總結(jié)： 在正方形的條件下證明線段的關(guān)系， 通常的方法是連接對角線構(gòu)造垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)、中位線定理、角平分線、等腰三角形等知識來證明，有時(shí)也利用全等三角形來解決【類

8、型二】 有關(guān)正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用題如圖，正方形 AFCE 中，D 是邊CE 上一點(diǎn)，B 是 CF 延長線上一點(diǎn)，且 ABAD，假設(shè)四邊形 ABCD 的面積是 24cm2.那么 AC 長是_cm.解析： 四邊形 AFCE 是正方形， AF AE ， E AFC AFB 90. 在RtAED和RtAFB中，ADAB，AEAF，RtAEDRtAFB(HL) ，SAEDSAFB.S四邊形ABCD24cm2，S正方 形AFCE24cm2，AEEC26AC2 622 624 3(cm) 故答案為4 3.方法總結(jié)：在解決與面積相關(guān)的問題時(shí)，可通過證三角形全等實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，使不規(guī)那么圖形的面積轉(zhuǎn)變成我們熟悉的圖形

9、面積，從而解決問題三、板書設(shè)計(jì)1正方形的定義和性質(zhì)四條邊都相等， 四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形對邊平行，四條邊都相等；四個(gè)角都是直角；對角線互相垂直、平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角2正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用通過學(xué)生動手操作得出的結(jié)論歸納矩形和菱形的性質(zhì)，繼而得到正方形的性質(zhì)，激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣 創(chuàng)設(shè)有意義的數(shù)學(xué)活動， 使枯燥乏味的數(shù)學(xué)變得生動活潑讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是快樂的，使學(xué)生保持一顆健康、好學(xué)、進(jìn)取的心及一份濃厚的學(xué)習(xí)興趣第 2 課時(shí)比例線段1知道線段的比的概念，會計(jì)算兩條線段的比；(重點(diǎn))2理解成比例線段的概念；(重點(diǎn))3掌握成比例線段的判定方法(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入請觀察

10、以下幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片特點(diǎn)進(jìn)行歸納嗎？這些例子都是形狀相同、 大小不同的圖形它們之所以大小不同，是因?yàn)樗鼈儓D上對應(yīng)的線段的長度不同二、合作探究探究點(diǎn)一：線段的比【類型一】根據(jù)線段的比求長度如下列圖，M 為線段 AB 上一點(diǎn)，AM MB3 5， 且 AB16cm， 求線段 AM、BM 的長度解：線段 AM 與 MB 的比反映了這兩條線段在全線段 AB 中所占的份數(shù)，由 AMMB35 可知 AM38AB，MB58AB.AB16cm，AM38166(cm)，MB581610(cm)方法總結(jié)：此題也可設(shè) AM3k，MB5k，利用 3k5k16 求解更簡便，這也是解這類題常用的

11、方法【類型二】比例尺在比例尺為 150 000 的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是 3cm，那么甲、乙兩地的實(shí)際距離是_m.解析：根據(jù)“比例尺圖上距離實(shí)際距離可求解設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離為 xcm，那么有 150 0003x，解得 x150 000cm1500m.方法總結(jié)：理解比例尺的意義，注意實(shí)際尺寸的單位要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化探究點(diǎn)二：成比例線段【類型一】判斷線段成比例以下四組線段中，是成比例線段的是()A3cm，4cm，5cm，6cmB4cm，8cm，3cm，5cmC5cm，15cm，2cm，6cmD8cm，4cm，1cm，3cm解析： 將每組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列， 前兩條線段的比和后兩條線

12、段的比相等的四條線段成比例四個(gè)選項(xiàng)中，只有 C 項(xiàng)排列后有25615.應(yīng)選 C.方法總結(jié)： 判斷四條線段是否成比例的方法：(1)把四條線段按從小到大順序排好， 計(jì)算前兩條線段的比和后兩條線段的比， 看是否相等作出判斷；(2)把四條線段按從小到大順序排好， 計(jì)算前后兩個(gè)數(shù)的積與中間兩個(gè)數(shù)的積， 看是否相等作出判斷【類型二】由線段成比例求線段的長三條線段的長分別為 1cm， 2cm，2cm，請你再給出一條線段，使得它的長與前面三條線段的長能夠組成一個(gè)比例式解：因?yàn)榇祟}中沒有明確告知是求 1，2，2 的第四比例項(xiàng)，因此所添加的線段長可能是前三個(gè)數(shù)的第四比例項(xiàng)， 也可能不是前三個(gè)數(shù)的第四比例項(xiàng)， 因此應(yīng)進(jìn)行分類討論設(shè)要求的線段長為 x，假設(shè) x1 22，那么 x22；假設(shè) 1x 22，那么 x 2；假設(shè) 1 2x2，那么 x 2；假設(shè) 1 22x，那么 x2 2.所以所添加的數(shù)有三種可能，可以是22，2，或 2 2.方法總結(jié)：假設(shè)使四個(gè)數(shù)成比例，那么應(yīng)滿足其中兩個(gè)數(shù)的比等于另外兩個(gè)數(shù)的比， 也可轉(zhuǎn)化為其中兩個(gè)數(shù)的乘積恰好等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積三、板書設(shè)計(jì)比例線段線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段AB，C