電磁場理論：習(xí)題3

1、第三章 習(xí) 題3-1 由（3-1）、（3-2）、（3-5）式導(dǎo)出（3-3）和（3-4）式。解：（3-1）、（3-2）、（3-5）式分別為： (3-3)式和（3-4）式為： 對式兩端求散：由矢量公式：所以 將第二項中關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和空間的散度交換順序有 由式知 所以 +即： 所以 其中 C是與時間無關(guān)的常數(shù).因為上式對任意時刻t都應(yīng)成立，我們可設(shè)在初始時刻=0，=0，則有c=0。于是， 即式如果對式兩端求散，即有：由矢量恒等式，有所以 =0交換求導(dǎo)順序，有 其中 C是與時間無關(guān)的常數(shù).因為上式對任意時刻t都應(yīng)成立，設(shè)在初始時刻。則有C=0于是有 ，即為式 3-2 已知導(dǎo)體內(nèi)的電流與電場之間的關(guān)系

2、是。其中為導(dǎo)體的電導(dǎo)率。試由（3-3）式和（3-5）式證明，在=常數(shù)的導(dǎo)體內(nèi)，不可能積累電荷，說明這個證明為什么在導(dǎo)體表面不適用。 解：導(dǎo)體內(nèi)電流和電場的關(guān)系為 （3-3）式為 （3-5）式為 將帶入（3-5）式中，有： 因為=常數(shù)，所以可提到積分號外，于是有 = 所以有：=將（3-3）式代入，有 滿足上述方程的為 為t=0時的電荷密度3-3 求下列電場的源分布 （a為常數(shù)） 解：我們知道，電荷是靜電場的通量源。由于兩個電場均不存在奇異點。故可用電場高斯定律，求得它們的源，即電荷的分布。 (C/) (C/)3-4 已知電場分布為= (V/M) 求：(1) 空間的體電荷分布 (2) (3) 系統(tǒng)

3、的總電荷量 解：這是已知場的分布，求源的分布的問題。（1） 由電場高斯定律，可求得空間的體電荷分布為 則有 (V/M) (V/M)所以 (C/) 系統(tǒng)的總電荷量 由于現(xiàn)在系統(tǒng)電荷只是分布于球面上的電荷，所以有 將代入，可得 Q=0 (C) 所以，系統(tǒng)的凈電荷量等于0。3-5 已知空間的磁場分布為 （A/M） 求：空間的電流分布。 解：由修正的安培環(huán)路定律： 有： =0當(dāng)時， 3-6已知空間磁場分布為：（A/M）求：空間的電流分布解：由修正的安培定律知：3-7 兩塊無限大的理想導(dǎo)體平板分別放在x=0和x=d，板間電場為 求：板間體電荷分布理想導(dǎo)體板內(nèi)電場為0，在兩板相對的兩個面上的電荷分布是多少

4、畫出板間電場分布示意圖（場流圖）解：系統(tǒng)示意圖如圖3-7-1所示。板內(nèi)的體電荷分布，可直接由電場高斯定律求得X d O圖3-7-1兩板間的電場分布示意圖如圖3-7-2所示。X圖3-7-23-8 上題中，若板間電場為其中，為常數(shù)， 求：系統(tǒng)的體，面電荷密度；求出與給定的相關(guān)的磁場；系統(tǒng)的體，面電流密度。解：依題意，系統(tǒng)示意圖如圖3-8所示，其中，板間電場為：系統(tǒng)的體電荷分布，可由電場高斯定律求得面電荷分布，可有電場邊界條件求得xdyz 圖3-8與的相關(guān)的磁場，可由法拉第電磁感應(yīng)定律求得：所以可求得其中于是有系統(tǒng)的體，面電流密度體電流密度可由修正的安培定律求得。面電流密度，可由磁場邊界條件求得在導(dǎo)

5、體平板內(nèi)， 在x=0處，在x=d處，3-9 已知空間的電流分布為 試用微分場定律求它產(chǎn)生的磁場分布，并用積分場定律驗證。解：由微分場定律知：此時，是恒定的，故這是靜態(tài)場問題，即所以有：依題意，可畫出如圖3-9-1所示的示意圖。由系統(tǒng)的對稱性可知，系統(tǒng)與且磁場只有分量，即：za代入中圖3-9-1于是時有：可解得因為在處無線電流，故應(yīng)有限，所以應(yīng)有A=0當(dāng)時解得由處的邊界條件可得所以磁場分布為：由積分場定律，求解磁場，可根據(jù)來求解，當(dāng)取半徑為的環(huán)路，如圖3-9-2所示，由對稱性，可知代入中，所以左邊為：由于與積分無關(guān)，故可提到積分號外，于是有右邊由：(孟春，這里的圖做得太差，還得煩勞您呀！)最后得

6、：圖3-9-2即(下接103頁)11 考慮到 ， 兩式，得 積分可得 確定c,兩積分常數(shù)，利用邊界條件 （V/m） 上接108 (rsH)=0 rsH=c(常數(shù)) H=c/rs 1/rssin(sinH)=-I/4r H=-Ictg/4rs +c1 (其中c1是積分常數(shù))當(dāng)/2時，H=0,所以c1=0 H=-Ictgi /4rs (A/M)(8) 根據(jù)（），當(dāng)rs=a或rs=b時irs·(J1-J2)+·k=-無論是在理想導(dǎo)體內(nèi)，還是在自由空間中，J=0;而面電荷密度不隨時間變化。即當(dāng)rs=b時 J1=0 J2=irsI/4r K=iK*K=irsI04r=aK=I0/4r

7、sctg|rs=a當(dāng)=/2時,K=0所以c=0K=-(I0/4rs)ctg*i|rs=a =-(I0/4a)ctg*i當(dāng)rs=a時 J1=irsI0/4r J2=0K=iK3-14 如圖所示，在.rs=a和rs=b的兩個理想導(dǎo)電球殼又電導(dǎo)率為的均勻?qū)w媒質(zhì)，其中流有J= irsI0/4r(A/)的電流。總電流分有兩條孔徑可視為0的孔中的電流線由外殼流回內(nèi)殼，內(nèi)外球殼上均有面電流K從而形成穩(wěn)定的電流回路。對該系統(tǒng)。 下接111頁1. 用積分場定律和系統(tǒng)對稱性求出系統(tǒng)的磁場分布2. 用微分場定律和系統(tǒng)對稱性求出系統(tǒng)的磁場分布 3. 用(3-20)式求出rs=a和rs=b上的面電流分布.4. 理想導(dǎo)體內(nèi)H=0請用(3-39)式求出rs=a和rs=b上的面電流分布.解:= air K a air b = 題14圖采用球坐標(biāo)系1. 利用積分場定律做一個圓弧圖如圖所示: 則根據(jù)電流分布的結(jié)構(gòu)可判定H上只有H分量,且根據(jù)對稱性, H在每一個平行XOY平面上的圓環(huán)上數(shù)值相等.（2）展開，利用對稱性，及的與上面相同的答案。 113-114頁當(dāng)討論時（在理想金屬到體中）（A/M）( 因為部分原稿丟失