與矩形相關(guān)的折疊問題解答方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上與矩形相關(guān)的折疊問題 金山初級中學(xué) 莊士忠 將矩形按不同要求進行折疊，就會產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識，千變?nèi)f化，趣味性強，同時也是矩形和角平分線、勾股定理等知識的結(jié)合與拓展。折疊是軸對稱的另一種描述，因此，在折疊問題中找到折痕即對稱軸就是解決此類問題一個突破口。下面從幾個不同的層面展示一下。一、求角度ABECDFG例1、如圖，把一張矩形紙片沿折疊后，點分別落在的位置上，交于點已知，那么 解析：根據(jù)矩形的性質(zhì)ADBC，有EFG=FEC=58°，再由折疊可知，F(xiàn)EC=CEF=58°，由此

2、得BEG=64°例2、將一長方形紙片按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則CBD的度數(shù)為( )(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在這個問題中是利用折疊矩形的兩個角給大家提供條件的，那么折痕BC和折痕BD就充當(dāng)了角平分線的角色，即ABC=A/BC,EBD=E/BD。二、求線段長度ABCDEF例3、如圖，四邊形ABCD為矩形紙片把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF若CD6，則AF等于 （ ）（A）（B）（C）（D） 解析：由折疊可知，AE=AB=DC=6，在RtADE中AD=6，DE=3由勾股定理

3、，得AD=，設(shè)EF=x，則FC=，在RtEFC中由勾股定理求得x=,則EF=，在RtAEF中，由勾股定理得AF=。故選A。分析：在矩形折疊問題中，求折痕等線段長度時，往往利用軸對稱性轉(zhuǎn)化相等的線段，再借助勾股定理構(gòu)造方程來解決。三、求圖形面積圖1-1例4、如圖，將長為20cm，寬為2cm的長方形白紙條，折成右圖并在其一面著色，則著色部分的面積為（ ）ABCD解析：折疊后重合部分為直角三角形，其面積為，因此著色部分的面積=長方形紙條面積 兩個重合部分三角形的面積，即20×22×236（）。故選B。分析：可以用動操作加強感性認識，注意重疊部分的計算方法。四、說明數(shù)量及位置關(guān)系A(chǔ)

4、BCDEF例5、如圖，將矩形紙片沿對角線折疊，點落在點處，交于點，連結(jié)證明：（1）（2）分析：（1）欲證明BF=DF ，只需證FBD=FDB；（2）欲證明，則需證。由折疊可知DC=ED= AB， BC=BE= AD，又因為AE=AE，得AEBEAD，所以AEB=EAD，所以AEB=（180°-AFE），而DBE=（180°-BFD）因此。解：（1）由折疊可知，F(xiàn)BD=CBD因為ADBC，所以FDB=CBD所以FBD=FDB（2）因為四邊形ABCD是矩形 所以AB=DC，AD=BC由折疊可知 DC=ED= AB， BC=BE= AD又因為AE=AE 所以AEBEAD，所以AE

5、B=EAD，所以AEB=（180°-AFE），而DBE=（180°-BFD），AFE=BFD所以 所以AEBD五、判斷圖形形狀OACBED例6、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O。（1）由折疊可得BCDBED，除此之外，圖中還存在其他的全等三角形，請你找出來 。（2）圖中有等腰三角形嗎？請你找出來 。（3）若AB=6,BC=8,則O點到BD的距離是 。分析：在這一折疊的過程中，因為是與全等有關(guān)的，所以除了像例1一樣提供了角的等量關(guān)系之外，邊的相等是更重要的。問題（1）好解決，進而由全等三角形的對應(yīng)邊相等可以說明（2）的結(jié)論是等腰OB

6、D。另外，還可以從另一個角度分析。由折痕BD可以找到OBD=CBD，由于在矩形中，ADBC，ODB=CBD，經(jīng)過等量代換OBDODB，然后等角對等邊OB=OD。這是在矩形中折疊比較常見的“角平分線和平行線同時并存”的條件，結(jié)論就會出現(xiàn)“等角對等邊”的等腰三角形。問題（3）跟計算線段長度有關(guān)，這也是勾股定理在折疊中要發(fā)揮作用的一類題目。因為ADBC，BCBE，因此在ABO中可以設(shè)AOx，則BOOD8x，因為AB6，即可以列勾股定理的等式：AB2AO2BO2進行計算了。下面的這個題目就是用這個思路解決的。大家可以嘗試一下。例7、一個矩形紙片如圖折疊，使頂點B和D重合，折痕為EF。（1）找出圖中全等

7、的三角形，并證明。（2）重合部分是什么圖形？證明你的結(jié)論。F132CBAEDF132CBAED（3）連接BE，并判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形，BD與EF有什么關(guān)系？并證明。分析：此題的折疊不僅有前面幾個問題中線段和角的對應(yīng)相等，而且在折疊的過程中隱藏著EF垂直平分BD，這對于第三問中四邊形形狀的判斷，有著重要的作用，這仍然是軸對稱的性質(zhì)。利用這些條件易證明EODBOF，則有EDBF，且EDBF，首先四邊形EBFD是平行四邊形，由于BD、EF互相垂直，所以就可說明四邊形EBFD是菱形。例8、如圖，將一組對邊平行的紙條沿EF折疊，點A、B分別落在A、B處，線段FB與AD交于點M(1)試判斷M

8、EF的形狀，并說明你的理由；(2)如圖，將紙條的另一部分CFMD沿MN折疊，點C、D分別落在C、D處，且使MD經(jīng)過點F，試判斷四邊形MNFE的形狀，并說明你的理由；(3)當(dāng)BFE_度時，四邊形MNFE是菱形分析：（1）由折疊可知 MFE=EFB，再由 MEF=EFB得MEF=MFE，所以 ME=MF，因此MEF為等腰三角形；（2）由（1）ME=MF，同理MF=NF，所以ME=NF，再由MENF得四邊形MNFE為平行四邊形（3）若四邊形MNFE是菱形，則ME=EF，由ME=MF得ME=MF=EF，EFM是等邊三角形，所以MFE=60°，由折疊知BFE=MFE=60°。解：（1

9、）MEF為等腰三角形理由：因為 ADBCABCEFDABABCEFDABDCMMN所以 MEF=EFB由折疊可知 MFE=EFB所以MEF=MFE所以 ME=MF所以MEF為等腰三角形（2） 四邊形MNFE為平行四邊形理由：因為ME=MF，同理NF=MF所以 ME=NF 因為MENF所以四邊形MNFE為平行四邊形（3） 60。說明：矩形的折疊，主要是通過折疊圖形構(gòu)造的圖形的軸對稱性來解決問題。由于折疊前后折疊部分圖形的形狀、大小不變，因此利用軸對稱性，可以轉(zhuǎn)化相等的線段，相等的角等關(guān)系。六、綜合運用例8、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。由勾股定理得DE=5t。OxyCBEDPMGlNAF。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），點E的坐標為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，