二元函數(shù)的連續(xù)性

1、首頁首頁3 3 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性二 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一一 二元函數(shù)的連續(xù)性概念二元函數(shù)的連續(xù)性概念首頁首頁20000 (,00 |( )()|.fDRPDDDPU PDf Pf PfDP設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，或者是的聚點(diǎn),或者是的孤立點(diǎn))，當(dāng) （ ； ）時(shí)，有則稱關(guān)于集合在點(diǎn)定連續(xù)義.,00的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)關(guān)于關(guān)于必定是必定是則則的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn)是是若若DfPDP一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念首頁首頁)()(lim00PfPfDPPP .,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱在在若若fPPf連續(xù)等價(jià)于連續(xù)等價(jià)于在在關(guān)

2、于關(guān)于則則的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)是是若若00,PDfDP.上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為連續(xù)，則稱連續(xù)，則稱上任何點(diǎn)都關(guān)于集合上任何點(diǎn)都關(guān)于集合在在若若DfDDf.)()(lim,)(lim0000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是則則稱稱但但存存在在若若fPPfPfPfDPPPDPPP 首頁首頁,),(),(00000yyyxxxDyxPyxP ，設(shè)設(shè).),(),( ),( ),(),( ),(0000000000000的的偏偏增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)稱稱Pfyxfyyxfyxfyxfyxxfyxfyx . ),(),( ),(),(),(000000000的的全全增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱Pf

3、yxfyyxxfyxfyxfyxfz . , 0lim0),()0,0(),(連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于則則稱稱若若PDfzDyxyx 首頁首頁.),(0),(),(lim,0 ),(lim0000000000連連續(xù)續(xù)在在這這說說明明即即若若xyxfyxfyxxfyxfxxx .),(,0 ),(lim00000連連續(xù)續(xù)在在則則同同理理若若yyxfyxfyy 首頁首頁.),(),(, ),(000000連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)在在則則連連續(xù)續(xù)在在若若yyxf，xyxfyxf. ),(),(),(000000不不一一定定連連續(xù)續(xù)在在但但二二元元函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)在在若若但但反反過過來來不不一

4、一定定成成立立yxf，yyxf，xyxf，首頁首頁 0, 00, 1),(xyxyyxf)0 , 0(00lim)0 ,(lim00fxfxx )0 , 0(00lim), 0(lim00fyfyy 設(shè)設(shè)顯然顯然 f 在原點(diǎn)處不連續(xù)在原點(diǎn)處不連續(xù).但但所以所以 f ( x, 0 ) 在在 x =0 連續(xù)連續(xù). f ( 0, y ) 在在 y =0 連續(xù)連續(xù).首頁首頁與一元函數(shù)的性質(zhì)類似，若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，與一元函數(shù)的性質(zhì)類似，若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，那么在這一點(diǎn)也有局部有界性、局部保號性、那么在這一點(diǎn)也有局部有界性、局部保號性、有理運(yùn)算的各個(gè)法則以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性有理運(yùn)算的各個(gè)法則以及

5、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性. .首頁首頁00000000000000 ( , )( , )(,),;( , )(,) ,(,),(,).( , ) ( , ), ( , )16.7). (ux yvx yxyP xyPf u vuvQ u vQuxyvxyg x yfx yx yP設(shè)函數(shù)和在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 并在點(diǎn)連續(xù) 函數(shù)在平面上點(diǎn)的 鄰域內(nèi)有定義 并在點(diǎn)連續(xù) 其中則復(fù)合函數(shù)在定理復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性點(diǎn)也連續(xù)首頁首頁216.8 .fDRfD若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上有定理（有界性與最大、界，且能取得最大值與最小值定理）最小值二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)首頁首頁.fD

6、證在證先上有界使得使得必存在互不相同的必存在互不相同的則對每個(gè)正整數(shù)則對每個(gè)正整數(shù),DPnn ,上無界上無界在在假設(shè)假設(shè)DfDPn 列列于是得一個(gè)有界無限點(diǎn)于是得一個(gè)有界無限點(diǎn),knnPP存在收斂子列存在收斂子列由聚點(diǎn)定理的推論由聚點(diǎn)定理的推論.,.lim000DP，DDPPPknk 知知是閉集是閉集再因再因的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)是是所以所以設(shè)設(shè), 2 , 1,| )(| nnPfn).()(lim00PfPf，P，Dfknk 有有因此因此也連續(xù)也連續(xù)當(dāng)然在點(diǎn)當(dāng)然在點(diǎn)上連續(xù)上連續(xù)在在由于由于.上有界上有界在在所以所以相矛盾相矛盾這與不等式這與不等式Df，首頁首頁2 .0,10,( ,) | ( )- (

7、 )|.) 6 9 .fDRfDP QDP Qf P f Q 若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上一致連續(xù)（即，定理使得，只要，就（一致連續(xù)性定有理）首頁首頁212121200 ()(), ()()()16.10 .fDRPPDf Pf Pf Puf PuPDf Pu設(shè)函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，若 ， 為中任意兩點(diǎn)，且則對任何滿足不等式的實(shí)數(shù) ，必存在點(diǎn)，定理（介值性定理）使得首頁首頁P(yáng).105 習(xí)題習(xí)題66. 若若 在某一區(qū)域在某一區(qū)域 內(nèi)對變量內(nèi)對變量 為連續(xù)，對為連續(xù)，對變量變量 滿足李普希茲條件，即對任何滿足李普希茲條件，即對任何有有其中其中 為常數(shù)，則此函數(shù)在為常數(shù)，則此函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。),(yxfxyGyxGyx ),( ,),(| ),(),(|yyLyxfyxf GGL首頁首頁0101000( ,)0,0,|( ,)(,)|f x yxxxf x yf xy 因因?yàn)闉閷ψ?/p>