高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)列第4四講遞推數(shù)列二

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)列第4四講遞推數(shù)列二第4講 遞推數(shù)列（二）一、知識(shí)點(diǎn)介紹1、定義：方程f (x ) =x 的根稱為函數(shù)f (x ) 的不動(dòng)點(diǎn).利用遞推數(shù)列f (x ) 的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系a n =f (a n -1) 所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.定理1、若f (x ) =ax b (a 0, a 1), p 是f (x ) 的不動(dòng)點(diǎn)，a n 滿足遞推關(guān)系則a n -p =a (a n -1-p ) ，即a n -p 是公比為a 的等比數(shù)列. a n =f (a n -1), (n 1) ，定理2、設(shè)f (x ) =ax b (c 0, ad -bc

2、0) ，a n 滿足遞推關(guān)系a n =f (a n -1), n 1，cx d初值條件a 1f (a 1)（1）：若f (x ) 有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p , q ，則a n -p a -p a -pc =k ?n -1 （這里k =） a -qc a n -q a n -1-q（2）：若f (x ) 只有唯一不動(dòng)點(diǎn)p ，則2c 11） = k （這里k =a d a n -p a n -1-pax 2 bx c 定理3、設(shè)函數(shù)f (x ) =(a 0, e 0) 有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)x 1, x 2, 且由ex fu n 1=f (u n ) 確定著數(shù)列u n , 那么當(dāng)且僅當(dāng)b =0, e =2

3、a 時(shí),二、例題講解例1、正項(xiàng)數(shù)列a n 滿足a n a n -2- u n 1-x 1u -x 12=(n ) u n 1-x 2u n -x 2a n -1a n -2=2a n -1，又a 0=a 1=1，求a n 。例2、設(shè)a n 滿足a 1=1, a n 1= a n 2, n N *，求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式。 a n例3、數(shù)列a n 滿足下列關(guān)系：a 1=2a , a n 1 例4、已知數(shù)列a n 中, a 1=2, a n 1 a 2 =2a -, a 0，求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式。a n a 2=n , n N *, 求數(shù)列a n 的通項(xiàng). 2a n 2例5、已知x 1=1,

4、 x n 1= 2x n 6x n 3(n N ) ，求x n 。 42例6、正整數(shù)數(shù)列中，a 1=10, a n 1=10a n ，求a n 第4講 遞推數(shù)列（二）練習(xí)1、已知a 1= 2、在數(shù)列x n 中，x 1=3, x 2=2, x n = 3、已知數(shù)列x n 滿足x n 2 a 31, a n 1=n (n N ) , 求a n 。 22a n -4x n -2x n -1(n 3, n N ) ，求x n 。 2x n -2-x n -1x -4且x 1=6, x 2=4，求x n 。 =n 1x n 2 4、已知p ，q （q 0）是實(shí)數(shù)，方程x 2-px q =0有兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列a n 滿足a 1=p ，a 2=p 2-q ，a n =pa n -1-qa n -2（n =3，4，）（I ）求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式（用，表示）；（II ）若p =1，q =1，求a n 的前n 項(xiàng)和 4 b 25、已知a 1=1, a 2=3, a n =4a n -1-a n -2(n 3) ；b 1=1, b 2=3, b n =n -1 (n 3) ；b n -2c 1=1, c n 1=2c n 3c n -2(n 3) ，求證：對(duì)一切正整數(shù)n ，有a n =b n =