計算機圖形學教學

1、第八章第八章第八章第八章第八章第八章1 1 1 1 1 1引引 言言l在計算機圖形理論、工業(yè)造型設計中，經常需要由離散的點來近在計算機圖形理論、工業(yè)造型設計中，經常需要由離散的點來近似決定曲線和曲面。理論中一般采用多項式插值的方法，用有限似決定曲線和曲面。理論中一般采用多項式插值的方法，用有限個型值點，通過各種方法生成插值多項式，并滿足一定的光滑度個型值點，通過各種方法生成插值多項式，并滿足一定的光滑度要求，這樣，就能夠通過定點的方法，自動生成曲線、曲面，并要求，這樣，就能夠通過定點的方法，自動生成曲線、曲面，并隨時改變型值點的位置從而控制曲線、曲面的形狀，直到滿意為隨時改變型值點的位置從而控

2、制曲線、曲面的形狀，直到滿意為止。這種完全通過或者比較貼近給定型值點來構造曲線和曲面的止。這種完全通過或者比較貼近給定型值點來構造曲線和曲面的方法，叫做曲線和曲面的擬和。求給定型值點之間曲線（曲面）方法，叫做曲線和曲面的擬和。求給定型值點之間曲線（曲面）上的點稱為曲線（曲面）插值。本章將簡要地介紹幾種擬和曲線上的點稱為曲線（曲面）插值。本章將簡要地介紹幾種擬和曲線和曲面的方法和各自的特征。和曲面的方法和各自的特征。 第八章第八章第八章第八章第八章第八章3 3 3 3 3 3一、樣條曲線一、樣條曲線二、貝塞爾曲線二、貝塞爾曲線樣條曲線樣條曲線第八章第八章第八章第八章第八章第八章4 4 4 4 4

3、 4l給定給定n個型值點個型值點Pi(xi,yi)，i=1,2,nl設經過這設經過這n個點的分段個點的分段3次樣條曲線方程為次樣條曲線方程為y=S(x)l因為因為S(x)在每個區(qū)間在每個區(qū)間(Pi,Pi+1)上為上為3次多項式，因此可設：次多項式，因此可設：Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3 i=1,2,.,n-1 曲線以曲線以Pi,Pi+1為端點，故有：為端點，故有： Si(xi)=yi=ai， Si(xi+1)=yi+1=ai+bihi +cihi2+dihi3 (8-2)其中：其中：hi=xi+1-xi， Si (x)=bi+2ci(x-xi)+3

4、di(x-xi)2, Si (xi)=bi樣條曲線樣條曲線l由于由于S(x)在點在點Pi+1處一階導數連續(xù)處一階導數連續(xù),故有：故有：Si (xi+1)=S i+1(xi+1) 即即: bi+2cihi+3dihi2=bi+1 (8-3)l由于由于S(x)在點在點Pi處二階導數連續(xù)處二階導數連續(xù),故有：故有：Si(xi)=2ci=6(yi+1-yi)/hi2-2(2bi+bi+1)/hi整理后整理后,得得:hibi-1+2(hi-1+hi)bi+hi-1bi+1=3hi(yi-yi-1)/hi-1+3hi-1(yi+1-yi)/hi i=2,3,.,n-1 (8-4)l如果設如果設 i=hi/

5、(hi-1+hi), ui=hi-1/(hi-1+hi)=1-xi ri=3i(yi-yi-1)/hi-1+ui(yi+1-yi)/hi 代入代入8-4，得，得:ibi-1+2bi+uibi+1=ri i=2,3,.,n-1 (8-5) 樣條曲線樣條曲線l式式(8-5)ibi-1+2bi+uibi+1=ri i=2,3,.,n-1 稱為插值稱為插值3次樣條曲線的連續(xù)方程。它反映了每一段曲線兩端切線斜率次樣條曲線的連續(xù)方程。它反映了每一段曲線兩端切線斜率的相互關系的相互關系l式式(8-5)共有共有n-2個方程，但有個方程，但有n個未知數，則需要添加已知條件個未知數，則需要添加已知條件l考慮邊界情

6、況考慮邊界情況 已知兩端的切線方向已知兩端的切線方向夾持端夾持端 已知兩端處的二階導數為零已知兩端處的二階導數為零自由端自由端l3次樣條曲線的最重要的性質是：嚴格經過給定的每一型值點，而且整次樣條曲線的最重要的性質是：嚴格經過給定的每一型值點，而且整個曲線保持二階導數連續(xù)，并符合一定的邊界條件個曲線保持二階導數連續(xù)，并符合一定的邊界條件第八章第八章第八章第八章第八章第八章6 6 6 6 6 6一、樣條曲線一、樣條曲線二、貝塞爾曲線二、貝塞爾曲線貝塞爾曲線貝塞爾曲線l貝塞爾曲線表達式如下：貝塞爾曲線表達式如下： P(t)=PiBi,n(t) (0t1)其中，其中，Bi,n(t)=n!ti(1-t

7、)n-i/i!(n-i)!l貝塞爾曲線的性質：貝塞爾曲線的性質： 曲線通過多邊形折線的起點和終點曲線通過多邊形折線的起點和終點 當當t=0時，時，P(0)=P0 當當t=1時，時，P(1)=Pn 曲線在起點和終點處的切線方向與多邊形的始邊和終邊的方向一致曲線在起點和終點處的切線方向與多邊形的始邊和終邊的方向一致當當t=0時，時，P (0)=n(P1-P0) 當當t=1時，時，P (1)=n(Pn-Pn-1) 貝塞爾曲線貝塞爾曲線l貝塞爾曲線的性質貝塞爾曲線的性質 曲線通過多邊形折線的起點和終點曲線通過多邊形折線的起點和終點t=0時，時，P(0)=P0 t=1時，時，P(1)=Pn 曲線在起點和

8、終點處的切線方向與多邊形的始邊和終邊的方向一致曲線在起點和終點處的切線方向與多邊形的始邊和終邊的方向一致 t=0時，時，P (0)=n(P1-P0) t=1時，時，P (1)=n(Pn-Pn-1) 曲線在始點處二階導數僅與相鄰的兩點位置有關曲線在始點處二階導數僅與相鄰的兩點位置有關t=0時，時，P(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0) t=1時，時，P(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2) 曲線是對稱的曲線是對稱的曲線中第曲線中第i點和第點和第n-i點的位置相同點的位置相同 Bi,n(t)= Bn-i,n(1-t) 曲線的形狀與特征多邊形各頂點有關，不依靠與坐標的選擇曲線的形狀

9、與特征多邊形各頂點有關，不依靠與坐標的選擇貝塞爾曲線貝塞爾曲線 曲線的形狀與特征多邊形各頂點有關，不依靠與坐標的選擇曲線的形狀與特征多邊形各頂點有關，不依靠與坐標的選擇 當當n=1時，時， P(t) = (1-t)P0+tP1(0t1) 一次貝塞爾曲線是連接一次貝塞爾曲線是連接P0與與P1的直線段的直線段 當當n=2時，時， P(t) = (1-t)2P0- 2(1-t)tP1+t2P2 = t2(P2-2P1+P0)+t(P1-P0)+P0 (0t1) 二次貝二次貝塞爾曲線是一根過塞爾曲線是一根過P0、P2的拋物線的拋物線 當當n=3時，時， P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2

10、P1+3t2(1-t)P2+t3P3(0t1)貝塞爾曲線貝塞爾曲線= (t3 t2 t1)(0t1)l下面分別觀察當下面分別觀察當n=1,2,3時，貝塞爾曲線的具體形式時，貝塞爾曲線的具體形式l三次貝塞爾曲線三次貝塞爾曲線 P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3(0t1) -1 3 -3 1 P0 3 -6 3 0 P1 -3 3 0 0 P2 1 0 0 0 P3貝塞爾曲線貝塞爾曲線第八章第八章第八章第八章第八章第八章9 9 9 9 9 9l兩條貝塞爾曲線連接有一定的條件，如右圖所示，兩條貝塞爾曲線連接有一定的條件，如右圖所示，p3與與Q0重合，

11、重合，且兩條曲線在連接處二階導數連續(xù)。且兩條曲線在連接處二階導數連續(xù)。第八章第八章第八章第八章第八章第八章6 6 6 6 6 6貝塞爾曲面貝塞爾曲面l貝塞爾曲面表達式如下：貝塞爾曲面表達式如下： m n P(u,v)=Pi,jBi,m(v)Bj,n(u) 0u,v1 i=0 j=0l貝塞爾曲面中應用最廣泛的是雙貝塞爾曲面中應用最廣泛的是雙3次貝塞爾曲面，它由給出的次貝塞爾曲面，它由給出的4*4個網格點唯一決定，個網格點唯一決定，P(u,v)=(u3 u2 u 1) 兩個貝塞爾曲面塊的連接交于一條公共邊，為了保證在這條邊上兩個貝塞爾曲面塊的連接交于一條公共邊，為了保證在這條邊上的光滑性，必須滿足下面條件：的光滑性，必須滿足下面條件：(1)定義公共邊的四點相等定義公共邊的四點相等(2)公公共邊上四點與其在二塊曲面上相鄰的兩個點共線共邊上四點與