環(huán)境流體力學第二章分子擴散

1、第二章第二章 分子擴散分子擴散靜止的水體中存在分子的不規(guī)則運動，從而使在水中的微靜止的水體中存在分子的不規(guī)則運動，從而使在水中的微粒也作不規(guī)則的運動，這個現(xiàn)象早已在粒也作不規(guī)則的運動，這個現(xiàn)象早已在18261826年為布朗的著年為布朗的著名實驗證實。名實驗證實。分子運動稱為布朗運動分子運動稱為布朗運動除了在靜水中，分子擴散是使污染物質發(fā)生擴散的唯一除了在靜水中，分子擴散是使污染物質發(fā)生擴散的唯一原因外，它還存在于一切流動的水體中。原因外，它還存在于一切流動的水體中。第一節(jié)第一節(jié) 費克定律費克定律一、費克定律一、費克定律費克（費克（FickFick）擴散（分子擴散）：）擴散（分子擴散）： 由于水

2、的分子運動而使水中的污染物質發(fā)生擴散由于水的分子運動而使水中的污染物質發(fā)生擴散第三節(jié)第三節(jié) 費克定律費克定律費克定律：費克定律： 1855年德國生理學家費克（年德國生理學家費克（Fick）提出）提出靜水中的污染物由于分子擴散作用，在單位時間內按一定方向通過單位面靜水中的污染物由于分子擴散作用，在單位時間內按一定方向通過單位面積的擴散輸送的物質與該方向的濃度梯度成正比。各向同性的介質。積的擴散輸送的物質與該方向的濃度梯度成正比。各向同性的介質。cQx式中：式中：Q是單位時間通過單位面積的擴散物質，也稱為通量；是單位時間通過單位面積的擴散物質，也稱為通量；C是擴散物質的濃度。是擴散物質的濃度。 :

3、x方向的濃度梯度。方向的濃度梯度。 D是比例系數(shù)，稱為分子擴散系數(shù)，量綱為是比例系數(shù)，稱為分子擴散系數(shù)，量綱為L2T-1 一般約為一般約為10-610-5cm2s-1 。x用等號用等號一維費克擴散示意圖一維費克擴散示意圖對一維擴散，費克定律可表示為：對一維擴散，費克定律可表示為：費克定律第一定律費克定律第一定律cQDx 第三節(jié)第三節(jié) 費克定律費克定律cx公式中的負號公式中的負號三維的費克定律三維的費克定律: : 哈密頓算子哈密頓算子說明：只要存在濃度梯度，必然產生物質的擴散說明：只要存在濃度梯度，必然產生物質的擴散費克定律第二定律費克定律第二定律QD c ijkxyz 一滴紅墨水在玻璃杯中的擴

4、散一滴紅墨水在玻璃杯中的擴散分子的擴散系數(shù)分子的擴散系數(shù)D與介質與物質本身的特性有關，又與溫與介質與物質本身的特性有關，又與溫度和壓力有關。度和壓力有關。第三節(jié)第三節(jié) 費克定律費克定律cQDx 某些物質在水中的分子擴散系數(shù)（某些物質在水中的分子擴散系數(shù)（ cm2s-1，水溫為，水溫為20）D值由實驗確定，值由實驗確定，D值大，擴散快；反之，擴散慢。值大，擴散快；反之，擴散慢。第三節(jié)第三節(jié) 費克定律費克定律單位時間進入單位時間進入x面的擴散質通量為：面的擴散質通量為：Q(x,t)從從(x+x)面出去的通量為面出去的通量為: : 設設c(x,t)是時刻是時刻t位于位于x處上擴處上擴散質（溶質）的濃

5、度。在該控散質（溶質）的濃度。在該控制體積內擴散質對時間的制體積內擴散質對時間的變化率為：變化率為：第二節(jié)、分子擴散方程的推導第二節(jié)、分子擴散方程的推導( (單純擴散）單純擴散）( , )c x tx tt t( , )c x txt一維為例一維為例 第四節(jié)第四節(jié) 分子擴散方程分子擴散方程一維輸移的控制體：兩個具有單位一維輸移的控制體：兩個具有單位面積的平行面與面積的平行面與x軸垂直軸垂直變化量：變化量：( , )( , )Q x tQ x txx22ccDtx0Qcxt 根據(jù)質量守恒定律有：單位時間流入的污染物質量根據(jù)質量守恒定律有：單位時間流入的污染物質量- -流出流出的污染物質的污染物質

6、= =污染物質量對時間的變化率相等，即污染物質量對時間的變化率相等，即: :Fick定律：定律：( , )( , )( , ) ( , )Q x tc x tQ x tQ x txxxt如將如將Q(x,t)作為熱通量（即熱流密度），作為熱通量（即熱流密度），c(x,t)作為熱濃度（即溫度），以作為熱濃度（即溫度），以熱擴散系數(shù)熱擴散系數(shù)a a（或導溫系數(shù)）代替分子擴散系數(shù)（或導溫系數(shù)）代替分子擴散系數(shù)D,變?yōu)闊醾鲗Ц道锶~方程。變?yōu)闊醾鲗Ц道锶~方程。分子擴散與熱傳導是數(shù)學形式相同的兩個過程。分子擴散與熱傳導是數(shù)學形式相同的兩個過程。二階線性拋物二階線性拋物型偏微分方程型偏微分方程cQDx 第四節(jié)

7、第四節(jié) 分子擴散方程分子擴散方程cQt 2cDct推廣到三維：推廣到三維： 故有故有用直角坐標表示用直角坐標表示222222()ccccDtxyz時變項時變項分子擴散項分子擴散項擴散方程本質上是質量守恒定律在擴散問題上的體現(xiàn)擴散方程本質上是質量守恒定律在擴散問題上的體現(xiàn)QD c 第四節(jié)第四節(jié) 分子擴散方程分子擴散方程Fick定律：定律：222222()ccccDtxyz在擴散特性各向同性的液體中，在在擴散特性各向同性的液體中，在x、y、z三個方向上，三個方向上，D為常數(shù)。為常數(shù)。在擴散特性各向異性的液體中在擴散特性各向異性的液體中222222xyzccccDDDtxyz第三節(jié)第三節(jié) 一維擴散方

8、程的基本解一維擴散方程的基本解 & 擴散方程的定解條件（初始條件、邊界條件）。擴散方程的定解條件（初始條件、邊界條件）。& 解的形式：解析解、數(shù)值解。解的形式：解析解、數(shù)值解。& 污染源（按空間）：點源、線源、面源、有限分布源、不存在污染源（按空間）：點源、線源、面源、有限分布源、不存在絕對的點源、無限長線源、無限大面源，只是一種近似處理。絕對的點源、無限長線源、無限大面源，只是一種近似處理。& 污染源（按時間）：污染源（按時間）：瞬時源瞬時源、時間連續(xù)源（、時間連續(xù)源（事故排放事故排放、正常排、正常排放）。放）。& 瞬時源是指污染物在瞬時內排放入水域，

9、實際上一種近似，如瞬時源是指污染物在瞬時內排放入水域，實際上一種近似，如熱核武器試驗的核污染或者油輪事故突然泄漏的油污染。熱核武器試驗的核污染或者油輪事故突然泄漏的油污染。& 連續(xù)源又分為恒定和非恒定源。連續(xù)源又分為恒定和非恒定源。& 污染物擴散：根據(jù)水域是幾維，對應一維、二維、三維擴散方污染物擴散：根據(jù)水域是幾維，對應一維、二維、三維擴散方程。程。第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 第三節(jié)第三節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 集中投入的情況，在集中投入的情況，在t=0時刻，在原點瞬時投入質

10、量為時刻，在原點瞬時投入質量為M M的的擴散質，分析以后任意時刻在無界空間中的濃度分布，這擴散質，分析以后任意時刻在無界空間中的濃度分布，這是擴散方程的最基本的解。是擴散方程的最基本的解。 是在靜止水域中的擴散，而且是瞬時集中源與坐標原點重是在靜止水域中的擴散，而且是瞬時集中源與坐標原點重合的一維擴散方程的特解。因為擴散方程是線性的，在線合的一維擴散方程的特解。因為擴散方程是線性的，在線性的邊界條件下，可用這個特解式疊加來構造其他定解條性的邊界條件下，可用這個特解式疊加來構造其他定解條件下的解。件下的解。0 x-x第三節(jié)第三節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方

11、程的基本解一維擴散方程的基本解 瞬時瞬時單位單位平面源的擴散平面源的擴散 瞬時源：瞬時源：t=0t=0時，在原點瞬時集中投放質量為時，在原點瞬時集中投放質量為M M的擴散質。的擴散質。 1 1、一根無限長斷面均勻的直水管，截面積是一個、一根無限長斷面均勻的直水管，截面積是一個單位單位 2 2、垂直管軸，瞬時投入一包含質量、垂直管軸，瞬時投入一包含質量M M的薄片紅色染液的薄片紅色染液 3 3、染液薄片充滿了整個斷面、染液薄片充滿了整個斷面 4 4、染料只沿長度方向擴散、染料只沿長度方向擴散令染液投入點為坐標原點令染液投入點為坐標原點0 x-x瞬時點源或稱瞬時點源或稱瞬時瞬時無限無限平面源平面源

12、在無界空間的定解條件下的在無界空間的定解條件下的解析解。定解條件在數(shù)學上表達為：解析解。定解條件在數(shù)學上表達為：c(x,0)=M (x) 狄拉克（狄拉克（Dirac） 函數(shù)函數(shù) 當當t=0時，在通過時，在通過x=0處且與處且與x軸垂直的平面上，污染物質量軸垂直的平面上，污染物質量為為M,它位于它位于x=0處以無限大的濃度強度濃縮在無限小的空間處以無限大的濃度強度濃縮在無限小的空間（2）邊界條件：邊界條件： c(,t)=0, c(,t)/ x=022xcDtc （1）初始條件：初始條件：一維分子擴散方程：一維分子擴散方程：1.1.定解條件定解條件0( )00 xxx第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基

13、本解一維擴散方程的基本解 M ( (x) )表示質量表示質量M集中于微小容積集中于微小容積內。相對概念。例如把一小桶顏內。相對概念。例如把一小桶顏色水傾注到大河里，可以認為起色水傾注到大河里，可以認為起始濃度集中于微小體積內。始濃度集中于微小體積內。物理含義：物理含義：2.解析方法：如拉普拉斯變換、分離變量法和量綱分析法解析方法：如拉普拉斯變換、分離變量法和量綱分析法量綱分析量綱分析，物理方程中各項物理量的量綱之間存在的規(guī)律：，物理方程中各項物理量的量綱之間存在的規(guī)律：l量綱和諧性，物理方程中各項的量綱應當相同；量綱和諧性，物理方程中各項的量綱應當相同；l任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項

14、組成的方程而任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項組成的方程而不會改變物理過程的規(guī)律性；不會改變物理過程的規(guī)律性；l物理方程中各物理量之間的規(guī)律性以及相應各量綱之間的物理方程中各物理量之間的規(guī)律性以及相應各量綱之間的規(guī)律性，不會因所選的基本量綱不同而發(fā)生改變。規(guī)律性，不會因所選的基本量綱不同而發(fā)生改變。定律（布金漢定律）：任何一個物理過程，包含有定律（布金漢定律）：任何一個物理過程，包含有k+1個有個有量綱的物理量，如果選擇其中量綱的物理量，如果選擇其中m個作為基本物理量，那么該個作為基本物理量，那么該物理過程可以由物理過程可以由(k+1)-m個無量綱數(shù)所組成的關系來描述。個無量綱數(shù)所組成的關

15、系來描述。第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 式中式中: :f為待定函數(shù)，在上式中寫上為待定函數(shù)，在上式中寫上4和和4，目的是使最終，目的是使最終的解較為簡明的解較為簡明; ;M是全部污染物的質量，量綱是是全部污染物的質量，量綱是MM假設有函數(shù)：假設有函數(shù)： F(c,M,D,x,t)=0 方程線性方程線性 利用利用定律，選定律，選c、D、t為基本變量，可得：為基本變量，可得：從物理概念上分析，濃度從物理概念上分析，濃度c是是M、D、x、t的函數(shù)的函數(shù)(,)0MxFc DtDt( , )()44Mxc x tfDtDt第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 (

16、 , )= ()44c x txfMDtDt一維一維 擴散中，濃度的量綱擴散中，濃度的量綱 ML-1,濃度濃度c應與應與M除以某一特征長度成除以某一特征長度成正比。正比。 是一個合適的特征長度是一個合適的特征長度Dt 進一步令進一步令 ，有，有: : 。邊界條件由原來的邊界條件由原來的c(,t)=0, c(,t)/ x=0f()=0()=0，df()/()/dh0h0以以f的邊界條件代入上式得的邊界條件代入上式得k1 1=0=0，故上式變?yōu)?，故上式變?yōu)? :第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 設變量設變量22ccDtx4xDth22220d fdffddhhh( , )(

17、)4Mc x tfDth則有( )2dffd hhh0ddh進一步令進一步令 ，有，有: :( )2dffd hhh0ddh即即= =常數(shù)常數(shù)k1, ,因此有：因此有：12dffkdhh20dffdhh02fk eh它的通解為：它的通解為：20dffdhh02fk eh確定待定函數(shù)確定待定函數(shù)f20ddffddhhh（）12 2lnlnlndfdffAhhh 222222221- ( )241=-44-=2 +2+=0d(+2)=0dcMfftDtcMfDxtDtccdfd fDftxdddffdhhhhhhhhhh2-00-0=exp(-) ()=44=1uMeduxxMMkdkDtDtk可

18、得積分常數(shù)為2( , )exp()44Mxc x tDtDt為任何時刻源點濃度（坐標為任何時刻源點濃度（坐標原點與源點重合的情況下）原點與源點重合的情況下）根據(jù)污染物質的質量守恒定律，有根據(jù)污染物質的質量守恒定律，有對上式分別通過求對上式分別通過求t0、 x0和和t0（x0）的極限，可）的極限，可得到得到c =和和c =0，這說明了該解也是滿足初始條件的。，這說明了該解也是滿足初始條件的。此外，上式雖然是對此外，上式雖然是對x0的定解條件求解，但也可用于的定解條件求解，但也可用于x0情形。情形。 , ,推出推出k0=1第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 cdxM瞬時點源一維

19、無界空間的濃度分布瞬時點源一維無界空間的濃度分布瞬時點源一維無界空間的濃度瞬時點源一維無界空間的濃度場在任一時刻場在任一時刻t沿沿x軸是正態(tài)分布，軸是正態(tài)分布，隨時間隨時間t的增加，濃度的峰值的增加，濃度的峰值Cm變小，而擴散的范圍變寬，分變小，而擴散的范圍變寬，分布曲線趨于平坦。布曲線趨于平坦。第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的基本解一維擴散方程的基本解 2( , )exp()44Mxc x tDtDt22( , )1exp()222( 2)c x txMDtDt濃度分布符合正態(tài)分布（即高斯分布）濃度分布符合正態(tài)分布（即高斯分布）污染源點和坐標原點重合的情況污染源點和坐標原點重合的情況1、 濃度對

20、距離的各階矩定義濃度對距離的各階矩定義 零階矩零階矩 0( , )iiiMc x t dxcx一階矩一階矩 1( , )iiiiMxc x t dxx cx二階矩二階矩222( , )iiiMx c x t dxx cx對原點的任意對原點的任意p階矩階矩 ( , )pppiiiiMx c x t dxx cx對瞬時點源來說，零階矩對瞬時點源來說，零階矩 M0 0= =全部擴散質的質量，對任全部擴散質的質量，對任意時刻意時刻M0 0是一常數(shù)，但一般情況下，矩都是時間的函數(shù)。是一常數(shù)，但一般情況下，矩都是時間的函數(shù)。 各式的右端可供各式的右端可供當具有實驗資料當具有實驗資料時，計算濃度各時，計算濃

21、度各階矩之用。階矩之用。第四節(jié)第四節(jié) 濃度分布的各階矩濃度分布的各階矩第六節(jié)第六節(jié) 濃度分布的各階矩濃度分布的各階矩2、 濃度分布的統(tǒng)計特征值濃度分布的統(tǒng)計特征值（1）濃度分布的距離均值（數(shù)學期望）濃度分布的距離均值（數(shù)學期望）表示濃度分布曲線重心距表示濃度分布曲線重心距x坐標原點的水平距離坐標原點的水平距離，當曲線對稱于，當曲線對稱于c軸時軸時 x=0=0。 10iiiixiiix cxMMcx（2）濃度分布的距離方差濃度分布的距離方差 2 2 22222210000()( , )(2) ( , )2xxxxxxxc x t dxxxc x t dxMMMMMM222220()iiiiiii

22、ixxiiiiiix cxx cxMMcxcx表示濃度分布對于平均濃度值的離散程度，表示濃度分布對于平均濃度值的離散程度， 2 2值愈大，值愈大，分布曲線愈平坦。分布曲線愈平坦。 第六節(jié)第六節(jié) 濃度分布的各階矩濃度分布的各階矩質量中心坐標質量中心坐標 x對于正態(tài)分布曲線（標準）有：對于正態(tài)分布曲線（標準）有：22100,0,xxMMM將瞬時點源的解代入將瞬時點源的解代入M2 2，得距離方差：，得距離方差：22222011( , )exp()244xMxx c x t dxxdxDtMMDtDt當已求得當已求得 ，可用上式反求，可用上式反求D。由于。由于D是常數(shù)，將上式對是常數(shù)，將上式對t t求

23、導，有：求導，有：2x dtdDx221 稱為矩法公式，可以稱為矩法公式，可以差分差分代替微分。代替微分。對任何其它分布，只要在無界空間情況下滿足邊界條件：對任何其它分布，只要在無界空間情況下滿足邊界條件： 0 xccx和和時時，0),(0),(2 txxtxc和和或或dtdDx221 仍存在仍存在上式表明上式表明 方差與擴散歷時方差與擴散歷時t t成正比。凡符合這個規(guī)律的成正比。凡符合這個規(guī)律的擴散，都稱為擴散，都稱為費克型擴散費克型擴散。 2x 第六節(jié)第六節(jié) 濃度分布的各階矩濃度分布的各階矩曲線的分布區(qū)間曲線的分布區(qū)間-2 ,2 -2 ,2 占總面積的占總面積的95%源與坐標原點不重合源與

24、坐標原點不重合源與坐標原點重合源與坐標原點重合2 2 , , 2 2 證明此結論證明此結論（3）三階中心矩三階中心矩表示曲線偏斜度：表示曲線偏斜度：a a =0 左右對稱左右對稱; 正態(tài)分布正態(tài)分布 a a 0左右不對稱，長尾伸向正軸方向；左右不對稱，長尾伸向正軸方向； a a0，長尾伸向負軸方向。，長尾伸向負軸方向。 330MMaa a=0=0a a00a a0 0圖圖 a a對濃度分布圖形的影響對濃度分布圖形的影響第六節(jié)第六節(jié) 濃度分布的各階矩濃度分布的各階矩偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)系數(shù)（4）四階中心矩四階中心矩440MMa表示曲線峰態(tài)或平坦度的一個指標，值愈大表示表示曲線峰態(tài)或平坦度的一個指標，值愈

25、大表示峰型愈大。峰型愈大。 第六節(jié)第六節(jié) 濃度分布的各階矩濃度分布的各階矩2 2、對靜止和動水環(huán)境中射流的一些基本原理、基本、對靜止和動水環(huán)境中射流的一些基本原理、基本規(guī)律的研究現(xiàn)狀。規(guī)律的研究現(xiàn)狀。源與坐標原點重合時，濃度源與坐標原點重合時，濃度曲線的分布區(qū)間曲線的分布區(qū)間-2-2 ,2,2 范圍內，分布曲線與范圍內，分布曲線與x x軸所圍面積軸所圍面積占總面積的占總面積的95%。1、證明此結論、證明此結論作業(yè)作業(yè)第五節(jié)第五節(jié) 一維擴散方程的若干定解條件下的解一維擴散方程的若干定解條件下的解設只當設只當t =0時在時在x= =處投放污染物質（瞬時點源）處投放污染物質（瞬時點源）初始條件：初始

26、條件：c(x,0)=M(x-) )邊界條件邊界條件：c(,t)=0 第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解2( , )exp44Mxc x tDtDt（）有解：如果示綜物質如果示綜物質M不是集中到一處，而是非均勻地分布在一不是集中到一處，而是非均勻地分布在一定范圍上同時瞬時投放，這就是瞬時投放源，這種情況可定范圍上同時瞬時投放，這就是瞬時投放源，這種情況可考慮為若干個瞬時集中源的迭加，按迭加原理求解。考慮為若干個瞬時集中源的迭加，按迭加原理求解?，F(xiàn)將初始條件改為：現(xiàn)將初始條件改為： c(x,0)=f(x), -x 其中其中f(x)為任意給定的函數(shù)，亦即該

27、初始分布是沿無限為任意給定的函數(shù)，亦即該初始分布是沿無限長直線上給定的濃度為長直線上給定的濃度為f()，d微小長度上投放示蹤質的質微小長度上投放示蹤質的質量為量為M=f()d。位于位于處由該微小污染單元的擴散處由該微小污染單元的擴散而導致在時刻而導致在時刻t位于位于x的濃度應為的濃度應為:用一系列質量為用一系列質量為f()d的的團塊來求濃度分布團塊來求濃度分布第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解2( )()exp44fdxdcDtDt2-( )()( , )exp44fxc x tdDtDt下面討論下面討論f()為常數(shù)的兩種特殊情況：為常數(shù)的兩種特殊情

28、況：單側階梯濃度函數(shù)的濃度分布單側階梯濃度函數(shù)的濃度分布1.當當f(x)為階梯函數(shù)：為階梯函數(shù)： 該問題的物理模型可認該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等為是在一條無限長的等截面管（渠）的靜水中，截面管（渠）的靜水中，左端（左端（x0）為清水，現(xiàn)閘）為清水，現(xiàn)閘門突然打開，左邊的污門突然打開，左邊的污染物質向右邊擴散。解染物質向右邊擴散。解的形式為：的形式為：第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解000( )( ,0)0 xf xc xcx當當20 x()( , )exp44cxc x tdDtDtt=0時時 取變換取變換式中：式中：erf(z)為為

29、z的的誤差函數(shù)，誤差函數(shù)，erfc(z)為為z的的余誤差函數(shù)，即余誤差函數(shù)，即第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解,4,4xuDtduDtd =-有202( )exp()( )1( )zerf zu duerfc zerf z 22004040( , )exp()exp()2()224xDtxDtccc x tu duu ducxerfDt00( , )1()()2244cxcxc x terferfcDtDt即：誤差函數(shù)的值可查誤差函誤差函數(shù)的值可查誤差函數(shù)數(shù)值表或計算軟件得到數(shù)數(shù)值表或計算軟件得到誤差函數(shù)的定義誤差函數(shù)的定義: : 從而有：從而有：

30、余誤差函數(shù)的定義余誤差函數(shù)的定義: :第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解202( )exp()zerf zudu2()( )2( )exp()( )1,(0)0erfxerf xderf xxdxerferf ( )1( )erfc zerf z 000誤差函數(shù)的計算是把被積函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù)，然后逐項積分誤差函數(shù)的計算是把被積函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù)，然后逐項積分第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解 取變換取變換=x-,有有該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等截面渠該問題的物理模型可認為是在一條無限長

31、的等截面渠（管）的靜水中，突然發(fā)生事故，在渠中出現(xiàn)一段污染（管）的靜水中，突然發(fā)生事故，在渠中出現(xiàn)一段污染源而向兩端擴散的情形。解的形式為：源而向兩端擴散的情形。解的形式為：2.當當f(x)為階梯函數(shù)：為階梯函數(shù)： x=0 x=x1x=-x1初始濃度分布圖初始濃度分布圖第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解1010( )( ,0)xxf xc xcxx當當1120()( , )exp44xxcxc x tdDtDt1120( , )exp44x xx xcc x tdDtDthh再取變換再取變換 , ,有有4uDtht=0時時1111()/ 420()/

32、 4()/ 4()/ 422000011011( , )exp()exp()exp()()()244()()244x xDtx xDtx xDtx xDtcc x tu ducu duu ducxxxxerferfDDcxxxxerferfDD雙側階梯濃度函數(shù)的濃度分布雙側階梯濃度函數(shù)的濃度分布第七節(jié)第七節(jié) 一維擴散方程空間瞬時線源的解析一維擴散方程空間瞬時線源的解析解解隨著隨著 增大，濃度增大，濃度分布曲線愈平坦化。分布曲線愈平坦化。1/Dt x第六節(jié)第六節(jié) 一維擴散方程的時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程的時間連續(xù)源的解析解 一、時間連續(xù)點源一、時間連續(xù)點源 在流場的某一點上，連續(xù)不斷地投入濃

33、度為在流場的某一點上，連續(xù)不斷地投入濃度為c c0 0（常數(shù)）（常數(shù)）的污染物質，即時間連續(xù)恒定點源。的污染物質，即時間連續(xù)恒定點源。 如果一維擴散區(qū)域無限長，則可將投放點位置取為坐標原如果一維擴散區(qū)域無限長，則可將投放點位置取為坐標原點，初始條件點，初始條件c(0,t)=c0 在在x=0處濃度突然從零增加到處濃度突然從零增加到c0，以后保，以后保持不變，持不變， 無限邊界條件無限邊界條件c(,0)=0 初瞬時初瞬時t=0，沿，沿x軸各處的濃度均為零軸各處的濃度均為零 本問題的解也是一個有用的基本解，可以用來構造其他某本問題的解也是一個有用的基本解，可以用來構造其他某些問題的解。些問題的解。第

34、八節(jié)第八節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解1、點源處給定投放濃度、點源處給定投放濃度第八節(jié)第八節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解邊界條件為邊界條件為f(0)=1,f()=0,顯然有顯然有c(-x,t)=c(x,t),解對稱于原點，解對稱于原點，只需沿只需沿x正向求解。正向求解。借助借助量綱分析法量綱分析法來求解濃度分布來求解濃度分布c(c(x, ,t) ) 顯然，顯然，c c與與c c0 0, ,D, ,x和和t有關，利用有關，利用定理定理, ,選選 c、D和和t為基本變量，可得如下關為基本變量，可得如下關系式：系式： 0()xcc

35、fDt22221cd cxtD dh2cdcdctdtt dhhhh 式中：式中：f是某一待確定的函數(shù)。令是某一待確定的函數(shù)。令 , ,有有二階變系數(shù)齊次常微分方程二階變系數(shù)齊次常微分方程/xDth22102dfdfddhhh代入擴散方程代入擴散方程等強度連續(xù)點源的濃度分布等強度連續(xù)點源的濃度分布00( , )1()4(),04xc x tcerfDtxc erfcxDt1 1、點源處給定投放濃度問題的解、點源處給定投放濃度問題的解 在任一時刻在任一時刻t總的濃度是總的濃度是t以前全以前全部時段內濃度分布的總和，由上部時段內濃度分布的總和，由上式通過積分可得的解：式通過積分可得的解：用于求解濃

36、度用于求解濃度c0(t)的迭加法的迭加法第八節(jié)第八節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解0()()4 ()cxcerfctD t00( , )()4()tcxc x terfcdD t更一般的情形是更一般的情形是c0不是常數(shù)，不是常數(shù)，即不是時間連續(xù)恒定點源。而即不是時間連續(xù)恒定點源。而是是c0隨時間隨時間 而變，即而變，即c0= c0() )。則可以看作無數(shù)不同強度的。則可以看作無數(shù)不同強度的瞬時源產生的擴散在時間上擴散的結果。瞬時源產生的擴散在時間上擴散的結果。當時間增加當時間增加，位于，位于x=0處的濃度增量為處的濃度增量為 ，由于濃度，由于濃度增量的關系，相應

37、的擴散結果可借助上式表示為增量的關系，相應的擴散結果可借助上式表示為:0c由于是時間連續(xù)點源，故可得由于是時間連續(xù)點源，故可得如果如果 為常數(shù)，上式變?yōu)闉槌?shù)，上式變?yōu)?( )M第八節(jié)第八節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解2( )exp4()4()MxcD tD t 20( )( , )exp4 ()4()tMxc x tdD tD t 201( , )exp4()4tMxc x tdD tDt以下討論在以下討論在x=0處，給定單位時間投入的污染物質量的速度處，給定單位時間投入的污染物質量的速度 (簡稱質量投放率簡稱質量投放率) ，即在，即在時間投放質量為時間投放

38、質量為 。此。此時，根據(jù)瞬時點源的解式可得在瞬時時，根據(jù)瞬時點源的解式可得在瞬時 投放質量投放質量 的濃的濃度場：度場：( )M( )M ( )M2、點源處給定投放質量、點源處給定投放質量第六節(jié)第六節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解時間連續(xù)點源的濃度分布時間連續(xù)點源的濃度分布污染的范圍和污染的范圍和濃度均隨時間濃度均隨時間的增加而增大的增加而增大 第八節(jié)第八節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解24 ()/,uD tx設有24/011( , )exp4Dt xMxc x tduuDu通過數(shù)值積通過數(shù)值積分進行計算分進行計算二、時間連續(xù)線源

39、二、時間連續(xù)線源第八節(jié)第八節(jié) 一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解全部分布連續(xù)源一維擴散產生的濃度應將上式幾分二次成為全部分布連續(xù)源一維擴散產生的濃度應將上式幾分二次成為20( , )()( , )exp4()4()tbafxc x td dD tD t 如果連續(xù)源不集中在原點，而是分布在沿如果連續(xù)源不集中在原點，而是分布在沿x軸一定范圍如軸一定范圍如a x1 b之上，則加入的擴散質最一般的情況是時間和空之上，則加入的擴散質最一般的情況是時間和空間的函數(shù)，設間的函數(shù)，設f(x,t)為在單位時間內單位體積上投放的污為在單位時間內單位體積上投放的污染物質質量，在染物質質量，

40、在x= 處處d d 上，于時刻上，于時刻 在在d d 時間內加入擴時間內加入擴散質的量為散質的量為 M= f( , )d d d ，一維擴散經時間，一維擴散經時間(t- )在在x處處得濃度為：得濃度為：2( , )()exp4()4()fxcd dD tD t 第七節(jié)第七節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法 以上討論的全是無限空間的擴散，實際河渠或水庫湖泊以上討論的全是無限空間的擴散，實際河渠或水庫湖泊都有岸和底存在，污染物質在河渠、水庫中擴散至邊界時，都有岸和底存在，污染物質在河渠、水庫中擴散至邊界時，有兩種可能，一種是擴散物質到達邊界后被邊界吸收或粘結有兩種可能，一種是擴散物質

41、到達邊界后被邊界吸收或粘結在邊界上，稱為在邊界上，稱為完全吸收完全吸收；另外一種情況是遇到邊界就反射；另外一種情況是遇到邊界就反射回去，稱為回去，稱為完全反射完全反射。介于兩種狀態(tài)之間的為不完全吸收和。介于兩種狀態(tài)之間的為不完全吸收和不完全反射，這在不完全反射，這在實際中居多。實際中居多。顯然，吸收和反射與污染物顯然，吸收和反射與污染物性質和邊界的性質有關。當然，最不利的情況是發(fā)生完全反性質和邊界的性質有關。當然，最不利的情況是發(fā)生完全反射。如果天然河岸是土壤，就不能看做是最不利的情況。射。如果天然河岸是土壤，就不能看做是最不利的情況。 下面僅研究完全反射的情況。下面僅研究完全反射的情況。第九

42、節(jié)第九節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法 討論最簡單的情況：當討論最簡單的情況：當t=0時，在時，在x=0處與處與x軸垂直的單軸垂直的單位面積上，投放的污染物質量為位面積上，投放的污染物質量為M。在正方向的邊界為無窮。在正方向的邊界為無窮遠，但在遠，但在x=-L處有一阻止物質擴散的壁存在，并設該壁不處有一阻止物質擴散的壁存在，并設該壁不吸收擴散物質（完全反射），則任意時刻通過該岸壁的示吸收擴散物質（完全反射），則任意時刻通過該岸壁的示蹤量的凈通量為零。蹤量的凈通量為零。 第七節(jié)第七節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法 ( , )0 xLc x tx 對擴散被各種邊界所

43、限制的問題，通常運用疊加原理來對擴散被各種邊界所限制的問題，通常運用疊加原理來解決。因為擴散方程是線性的，如果邊界條件也是線性的，解決。因為擴散方程是線性的，如果邊界條件也是線性的，則可以疊加任意數(shù)量的單獨解，從而構成新的解。則可以疊加任意數(shù)量的單獨解，從而構成新的解。 假設邊界為完全反射壁，即不吸收擴散物質。假設邊界為完全反射壁，即不吸收擴散物質。 一、一邊反射的瞬時點源情形一、一邊反射的瞬時點源情形邊界條件：壁面上的濃度梯度必須是零，由費克定律得到邊界條件：壁面上的濃度梯度必須是零，由費克定律得到: : 初始條件：初始條件：( ,0)( )c xMx第九節(jié)第九節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界

44、一維擴散和疊加方法第九節(jié)第九節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法一邊側壁的像源法一邊側壁的像源法像源法：像源法： 設想有一平面鏡位于固體邊界處，在平面鏡后面有一反射設想有一平面鏡位于固體邊界處，在平面鏡后面有一反射源（又稱像源），反射源到真源的距離源（又稱像源），反射源到真源的距離x=-2L，像源的強度與，像源的強度與真源的強度相同，標準差也相同，因而像源在邊界上的通量與真源的強度相同，標準差也相同，因而像源在邊界上的通量與真源在邊界上的通量大小相等，方向相反，故形成邊界上擴散真源在邊界上的通量大小相等，方向相反，故形成邊界上擴散物質的通量為零。物質的通量為零。第九節(jié)第九節(jié) 有界一

45、維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法一邊側壁的像源法一邊側壁的像源法22( +2 )( , )exp()exp444MxxLc x tDtDtDt 真源與像源相距為真源與像源相距為2L，在，在x軸上任意點的濃度軸上任意點的濃度應該為由像源和真實源各自產生的濃度之和，即應該為由像源和真實源各自產生的濃度之和，即第九節(jié)第九節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法一邊側壁的像源法一邊側壁的像源法 對于完全反射的邊界，對于完全反射的邊界，在反射壁邊界處的濃度等于在反射壁邊界處的濃度等于不存在該壁時的兩倍。不存在該壁時的兩倍。222(+2 )( , )exp()exp4442 exp()44M

46、LLLc L tDtDtDtMLDtDt當當x=-L時（即固體邊界上），其濃度為時（即固體邊界上），其濃度為二、兩邊反射的瞬時點源情形二、兩邊反射的瞬時點源情形 24682468xLLLLLAxLLLLL 對 邊 壁有 像 源真 源對 邊 壁有 像 源在在x=-L和和x=L均有完全反射壁：均有完全反射壁：無窮多像源各自的濃度分布疊加便得到問題的解：無窮多像源各自的濃度分布疊加便得到問題的解： 兩面?zhèn)缺诘南裨捶▋擅鎮(zhèn)缺诘南裨捶?(2)( , )exp44nMxnLc x tDtDt第九節(jié)第九節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法在在x=-2L的像源的擴散又會在的像源的擴散又會在x=L處

47、產生一個正的濃度梯度，需要處產生一個正的濃度梯度，需要在在x=4L處放一個像源。處放一個像源。 在岸壁處，即在在岸壁處，即在x= L處要求濃度為零，在處要求濃度為零，在x= 2L處必須放置強度為負值的瞬時源，在處必須放置強度為負值的瞬時源，在x= 4L處放置強度為正值的瞬時源，如此類推。完整解為處放置強度為正值的瞬時源，如此類推。完整解為22(4)(42) )( , )expexp444nMxnLxnLc x tDtDtDt第九節(jié)第九節(jié) 有界一維擴散和疊加方法有界一維擴散和疊加方法另一種邊界條件另一種邊界條件在實際問題中，因河流較寬，在實際問題中，因河流較寬，L比較大，一般只考慮一、比較大，一

48、般只考慮一、兩次反射就可以滿足實際需要，如兩次反射就可以滿足實際需要，如n=0, 1， 2。第八節(jié)第八節(jié) 二維和三維擴散方程的解析解二維和三維擴散方程的解析解 一、瞬時點源一、瞬時點源二維擴散方程為：二維擴散方程為： 上式中的上式中的Dx和和Dy分別為分別為x和和y方向的擴散系數(shù)，雖然在方向的擴散系數(shù)，雖然在分子擴散中，分子擴散中，Dx =Dy=D，但因為我們將來可以借用該方程，但因為我們將來可以借用該方程的解來解決某具有非各向同性性質的紊流擴散問題，所以的解來解決某具有非各向同性性質的紊流擴散問題，所以在這里以在這里以DxDy進行討論。進行討論。2222xycccDDxxy第十節(jié)第十節(jié) 二維

49、和三維擴散方程的某些解析解二維和三維擴散方程的某些解析解c(x,y,0)=M (x) (y) （2）邊界條件：）邊界條件： c(,y,t)=0, c(,t)/ x=0c(x, ,t)=0, c(,t)/ y=0（1）初始條件：）初始條件： 上式只有當兩個括號內的量分別等于零才能得到滿足，從上式只有當兩個括號內的量分別等于零才能得到滿足，從而得到兩個一維擴散方程，它們的瞬時點源無界空間的解均具而得到兩個一維擴散方程，它們的瞬時點源無界空間的解均具有擴散方程基本解的形式，將這兩個解相乘，就得到解答。有擴散方程基本解的形式，將這兩個解相乘，就得到解答。利用利用“乘積法則乘積法則”求解：則本問題的解可

50、以表為求解：則本問題的解可以表為2221121 2122122()xyccccc cccc Dc Dtttxy2211222122()()0 xycccccDcDtxty221 2( , , )exp()444zxyxyMxyc x y tc cD tD tt D Dc(x,y,t)=c1(x,t)c2(y,t)式中式中c1不依賴于不依賴于y, c2不依賴于不依賴于x，代入擴散方程，故有，代入擴散方程，故有第十節(jié)第十節(jié) 二維和三維擴散方程的某些解析解二維和三維擴散方程的某些解析解當當Dx=Dy=D時，上式變?yōu)椋簳r，上式變?yōu)椋涸谠趜軸上單位面軸上單位面積上的質量積上的質量22( , , )exp

51、()44zMxyc x y tDtDtzcdxdyM 對于一維擴散，濃度對于一維擴散，濃度c c的單位是單位長度的質量；對于二的單位是單位長度的質量；對于二維擴散它是單位面積上的質量；對于三維擴散則是單位體積內維擴散它是單位面積上的質量；對于三維擴散則是單位體積內的質量。的質量。可將可將“乘積法則乘積法則”求解的方法推廣到瞬時點源無界空間的三求解的方法推廣到瞬時點源無界空間的三維擴散。三維擴散方程為：維擴散。三維擴散方程為： 222222xyzccccDDDxxyz2223/21/2( , , )exp()(4)()444xyzxyzMxyzc x y ttD D DD tD tD tMcdx

52、dydz 式中：當當Dx=Dy=Dz=D時，時，r2=x2+y2+z2,有有第十節(jié)第十節(jié) 二維和三維擴散方程的某些解析解二維和三維擴散方程的某些解析解23/21/2( , , )exp()(4)()4xyzMrc x y ttD D DDtr是自點源起算的距離。在是自點源起算的距離。在 處上式指數(shù)為處上式指數(shù)為0.01，即這里，即這里的濃度等于原點瞬時濃度值的百分之一。的濃度等于原點瞬時濃度值的百分之一。 4.292rDt初始條件：初始條件：c(x,y,z0)=M (x) (y) (z) 二、瞬時無限長線源二、瞬時無限長線源瞬時無限長線源情形瞬時無限長線源情形第十節(jié)第十節(jié) 二維和三維擴散方程的

53、某些解析解二維和三維擴散方程的某些解析解 一個瞬時無限長線源是沿一無限長直線上的每一個單位一個瞬時無限長線源是沿一無限長直線上的每一個單位長度瞬時投放質量為長度瞬時投放質量為mz z所構成的，所構成的，mz z的量綱為的量綱為MLML-1-1 。對于一。對于一個沿個沿z軸分布的無限長線源來講，根據(jù)三維瞬時點源的解可得軸分布的無限長線源來講，根據(jù)三維瞬時點源的解可得由于由于h h處的點源處的點源mz zdh h所產生的所產生的P點（點（x,y,z）處的濃度為）處的濃度為與瞬時點源的二維情形相同與瞬時點源的二維情形相同223/21/22221/2( , , )exp()(4)()44()exp4e

54、xp()(4)()44zxyzxyzzxyxymxyc x y ttD D DD tD tzdDtmxyt D DD tD thh2223/21/2()exp(4 ) ()444zxyzxyzmdxyzdctDD DDtDtDthh無限長線源無限長線源h h積分從積分從負無窮到正無窮負無窮到正無窮令令()4zuzD th變更上下限變更上下限其解可由瞬時點源的解迭加得到其解可由瞬時點源的解迭加得到單位面積瞬時引入質量為單位面積瞬時引入質量為m, ,對在對在yz平面上的一個平面源平面上的一個平面源來講，由位于來講，由位于 處沿處沿z方向單方向單位寬度上質量位寬度上質量mz z= =md d 的無限

55、的無限長線源在長線源在P點（點（x, ,y, ,z）處產）處產生的濃度：生的濃度：三、瞬時無限平面源三、瞬時無限平面源 221/2()exp4()44xyxymdxydct D DD tD t第十節(jié)第十節(jié) 二維和三維擴散方程的某些解析解二維和三維擴散方程的某些解析解于是由無限平面源在于是由無限平面源在P點處產生的濃度為：點處產生的濃度為：當當Dx= =Dy= =Dz=D時，有時，有瞬時無限平面源情形瞬時無限平面源情形l瞬時無限平面的分子瞬時無限平面的分子擴散只沿與該平面垂擴散只沿與該平面垂直的方向進行，是一直的方向進行，是一維擴散維擴散l一維擴散問題中，點一維擴散問題中，點源就是無限平面源。源

56、就是無限平面源。 221/221/2()( , )exp()exp4()44exp()(4)4xyxyxxmxyc x tdt D DD tD tmxD tD t21/2( , )exp()(4)4mxc x tDtDt 設在坐標原點處（設在坐標原點處（x= =y= =z=0=0），單位時間內投放的污染物），單位時間內投放的污染物質量為質量為M（常數(shù)）。在（常數(shù)）。在d d 的微小時間內，投放質量為的微小時間內，投放質量為M d ，將，將每一個每一個M d 看作是一個瞬時點源，借助瞬時點源的解在瞬時看作是一個瞬時點源，借助瞬時點源的解在瞬時投入質量投入質量M d 的濃度場的濃度場: : dM四、三維時間連續(xù)恒定點源四、三維時間連續(xù)恒定點源 2223/21/2exp4 () ()4()4()4()xyzxyzMdxyzdctDD DD tD tD t2223/21/23/2011( , , )exp()4 () ()()() 444txyzxyzMxyzc x ytdtDDDttDDD2221 (),() 444xyzxyzutDDD取變換則有第十節(jié)第十節(jié) 二維和三維擴散方程的某些解